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第一章 特殊平行四边形 单元质量检测卷
一、选择题
1．正方形具有而一般矩形不一定具有的性质是（ ）
A．四个角相等 B．四条边相等
C．对角线互相平分 D．对角线相等
2．下列说法中错误的是（ ）
A．平行四边形的对角相等 B．菱形的邻边相等
C．平行四边形的对角线互相平分 D．菱形的对角线互相垂直且相等
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，若点D恰好为线段AB的中点，则AB的长度为（ ）
A． B．3 C．9 D．6
4．如图，在直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点A（1，2），B（3，3）．作菱形OABC关于y轴的对称图形OA'B'C'，再作图形OA'B'C'关于点O的中心对称图形OA"B"C"，则点C的对应点C”的坐标是（ ）
A．（2，-1） B．（1，-2） C．（-2，1） D．（-2，-1）
5．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝25°，则∠BDC＝（ ）
A．60° B．55° C．50° D．45°
6．在中，对角线相交于点．若要使平行四边形为矩形，则的长度为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；再分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；再连接AC，BC，AB，OC．若AB＝10，OA＝13．则四边形AOCB的面积是（ ）
A．65 B．120 C．130 D．240
8．有下列命题：
①对角线相等且互相平分的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③对角线垂直且相等的四边形是正方形；④四边相等的四边形是菱形．其中，真命题有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图所示，在菱形ABCD中，AB=5，∠B∶∠BCD=1∶2，则对角线AC等于（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
10．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH．若要使四边形EFGH是矩形，则原四边形ABCD必须满足条件（ ）
A．AB＝AD B．AB⊥AD C．AC＝BD D．AC⊥BD
11．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形ABCD．测得A、B的距离为6，A、C的距离为4，则B、D的距离是（ ）
A． B．8 C． D．
12．如图，在平面直角坐标系中，将边长为a的正方形OABC绕点O顺时针旋转后得到正方形，依此方式连续旋转2023次得到正方形，那么点的坐标是（ ）
A．（a，a） B．
C． D．
二、填空题
13．如图，点B，C分别是锐角 两边上的点， ，分别以点B，C为圆心，以 的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接 ， .则四边形 是 .
14．如图，公路AC与BC互相垂直，垂足为点C，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为4.6km，则点M与C之间的距离是 km.
15．如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF 并延长与AB的延长线相交于点G，则EG ＝ ．
16．如下图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积 与矩形QCNK的面积 的大小关系是 （填“＞”或“＜”或“=”）.
17．如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.要使四边形EFGH是正方形，BD、AC应满足的条件是 .
18．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝7，AD＝6，点E是AD边上一动点，连接BE．将△ABE沿BE折叠得到△FBE，连接FC．当△BCF的面积为6时，线段AE的长为 ．
三、综合题
19．已知：如图，在中，，分别为垂足．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是矩形．
20．如图，已知正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：EF＝MF；
（2）若AE＝2，求FC的长．
21．如图，在正方形 中，点 在对角线 上（不与点 ，点 重合）， 于点 ， 于点 ，连结 ，
（1）写出线段 ， ， 长度之间的数量关系，并说明理由．
（2）若正方形 的边长为 ， ，求线段 的长．
22．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E，且BD=BE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠DBC=30°，BO=6，求四边形ABED的面积．
23．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC＝180°.
（1）求证：四边形ABCD是矩形.
（2）DF⊥AC，若∠ADF∶∠FDC＝2∶1，则∠BDF的度数是多少？
24．在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）得△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于D、F两点.
（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA1与FC有怎样的数量关系？并证明你的结论；
（2）如图2，当α＝30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由；
（3）在（2）的情况下，求ED的长.
25．在正方形 和正方形 中， ，连接 ，H是 的中点．
（1）如图1，若点B、D、F在同一直线上，求 的长；
（2）在（1）条件下，连接 ．求线段 和 的数量关系和位置关系，并证明；
（3）如图2，正方形 绕点D旋转，使得点H在线段 的延长线上，连接 ，求 的长度．
26．如图①，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN=α，将∠QPN绕点P旋转，旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．
（1）如图①，当α=90°时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是 ；
（2）如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形，其他条件不变，当α=60°时，（1）中的结论变为DE+DF=
AD，请给出证明；
（3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．
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第一章 特殊平行四边形 单元质量检测卷
一、选择题
1．正方形具有而一般矩形不一定具有的性质是（ ）
A．四个角相等 B．四条边相等
C．对角线互相平分 D．对角线相等
【答案】B
【解析】【解答】解：A、正方形和矩形的四个角都是直角，均相等，故A不符合题意；
B、正方形的四条边相等，但矩形的对边相等，但邻边不一定相等，故B符合题意；
C、正方形和矩形的对角线都互相平分，故C不符合题意；
D、正方形和矩形的对角线均相等，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用正方形和矩形的性质，对各选项逐一判断.
2．下列说法中错误的是（ ）
A．平行四边形的对角相等 B．菱形的邻边相等
C．平行四边形的对角线互相平分 D．菱形的对角线互相垂直且相等
【答案】D
【解析】【解答】解：A、平行四边形的对角相等，故此选项不符合题意；
B、菱形的四条边都相等，不符合题意；
C、平行四边形的对角线互相平分，故此选项不符合题意；
D、菱形的对角线互相垂直平分，符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用平行四边形和菱形的性质逐项判断即可。
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，若点D恰好为线段AB的中点，则AB的长度为（ ）
A． B．3 C．9 D．6
【答案】D
【解析】【解答】解：连接CD，如图所示：
∵∠ACB=90°， 点D恰好为线段AB的中点，
∴AB=2CD，
∵AC=CD=3，
∴AB=2×3=6，
故答案为：D.
【分析】连接CD，利用直角三角形斜边上中线的性质可得AB=2CD，再结合AC=CD=3，求出AB的长即可.
4．如图，在直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点A（1，2），B（3，3）．作菱形OABC关于y轴的对称图形OA'B'C'，再作图形OA'B'C'关于点O的中心对称图形OA"B"C"，则点C的对应点C”的坐标是（ ）
A．（2，-1） B．（1，-2） C．（-2，1） D．（-2，-1）
【答案】A
【解析】【解答】解：∵ 四边形OABC为菱形，
∴ C（2，1），
∵ 菱形OABC关于y轴的对称图形OA'B'C' ，
∴ 点C'（-2，1），
∵ 图形OA'B'C'关于点O的中心对称图形OA"B"C"
∴ 点C''（2，-1）.
故答案为：A.
【分析】根据菱形的性质可得C点的坐标，再根据关于y轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标不变，再根据关于原点中心对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，即可求得.
5．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝25°，则∠BDC＝（ ）
A．60° B．55° C．50° D．45°
【答案】C
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴CD=DA，
∴∠A=∠DCA=25°，
∴∠BDC=∠A+∠DCA=25°+25°=50°.
故答案为：C.
【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证得CD=DA，利用等边对等角可求出∠DCA的度数，然后利用三角形的外角的性质可求出∠BDC的度数.
6．在中，对角线相交于点．若要使平行四边形为矩形，则的长度为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，
∵平行四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=OB=OD，
∴OA=OB=3．
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质，得到OA=OB，即可得出答案．
7．如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；再分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；再连接AC，BC，AB，OC．若AB＝10，OA＝13．则四边形AOCB的面积是（ ）
A．65 B．120 C．130 D．240
【答案】B
【解析】【解答】解：根据作图，AC=BC=OA，
∵OA=OB，
∴OA=OB=BC=AC，
∴四边形OACB是菱形，
∵ 菱形的对角线互相垂直平分且平分每一组对角，
又∵AB＝10，OA＝13
设AB，OC交点是D，
∴AD=AB=5，
在RtAOD中，OD==12，
∴OC=2OD=24，
∴四边形AOCB的面积=AB×OC=×10×24=120.
故答案为：B.
【分析】 根据作法判定出四边形OACB是菱形，再根据菱形对角线的性质，利用勾股定理，求得OC的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
8．有下列命题：
①对角线相等且互相平分的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③对角线垂直且相等的四边形是正方形；④四边相等的四边形是菱形．其中，真命题有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】【解答】解：①对角线相等且互相平分的四边形是矩形，是真命题；
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题；
③对角线垂直且相等的四边形不一定是正方形，原命题是假命题；
④四边相等的四边形是菱形，是真命题；
故答案为：B.
【分析】根据矩形的判定定理即可判断①；根据菱形的判定定理即可判定②④；根据正方形的判定定理即可判定③。
9．如图所示，在菱形ABCD中，AB=5，∠B∶∠BCD=1∶2，则对角线AC等于（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】A
【解析】【解答】解： 在菱形ABCD中，∠B∶∠BCD=1∶2 ，
∴∠B=180°×=60°，AB=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC=AB=5，
故答案为：A.
【分析】由菱形的性质及等边三角形的判定可证△ABC为等边三角形，可得AC=AB=5.
10．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH．若要使四边形EFGH是矩形，则原四边形ABCD必须满足条件（ ）
A．AB＝AD B．AB⊥AD C．AC＝BD D．AC⊥BD
【答案】D
【解析】【解答】解：连接AC，BD，如下图：
∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF，GH分别是和的中位线，
∴
∴四边形EFGH为平行四边形，
要使平行四边形为矩形，则只需要一个内角为直角，
例如：则
∵
∴
故答案为：D.
【分析】连接AC，BD，根据三角形中位线定理得到即可证明四边形EFGH为平行四边形，又根据要使平行四边形为矩形，则只需要一个内角为直角，据此即可求解.
11．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形ABCD．测得A、B的距离为6，A、C的距离为4，则B、D的距离是（ ）
A． B．8 C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC，CF⊥AB，则AE=BF，
∵△ABC的面积=·BC·AE=·AB·CF，
∴AB=BC，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
连接BD、AC交于点O，AC=4，
∴OA=2，BO=OD，BD⊥AC，
∴BO==，
∴BD=2BO=，
故答案为：C.
【分析】过点A作AE⊥BC，CF⊥AB，则AE=BF，证明四边形ABCD是菱形，连接BD、AC交于点O，可得OA=2，BO=OD，BD⊥AC，由勾股定理求出BO的长，即得BD的长.
12．如图，在平面直角坐标系中，将边长为a的正方形OABC绕点O顺时针旋转后得到正方形，依此方式连续旋转2023次得到正方形，那么点的坐标是（ ）
A．（a，a） B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：过点A1作A1D⊥x轴于点D，
∵ 将边长为a的正方形OABC绕点O顺时针旋转后得到正方形，
∴∠AOA1=45°，∠A1OD=45°，
∴OD2+A1D2=2OD2=OA12，
∴2OD2=a2，
解之：，
∴；
将矩形A1B1OC1绕着点O顺时针旋转45°后，点A1旋转到x轴上，即点A2在x轴上，
∴点A2（a，0）；
点A3旋转到第四象限，
∴点A1和点A3关于x轴对称，点A和点A4关于x轴对称，
∴点，点A4（0，-a）；
同理可知，点A1和点A5关于原点对称，点A6在x轴上，点A7和点A1关于y轴对称，点A8与点A重合，
∴点，点A6（-a，0），，点A8（0，a）；
由此可知，8次一循环，
∴2023÷8=2527，
∴点A2023与点A7的坐标相同，
∴点.
故答案为：D.
【分析】过点A1作A1D⊥x轴于点D，利用旋转的性质和正方形的性质，可证得∠AOA1=45°，∠A1OD=45°，利用勾股定理表示出OD，A1D的长，可得到点A1的坐标；将矩形A1B1OC1绕着点O顺时针旋转45°后，点A1旋转到x轴上，即点A2在x轴上，可得到点A2（a，0）；点A1和点A3关于x轴对称，点A和点A4关于x轴对称，点A1和点A5关于原点对称，点A6在x轴上，点A7和点A1关于y轴对称，点A8与点A重合，利用点的对称性可分别得到点A3、A4、A5、A6、A7、A8的坐标，观察可知8次一循环，用2023÷8，根据其余数，可得到点A2023的坐标.
二、填空题
13．如图，点B，C分别是锐角 两边上的点， ，分别以点B，C为圆心，以 的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接 ， .则四边形 是 .
【答案】菱形
【解析】【解答】解：根据作图过程判定四边形ABDC是菱形，
理由如下：
根据题意得：AB=AC=BD=DC，
∴四边形ABCD是菱形，
故答案为：菱形.
【分析】根据作图过程可得AB=AC=BD=DC，再由菱形的判定“四边都相等的四边形是菱形”可判断四边形ABCD是菱形.
14．如图，公路AC与BC互相垂直，垂足为点C，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为4.6km，则点M与C之间的距离是 km.
【答案】2.3
【解析】【解答】解：∵公路AC与BC互相垂直，
∴∠ACB＝90°，
∵M是AB中点，
∴CM＝ AB＝ 4.6km＝2.3km，
故答案为：2.3.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得CM=AB可求解.
15．如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF 并延长与AB的延长线相交于点G，则EG ＝ ．
【答案】10
【解析】【解答】解：连接BD交AC与点O，
在菱形ABCD中
∵ ，
在 中
，
∴ ，
∵点E、F分别是边CD、BC的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：10．
【分析】连接BD交AC与点O，证明四边形BDEG是平行四边形，得EG=BD，利用勾股定理求出OD的长，BD=2OD，即可求出EG。
16．如下图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积 与矩形QCNK的面积 的大小关系是 （填“＞”或“＜”或“=”）.
【答案】=
【解析】【解答】解：∵PQ∥AB，MN∥AD，
∴四边形AMDN、PQCD、AMKP、QCNK、MBQK均是矩形，
∴S△MKB=S△BKQ，S△PDK=S△NDK，S△ADB=S△CDB，
∴S1=S△DAB-S△MKB-S△PDK，S2=S△CDB-S△BKQ-S△DNK
∴S1=S2．
故答案为：=．
【分析】 根据已知可知图中所有的四边形都是矩形，利用矩形的对角线将矩形分成面积相等的两部分，由S1=S△DAB-S△MKB-S△PDK，S2=S△CDB-S△BKQ-S△DNK，即可得出结论．
17．如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.要使四边形EFGH是正方形，BD、AC应满足的条件是 .
【答案】 且
【解析】【解答】解：满足的条件应为： 且 .
理由：∵E，F，G，H分别是边 、 、 、 的中点
∴在 中， 为 的中位线
∴ 且
同理 且
则 且
∴四边形 为平行四边形
又∵
∴
∴四边形 为菱形
∵ ，
∴
∵
∴
∴
∴菱形 是正方形.
故答案是： 且
【分析】先证明四边形 为菱形，再求出，根据一个角是直角的菱形是正方形即证.
18．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝7，AD＝6，点E是AD边上一动点，连接BE．将△ABE沿BE折叠得到△FBE，连接FC．当△BCF的面积为6时，线段AE的长为 ．
【答案】或
【解析】【解答】解：在矩形纸片ABCD中，AB＝CD=7，AD＝BC=6，∠A=90°.
对于点F的位置，分两种情况讨论：
（1）当点F在矩形纸片ABCD内部时，过点F作GH⊥AD，如图1.
图1
∵△BCF的面积为6，
∴
∴FH =2.
∴FG = 5.
在Rt中，BF =AB=7，∴BH =
∴EG =AG -AE =BH-AE = - AE.
由折叠的性质可知，AE =EF.
在Rt中，由勾股定理，得EG2 + FG2 =EF2，即（- AE）2 +52=AE2.
解得AE =；
（2）当点F在矩形纸片ABCD外部时，过点F作FG⊥AD交BC于点H，如图2.
图2
与（1）同理可得，FG = 9，EG =- AG.
由折叠的性质可知，AE =EF.
在Rt中，由勾股定理，得EG2 + FG2 =EF2，即（- AE）2 +92=AE2.
解得AE =.
故答案为：或.
【分析】对于点F的位置，分两种情况讨论：（1）当点F在矩形纸片ABCD内部时；（2）当点F在矩形纸片ABCD外部时，然后构造直角三角形，通过勾股定理列方程即可求解.
三、综合题
19．已知：如图，在中，，分别为垂足．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是矩形．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
在和中，，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得∠B=∠D，AD∥BC，AB=CD，由垂直的定义可得 ，根据AAS可证△ABE≌△CDF；
（2）根据有三个角是直角的四边形是矩形证明即可.
20．如图，已知正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：EF＝MF；
（2）若AE＝2，求FC的长．
【答案】（1）证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠FCD=∠ADC=90°，
∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠A=∠DCM=90°，AE=CM，∠ADE=∠CDM，DE=DM
∴∠FCD+∠DCM＝180°，∠ADE+∠EDC=∠CDM+∠EDC=90°，
∴F、C、M三点共线，∠EDM=90°，
∴∠EDF+∠FDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝∠EDF＝45°，
在△DEF和△DMF中，
∵，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝MF；
（2）解：设EF＝MF＝x，
∵AE＝CM＝2，且BC＝6，
∴BM＝BC+CM＝6+2＝8，
∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝8﹣x，
∵EB＝AB﹣AE＝6﹣2＝4，
在Rt△EBF中，由勾股定理得，
即，
解得：x＝5，
∴EF＝5，
∴CF=FM-CM=EF-CM=3．
【解析】【分析】（1）根据SAS证明△DEF≌△DMF，可得EF＝MF；
（2）设EF＝MF＝x， 可求出BM＝BC+CM＝8，BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝8﹣x，EB＝AB﹣AE＝4，在Rt△EBF中，由勾股定理得， 据此建立关于x方程，解出x值即得EF的长，利用 CF=FM-CM=EF-CM即可求解.
21．如图，在正方形 中，点 在对角线 上（不与点 ，点 重合）， 于点 ， 于点 ，连结 ，
（1）写出线段 ， ， 长度之间的数量关系，并说明理由．
（2）若正方形 的边长为 ， ，求线段 的长．
【答案】（1）解：结论：AG2＝GE2＋GF2．
理由：连接CG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴A、C关于对角线BD对称，
∵点G在BD上，
∴GA＝GC，
∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，
∴∠GEC＝∠ECF＝∠CFG＝90°，
∴四边形EGFC是矩形，
∴CF＝GE，
在Rt△GFC中，∵CG2＝GF2＋CF2，
∴AG2＝GF2＋GE2；
（2）过点A作AH⊥BG于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝∠GBF＝45°，
∵GF⊥BC，
∴∠BGF＝45°，
∵∠BAG＝75°，
∴∠AGB＝180° ∠ABD ∠BAG＝60°，
∴∠GAH＝30°，
在Rt△ABH中，∵AB＝ ，
∴AH2＝BH2＝ ，
∴AH＝BH＝ ，
在Rt△AGH中，∵AH＝ ，∠GAH＝30°，
∴AG＝2HG，
∵AG2＝HG2＋AH2，
∴（2HG）2＝HG2＋（ ）2，
解得：HG＝1，
∴BG＝BH＋HG＝ ＋1．
【解析】【分析】（1） 连接CG ，由正方形的性质得出A、C关于对角线BD对称，求得GA=GC，根据矩形的判定定理得出四边形EGFC是矩形，得出 CF＝GE， 根据勾股定理即可得出结论；
（2） 过点A作AH⊥BG于H，在Rt△ABH中，在Rt△AGH中， 求出AH、HG即可求得结果。
22．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E，且BD=BE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠DBC=30°，BO=6，求四边形ABED的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
又∵点E在DC的延长线上，
∴AB∥CE，
又∵BE∥AC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴AC=BE，
又BD=BE，
∴AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵在矩形ABCD中，∠DBC=30°，OA=OB，
∴∠ABD=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=BO=6，
∴BD=2BO=2×6=12，
又∵四边形ABEC是平行四边形，
∴CE=AB=6，
∴DE=CD+CE=12，
在Rt△ABC中，BC=，
∴四边形ABED的面积=（6+12）×6=54．
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB∥CD，根据有两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得 四边形ABEC是平行四边形，则AC=BE=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形可得平行四边形ABCD是矩形；
（2）由矩形的性质和已知条件可得∠ABD=60°，根据有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形可得△AOB是等边三角形，则AB=BO，则BD=2BO，由线段的构成ED=CD+CE求得DE的值，在Rt△ABC中，用勾股定理求得BC的值，于是S四边形ABED=（AB+DE）×BC可求解.
23．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC＝180°.
（1）求证：四边形ABCD是矩形.
（2）DF⊥AC，若∠ADF∶∠FDC＝2∶1，则∠BDF的度数是多少？
【答案】（1）证明： ，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，
∵∠ABC＋∠ADC＝180°，
∴ ，
∴四边形ABCD是矩形.
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵DF⊥AC，
∴ ，
∵OC＝OD，
∴ ，
∴ .
【解析】【分析】（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，易得四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角相等得∠ABC=∠ADC，结合已知得∠ABC=∠ADC=90°，接下来利用矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形进行证明；
（2）根据∠ADC=90°结合已知条件可得∠FDC=30°，则∠DCO=60°，由等腰三角形的性质可得∠ODC=∠DCO=60°，然后根据∠BDF=∠ODC-∠FDC进行计算.
24．在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）得△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于D、F两点.
（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA1与FC有怎样的数量关系？并证明你的结论；
（2）如图2，当α＝30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由；
（3）在（2）的情况下，求ED的长.
【答案】（1）解：EA1＝FC.
证明：（证法一）∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C.
由旋转可知，AB＝BC1，∠A＝∠C1，∠ABE＝∠C1BF，
∴△ABE≌△C1BF.
∴BE＝BF，又∵BA1＝BC，
∴BA1﹣BE＝BC﹣BF.即EA1＝FC.
（证法二）∵AB＝BC，∴∠A＝∠C.
由旋转可知，∠A1＝∠C，A1B＝CB，而∠EBC＝∠FBA1，
∴△A1BF≌△CBE.
∴BE＝BF，∴BA1﹣BE＝BC﹣BF，
即EA1＝FC.
（2）解：四边形BC1DA是菱形.
证明：∵∠A1＝∠ABA1＝30°，
∴A1C1∥AB，同理AC∥BC1.
∴四边形BC1DA是平行四边形.
又∵AB＝BC1，
∴四边形BC1DA是菱形.
（3）解：（解法一）过点E作EG⊥AB于点G，则AG＝BG＝1.
在Rt△AEG中，AE＝ .
由（2）知四边形BC1DA是菱形，
∴AD＝AB＝2，
∴ED＝AD﹣AE＝2﹣ .
（解法二）∵∠ABC＝120°，∠ABE＝30°，∴∠EBC＝90°.
在Rt△EBC中，BE＝BC tanC＝2×tan30°＝ .
∴EA1＝BA1﹣BE＝2﹣ .
∵A1C1∥AB，
∴∠A1DE＝∠A.
∴∠A1DE＝∠A1.
∴ED＝EA1＝2﹣ .
【解析】【分析】（1）（证法一）根据等腰三角形的性质可得∠A＝∠C，由旋转的性质可知：AB＝BC1，∠A＝∠C1，∠ABE＝∠C1BF，证明△ABE≌△C1BF，得到BE＝BF，然后结合BA1＝BC以及线段的和差关系进行证明；（证法二）由等腰三角形的性质可得∠A＝∠C，由旋转的性质可得：∠A1＝∠C，A1B＝CB，证明△A1BF≌△CBE，得到BE＝BF，然后根据线段的和差关系进行证明；
（2）易得A1C1∥AB，AC∥BC1，则四边形BC1DA是平行四边形，然后结合AB＝BC1以及菱形的判定定理进行证明；
（3）（证法一）过点E作EG⊥AB于点G，则AG＝BG＝1，利用∠A的余弦函数求出AE的值，根据菱形的性质可得AD＝AB＝2，据此计算；（证法二）根据∠ABC、∠ABE的度数可得∠EBC=90°，在Rt△EBC中，根据∠C的正切函数可得BE的值，进而求出EA1，由平行线的性质可得∠A1DE＝∠A，推出∠A1DE＝∠A1，则ED=A1E，据此解答.
25．在正方形 和正方形 中， ，连接 ，H是 的中点．
（1）如图1，若点B、D、F在同一直线上，求 的长；
（2）在（1）条件下，连接 ．求线段 和 的数量关系和位置关系，并证明；
（3）如图2，正方形 绕点D旋转，使得点H在线段 的延长线上，连接 ，求 的长度．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，
∴AB=AD=1， ，∠A=∠G=90°，
∴ ， ，
∵H为BF的中点，
∴ ；
（2）解：AH=GH，AH⊥GH，理由如下：
如图所示，连接AC交BD于P，连接EG交DF于Q，
∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，
∴ ， ，∠APH=∠GQH=90°，
∴∠GHQ+∠HGQ=90°，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴△APH≌△HQG（SAS），
∴AH=GH，∠AHP=∠HGQ，
∴∠AHP+∠GHQ=90°，
∴∠AHG=90°，
∴AH⊥GH；
（3）解：如图，过点F作FP⊥AH交AH的延长线于P，连接AG，GP
∵AB⊥AH，
∴AB∥PF，
∴∠ABH=∠PFH，
在△ABH和△PFH中
∴△ABH≌△PFH（AAS），
∴AH=PH，AB=PF，
又∵AB=AD，
∴AD=PF，
∵∠HPF=∠FGD=90°，
∴∠ADG=∠PFG，
∴△ADG≌△PFG（SAS），
∴AG=PG，∠PGF=∠AGD，
∵∠PGF+∠PGD=90°，
∴∠AGD+∠PGD=90°，
∴△AGP为等腰直角三角形，
∴AH=GH，AH⊥GH，
设DH=x，则AH=GH=1+x，在Rt△DHG中 ，
∴ ，
解得 ，
∴DH=1，AH=GH=2，
∴ ，
∴∠FHG=∠FGH，
∵∠AHB+∠FHG=∠FHP+∠FHG=90°，∠FGH+∠DGH=90°，
∴∠AHB=∠DGH，
又∵∠EDH+∠GDH=∠DGH+∠GDH=90°，
∴∠AHB=∠DGH=∠EDH，
连接BD，
在△BDH和△EHD中，
，
∴△BDH≌△EHD（SAS）
∴EH=BD= ．
【解析】【分析】（1）利用勾股定理计算求解即可；
（2）利用SAS证明 △APH≌△HQG ，再求出 ∠AHG=90°， 即可作答；
（3）利用AAS证明 △ABH≌△PFH ，再求出 AD=PF， 最后利用勾股定理和全等三角形的性质与判定求解即可。
26．如图①，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN=α，将∠QPN绕点P旋转，旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．
（1）如图①，当α=90°时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是 ；
（2）如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形，其他条件不变，当α=60°时，（1）中的结论变为DE+DF=
AD，请给出证明；
（3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．
【答案】（1）DE+DF=AD
（2）解：如图②，取AD的中点M，连接PM， ∵四边形ABCD为∠ADC=120°的菱形， ∴BD=AD，∠DAP=30°，∠ADP=∠CDP=60°， ∴△MDP是等边三角形， ∴PM=PD，∠PME=∠PDF=60°， ∵∠PAM=30°， ∴∠MPD=60°， ∵∠QPN=60°， ∴∠MPE=∠FPD， 在△MPE和△FPD中， ∴△MPE≌△FPD（ASA） ∴ME=DF， ∴DE+DF= AD
（3）解：如图， 在整个运动变化过程中， ①当点E落在AD上时，DE+DF= AD， ②当点E落在AD的延长线上时，DE+DF逐渐增大，当点F与点C重合时DE+DF最大， 即 AD＜DE+DF≤ AD．
【解析】【解答】解：（1）正方形ABCD的对角线AC，BD交于点P，
∴PA=PD，∠PAE=∠PDF=45°，
∵∠APE+∠EPD=∠DPF+∠EPD=90°，
∴∠APE=∠DPF，
在△APE和△DPF中
∴△APE≌△DPF（ASA），
∴AE=DF，
∴DE+DF=AD；
【分析】（1）利用正方形的性质证明AP=PD，∠PAE=∠PDF=45°，利用同角的余角相等，可证∠APE=∠DPF，再利用ASA证明△APE≌△DPF，利用全等三角形的性质，可得出AE=DF，然后根据线段的和差可证得结论。
（2） 取AD的中点M，连接PM，易证△MDP是等边三角形，利用等边三角形的性质，可得出PM=PD，再证明 ∠PME=∠PDF， ∠MPE=∠FPD，然后利用ASA证明△MPE≌△FPD，利用全等三角形的性质，可得出ME=DF，再根据线段的和差，就可得出结论。
（3） ①当点E落在AD上时，就可得出DE+DF= AD， ②当点E落在AD的延长线上时，可知DE+DF逐渐增大，当点F与点C重合时，则DE+DF最大， 即可得到结论。
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