2024-2025学年浙江省八校高一上学期期中考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省八校高一上学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，则集合可用列举法表示为( )
A. B.
C. D.
2.学校开运动会，设是参加米跑的同学，是参加米跑的同学，是参加米跑的同学学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛．请你用集合的运算说明这项规定( )
A. B.
C. D.
3.若，，，且，则下列不等式中一定成立的是( )
A. B. C. D.
4.若实数满足，则( )
A. B. C. D.
5.函数的图象如图所示，则该函数的定义域和单调区间分别是( )
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
6.已知幂函数在区间上单调递增，则函数图像过定点( )
A. B. C. D.
7.若“”是“”的一个充分不必要条件，则的取值范围是( )
A. 或 B. 或 C. D.
8.已知，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列叙述正确的是( )
A.
B. 命题“”的否定是“或”
C. 设，则“且”是“”的必要不充分条件
D. 命题“”的否定是真命题
10.已知，均为正实数，则下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.
11.给定数集，，方程，则( )
A. 任给，对应关系使方程的解与对应，则为函数
B. 任给，对应关系使方程的解与对应，则为函数
C. 任给方程的两组不同解，，其中，，则
D. 存在方程的两组不同解，，其中，，使得也是方程的解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，则 ．
13.已知曲线且过定点，若且，，则的最小值为 ．
14.已知函数是定义域为的偶函数，当，为两个不相等的正实数时，恒成立，若，，则不等式的解集为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的顶点边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为求
顶点的坐标；
直线的方程．
16.本小题分
已知函数
若不等式的解集为，求，的值
若方程仅有一个实数解，求的 最小值．
17.本小题分
鸡蛋在冰箱冷藏的环境下，可以有效减缓鸡蛋内部的变化速度，延长其保质期．已知新鲜鸡蛋存储温度单位：摄氏度与保鲜时间单位：小时之间的函数关系式为新鲜鸡蛋在存储温度为摄氏度的情况下，其保鲜时间约为小时；在存储温度为摄氏度的情况下，其保鲜时间约为小时．
新鲜鸡蛋在存储温度为摄氏度的情况下，其保鲜时间约为多少小时；
已知新鲜鸡蛋在冰箱里冷藏一般能存天至天左右，若某超市希望保证新鲜鸡蛋的保鲜时间不少于天，则超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于多少摄氏度？结果保留两位小数
参考数据：
18.本小题分
已知函数，记集合为的定义域．
求集合；
判断函数的奇偶性；
当时，求函数的值域．
19.本小题分
在中，角所对的边分别是，．
求角的大小；
若，且边上的两条中线相交于点，求的余弦值；
若为锐角三角形，且，记的外心和垂心分别为，连接的直线与线段都相交，求证：线段的长度为．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：设，
边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．
，解得，
．
设，
则，解得，
，
，
直线的方程为，化为．
16.
因为不等式的解集为，
所以方程的两根为，
所以由根与系数的关系可得
解得或．
因为方程仅有一个实数解，
所以，即，
所以，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为．

17.
依题意得，则，
当时，，
即该超市的新鲜鸡蛋在存储温度为摄氏度的情况下，其保鲜时间约为小时；
由题意令，得，即，
则，
则，
即
解得：
故超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于摄氏度．

18.
由真数大于可知．
可知定义域关于原点对称，
，
故为奇函数．
令，对称轴，在上，，
又在上递减，
故的值域是：．

19.
由可得，故，
由于，故，所以，
由于，故
由余弦定理可得，
解得负值舍去，
因为即为向量与的夹角，
设，，
则，
因为，，
所以，，
故，，
所以，
故．
先证明：设的外心为三角形外接圆的圆心，以线段、为邻边作平行四边形，第四个顶点为，再以，为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为若，则点为的垂心；
证明：由题意可知
则
因为为外心，所以
则，即
同理可得：
所以，点为的垂心得证，
因此由于为的垂心，为的外心，
故，其中，
设外接圆半径为，则，
，
由于，
故由于，故

第1页，共1页