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第二章 实数 单元培优必刷卷
一、选择题
1．下列各数中是无理数的是（ ）
A．－3 B．π C．9 D．－0.11
2．下列计算错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知m＝ ，则以下对m的值估算正确的（ ）
A．2＜m＜3 B．3＜m＜4 C．4＜m＜5 D．5＜m＜6
4．下列代数式能作为二次根式被开方数的是（ ）
A．3﹣π B．a C．a2+1 D．2x+4
5．小明在作业本上做了4道题① ＝-5；②± ＝4；③ ＝9；④ ＝﹣6，他做对的题有（ ）
A．1道 B．2道 C．3道 D．4道
6．下列计算正确的是（ ）
A． ÷ ＝2 B．+ ＝ C． ＝ D．· ＝
7．已知 ， ，且 ，则a-b的值为（ ）
A．8 B．-2 C．8或-8 D．2或-2
8． 的平方根为（ ）
A．8 B．-8 C． D．
9．当1 a 2时，代数式 +|a﹣1|的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2a﹣3 D．3﹣2a
10．一个正数的两个平方根分别是 与 ，则a的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
11．下列各实数中最大的一个是（ ）
A．5× B． C． D． +
12．已知实数a满足条件 ，那么 的值为
A．2010 B．2011 C．2012 D．2013
二、填空题
13．要使有意义，则的取值范围是 ．
14．如果你的计算器上的一个键“8”坏了，仍想继续用这个计算器计算“”，用算式表示计算过程是 .
15．已知三角形的三边长分别为2，a－1，4，则化简|a－3|－|a－7|的结果为 ．
16．若 则xy的平方根为： ．
17．若整数 满足条件 且 ，则 的值是 ;
18．若 ， ， ，则 的大小关系用“＜”号排列为 ．
三、综合题
19．已知a的平方等于4，b的算术平方根等于4，c的立方等于8，d的立方根等于8，
（1）求a，b，c，d的值；
（2）求 的值．
20．已知正数x的两个不同的平方根分别是a+3和2a﹣15，y的立方根是﹣1.
求：
（1）a的值；
（2）x﹣2y+1的值.
21．已知a、b、c满足|a- |+ +(c-4 )2=0
（1）求a、b、c的值：
（2）判断以a、b、c为边的三角形的形状，并说明理由。
22．课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数：
， ， ，0， ， ，
其中，甲说“ ”，乙说“ ”，丙说“ ”
（1）甲、乙、丙三个人中，说错的是 ．
（2）请将老师所给的数字按要求填入下面相应的区域内；
23．如图1，这是一个由27个同样大小的立方体组成的三阶魔方，体积为27．
（1）求出这个魔方的棱长．
（2）图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．
（3）如图2，把图1中的正方形ABCD放到数轴上，使得点A与 1重合，那么点D在数轴上表示的数为．
24．设实数 的整数部分为a，小数部分为b．
（1）计算： ；
（2）求 的值．
25．阅读下面的文字后回答问题：
我们知道无理数是无限不循环小数，例如 ＝1.414…， 的小数部分我们无法全部出来，但可以用 ﹣1来表示.
请解答下列问题：
（1） 的整数部分是 ，小数部分是 .
（2）若 的小数部分是a， 的整数部分是b，求a（b+ ）的值.
（3）9﹣ 的小数部分是a，4+ 的整数部分是b，求a（b+ ）的立方根.
26．大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，因为 ，所以可用、 来表示 的小数部分.请解答下列问题：
（1） 的整数部分是 ，小数部分是 .
（2）如果 的整数部分为a，小数部分为b，求 的值.
（3）已知 ，其中x是整数，且 .则求 的平方根的值.
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第二章 实数 单元培优必刷卷
一、选择题
1．下列各数中是无理数的是（ ）
A．－3 B．π C．9 D．－0.11
【答案】B
【解析】【解答】解：π是无理数
故答案为：B.
【分析】根据无理数的定义，可得答案．
2．下列计算错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】根据二次根式的加减法，合并同类二次根式，可知 ，故不符合题意；
根据二次根式的乘法，可知 ，故不符合题意；
根据二次根式的性质和化简，由分母有理化可得 ，故不符合题意；
根据二次根式的加减，可知 与 不是同类二次根式，故符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的加减法、乘法的法则以及二次根式的性质，逐项进行计算，即可求解.
3．已知m＝ ，则以下对m的值估算正确的（ ）
A．2＜m＜3 B．3＜m＜4 C．4＜m＜5 D．5＜m＜6
【答案】B
【解析】【解答】解：m＝
∵1＜3＜4，
∴1＜ ＜2，即3＜2+ ＜4，
则m的范围为3＜m＜4，
故答案为：B．
【分析】利用二次根式的乘方及加法计算，再估算大小即可。
4．下列代数式能作为二次根式被开方数的是（ ）
A．3﹣π B．a C．a2+1 D．2x+4
【答案】C
【解析】【解答】解：A、3﹣π＜0，则3﹣a不能作为二次根式被开方数，故此选项不符合题意；
B、a的符号不能确定，则a不能作为二次根式被开方数，故此选项不符合题意；
C、a2+1一定大于0，能作为二次根式被开方数，故此选项错符合题意；
D、2x+4的符号不能确定，则a不能作为二次根式被开方数，故此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据二次根式被开方数为非负数求解即可。
5．小明在作业本上做了4道题① ＝-5；②± ＝4；③ ＝9；④ ＝﹣6，他做对的题有（ ）
A．1道 B．2道 C．3道 D．4道
【答案】A
【解析】【解答】解：① ＝﹣5，符合题意；
②± ＝±4，不符合题意；
③ ≠9，不符合题意；
④ ＝|﹣6|＝6，不符合题意，
故答案为：A．
【分析】利用立方根、平方根及二次根式的性质逐项判定即可。
6．下列计算正确的是（ ）
A． ÷ ＝2 B．+ ＝ C． ＝ D．· ＝
【答案】D
【解析】【解答】解：A.原式=，计算错误；
B.原式=，计算错误；
C.原式==2，计算错误；
D.原式=，计算正确。
故答案为：D.
【分析】根据二次根式运算的性质进行计算，即可得到答案。
7．已知 ， ，且 ，则a-b的值为（ ）
A．8 B．-2 C．8或-8 D．2或-2
【答案】D
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴a=±5，b=±3，
∵ ，
∴a=5，b=3，或a=-5，b=-3，
∴a-b=5-3=2，或a-b=-5-(-3)=-2，
故答案为：D.
【分析】根据绝对值、算术平方根和不等式ab>0，求出a、b的值，分别代入求值即可.
8． 的平方根为（ ）
A．8 B．-8 C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解： ，8的平方根是 .
故答案为：D.
【分析】先求出64的算术平方根，再根据正数的平方根有两个，它们互为相反数，由此可求解。
9．当1 a 2时，代数式 +|a﹣1|的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2a﹣3 D．3﹣2a
【答案】A
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ， ，
∴原式 .
故答案为：A.
【分析】由a的取值范围判断出a-2及a-1的正负，根据二次根式的性质“”及绝对值的性质进行解答即可.
10．一个正数的两个平方根分别是 与 ，则a的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可得： +( )=0
解得：a=-1
故答案选择B.
【分析】根据平方根的性质可得 +( )=0求解即可。
11．下列各实数中最大的一个是（ ）
A．5× B． C． D． +
【答案】C
【解析】【解答】解：A中5× = = ＜1；
B中∵π=3.14159＞3.141，
∴ ＜1；
C中 = = = （ -1）＞1；
D中∵ ＜ =0.25，
∴2 ＜0.5，
∴0.3+2 +0.2＜1，即（ + ）2＜1，
∴ + ＜1．
故答案为：C
【分析】先利用将根号外因式移到根号内、分母有理化、放缩法、平方法对各选项进行判断，据此即可答案。
12．已知实数a满足条件 ，那么 的值为
A．2010 B．2011 C．2012 D．2013
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ 有意义，
∴a-2012≥0，
∴a≥2012，
∴2011-a＜0，
∴ ，
∴
∴a-2012=20112，
∴a-20112=2012.
故答案为：C.
【分析】由二次根式的被开方数为非负数可求出a≥2012，即得2011-a＜0，利用绝对值的性质原等式可化为，两边平方即可求出结论.
二、填空题
13．要使有意义，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查二次根式有意义的条件.根据二次根式有意义是被开方数大于或等于0，据此可列出不等式，求出答案．
14．如果你的计算器上的一个键“8”坏了，仍想继续用这个计算器计算“”，用算式表示计算过程是 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴可计算即可求出的值.
故答案为：.
【分析】根据二次根式的性质可得，故计算即可求出的值．
15．已知三角形的三边长分别为2，a－1，4，则化简|a－3|－|a－7|的结果为 ．
【答案】2a-10
【解析】【解答】解：由三角形三边关系定理得4-2＜a-1＜4+2，
即3＜a＜7．
∴|a－3|－|a－7|= a－3 -（7-a）= a－3 -7+a=2a-10．
故答案为：2a-10．
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；可得a的取值范围，进而得到化简结果．
16．若 则xy的平方根为： ．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意得，4x 20≥0，20 4x≥0，
∴x＝5，则y＝4，
∴xy＝20，
∴xy的平方根为： ，
故答案为 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式组求出x的值，然后得到y的值，再根据平方根的概念解答即可．
17．若整数 满足条件 且 ，则 的值是 ;
【答案】－1或0
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
又∵ 且t是整数，
∴ 或0，
故答案为：－1或0.
【分析】根据二次根式的性质可得 ，然后结合 且t是整数可得答案.
18．若 ， ， ，则 的大小关系用“＜”号排列为 ．
【答案】a＜b＜c
【解析】【解答】解：∵a2=2000+2 ，b2=2000+2 ，c2=4004=2000+2×1002，
1003×997=1000000-9=999991，1001×999=1000000-1=999999，10022=1004004．
∴a＜b＜c．
故答案为：a＜b＜c.
【分析】利用平方法把三个数值平方后再比较大小即可．
三、综合题
19．已知a的平方等于4，b的算术平方根等于4，c的立方等于8，d的立方根等于8，
（1）求a，b，c，d的值；
（2）求 的值．
【答案】（1）解：∵a2＝4，
∴a＝±2
，
∴b＝16
∵c3＝8，
∴c＝2
，
∴d＝512；
（2）解：当a＝2时，
当a＝-2时，
∴ 的值为6或2．
【解析】【分析】（1）根据算术平方根的定义求出a、b；利用立方根的定义求出c、d；
（2）将a、b、c、d的值代入计算即可.
20．已知正数x的两个不同的平方根分别是a+3和2a﹣15，y的立方根是﹣1.
求：
（1）a的值；
（2）x﹣2y+1的值.
【答案】（1）解：由题知：∵正数x的两个不同的平方根分别是a+3和2a﹣15，
又依据两个平方根互为相反数；
∴a+3+2a﹣15＝0，
解得：a＝4；
（2）解：由题可得，x＝（a+3）2＝49，y＝（﹣1）3＝﹣1，
∴x﹣2y+1＝49+2+1＝52.
【解析】【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数可列出方程，求解即可；
（2）根据平方根、立方根的概念求出x、y，进而可得x-2y+1的值.
21．已知a、b、c满足|a- |+ +(c-4 )2=0
（1）求a、b、c的值：
（2）判断以a、b、c为边的三角形的形状，并说明理由。
【答案】（1）解：根据题意得：a- =0，b-5=0，c-4 =0，
解得：a= ，b=5，c=4
（2）解：以a、b、c为边的三角形是直角三角形，理由如下：
∵a2+b2=( )2+52= 32
c2=(4 )2=32，
∴a2+b2=c2，
∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形
【解析】【分析】（1）根据绝对值、偶次幂的非负性以及二次根式的性质，即可得到a、b、c的值；
（2）根据勾股定理的逆定理，即可判断三条边组成的为直角三角形。
22．课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数：
， ， ，0， ， ，
其中，甲说“ ”，乙说“ ”，丙说“ ”
（1）甲、乙、丙三个人中，说错的是 ．
（2）请将老师所给的数字按要求填入下面相应的区域内；
【答案】（1）甲
（2）解：正实数包括正有理数与正无理数，故答案为：
正实数为 ， ，负分数为
【解析】【解答】（1） 是负分数，即是有理数范围内的，不是无理数，故甲错；
【分析】（1）根据无理数的概念即可判断；（2）根据实数相关概念填空即可．
23．如图1，这是一个由27个同样大小的立方体组成的三阶魔方，体积为27．
（1）求出这个魔方的棱长．
（2）图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．
（3）如图2，把图1中的正方形ABCD放到数轴上，使得点A与 1重合，那么点D在数轴上表示的数为．
【答案】（1）解：设魔方的棱长为 ，
则 ，解得：
（2）解： 棱长为3，
每个小立方体的边长都是1，
正方形 的边长为： ，
（3）解： 正方形 的边长为 ，点 与 重合，
点 在数轴上表示的数为： ，
故答案为：
【解析】【分析】（1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可；（2）根据棱长，求出每个小正方体的边长，进而可得小正方形的对角线，即阴影部分图形的边长，即可得解；（3）用点 表示的数减去边长即可得解．
24．设实数 的整数部分为a，小数部分为b．
（1）计算： ；
（2）求 的值．
【答案】（1）解：∵4＜7＜9，
∴ ，
∵实数 的整数部分为a，小数部分为b，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ＞0，
∴ ．
（2）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
【解析】【分析】（1）先估算出 的取值范围，即可得出a、b的值，进而根据绝对值的性质可得答案；（2）由a、b的值可得a2、b2的值，利用平方差公式展开，代入a2、b2的值即可得答案．
25．阅读下面的文字后回答问题：
我们知道无理数是无限不循环小数，例如 ＝1.414…， 的小数部分我们无法全部出来，但可以用 ﹣1来表示.
请解答下列问题：
（1） 的整数部分是 ，小数部分是 .
（2）若 的小数部分是a， 的整数部分是b，求a（b+ ）的值.
（3）9﹣ 的小数部分是a，4+ 的整数部分是b，求a（b+ ）的立方根.
【答案】（1）4； ﹣4
（2）解：∵2＜ ＜3，
∴a＝ ﹣2，
∵2＜ ＜3，
∴b＝2，
∴a（b+ ）＝（ ﹣2）（2+ ）＝1；
（3）解：∵9﹣ 的整数部分是4，
∴9﹣ 的小数部分：a＝9﹣ ﹣4＝5﹣ ，
4+ 的整数部分：b＝5，
∴a（b+ ）＝（5﹣ ）（5+ ）＝8，
∴a（b+ ）的立方根是：2.
【解析】【解答】解：（1）∵4＜ ＜5，
∴ 的整数部分是4，小数部分是 ﹣4，
故答案为：4， ﹣4；
【分析】（1）由 ，可得到的整数部分；然后求出其小数部分.
（2）根据，分别求出a，b的值；然后代入代数式求值.
（3）利用（1）（2）可得到a，b的值，再将a，b代入代数式求出 a（b+ ） 的值；然后利用立方根的性质可求出结果.
26．大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，因为 ，所以可用、 来表示 的小数部分.请解答下列问题：
（1） 的整数部分是 ，小数部分是 .
（2）如果 的整数部分为a，小数部分为b，求 的值.
（3）已知 ，其中x是整数，且 .则求 的平方根的值.
【答案】（1）3； -3
（2）解：∵1< <2，
∴4< <5，
∴a=4,b= -4= -1,
∴
=4- +1-1
=4- ；
（3）解：∵1< <2，
∴-2<- <-1，
∴7<9- <8，
∴x=7，y=9- -7=2- ,
∴
=7+ +2-
=9,
∴ 的平方根是 .
【解析】【解答】解：（1）∵3< <4，
∴ 的整数部分是3，小数部分是 -3；
【分析】（1）先估算出 的范围，即可得出答案；（2）先估算出 的范围，进而得出 的范围，求出a、b的值，再代入求出即可；（3）先估算出 的范围，进而得出9- 的范围，求出x、y的值，再代入求出即可．
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