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第二章 一元二次方程 单元专项巩固基础卷
一、选择题
1．一元二次方程3x2+2x-5=0的常数项是（ ）
A．3 B．2 C．-5 D．5
2．方程 的两个根为（ ）
A． B． C． D．
3．某学校要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），计划安排21场比赛，设参赛队数为x，列方程为（ ）
A．x（x-1）＝21 B．x（x-1）＝21
C．2x（x-1）＝21 D．x（x＋1）＝21
4．同一根细铁丝可以折成边长为的等边三角形，也可以折成面积为的长方形.设折成的长方形的一边长为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
6．向阳村2010年的人均收入为12000元，2012年的人均收入为14520元，求人均收入的年平均增长率.设年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A．12000（1-x）2＝14520 B．14520（1-x）2＝12000
C．12000（1+x）2＝14520 D．14520（1+x）2＝12000
7．已知关于x的一元二次方程，下列说法正确的是（ ）
A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根
C．方程没有实数根 D．方程根的情况无法确定
8．若m、n是的两根，则的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
9．一种药品原价为25元，经过两次降价后每盒16元，设两次降价的百分率都同为x，则x满足方程（ ）
A．25（1﹣2x2）＝16 B．25（1﹣x）2＝16
C．16（1+2x2）＝25 D．16（1+x）2＝25
10．已知关于x的一元二次方程x2﹣mnx+m+n＝0，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
11．设，是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
12．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则 ；其中正确的（ ）
A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③
二、填空题
13．如果，是方程的两个根，那么 .
14．已知关于的方程的一个根是，则的值为 .
15．用配方法解方程，配方得，常数的值是 .
16．若，且关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 ．
17．已知实数，满足，，且，且的值为 ．
18．若方程 的根也是方程 的根，则 .
三、综合题
19．用公式法解方程：
（1） ；
（2）
（3）
（4）
20．如图，在矩形 中， ， ，点 从点 开始沿边 向终点 以 的速度移动；与此同时，点 从点 开始沿边 向终点 以 的速度移动．如果 ， 分别从 ， 同时出发，当点 运动到点 时，两点停止运动，设运动时间为 ．
（1） ， ；（用含 的代数式表示）
（2）当 为何值时， 的长度等于 ？
（3）是否存在 的值，使得五边形 的面积等于 ？若存在，请求出此时 的值；若不存在，请说明理由．
21．已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：无论k取何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根 满足 ，求k的值．
22．某水果专卖店销售樱桃，其进价为每千克 元，按每千克 元出售，平均每天可售出 千克，后来经过市场调查发现，单价每千克降低 元，则平均每天的销售可增加 千克，若该专卖店销售这种樱桃要想平均每天获利 元，请回答：
（1）每千克樱桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
23．已知关于 的一元二次方程 .
（1）求证：方程一定有两个实数根；
（2）若此方程的两根为不相等的整数，求正整数 的值.
24．已知：平行四边形 的两边 的长是关于方程 的两个实数根．
（1）当m为何值时，平行四边形 是菱形？并求出此时菱形的周长．
（2）若 ，那么平行四边形 的周长是多少？
25．如图， 中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A沿AC边向C点以1cm/s的速度移动，在C点停止，点Q从C点开始沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，在B点停止.
（1）如果点P，Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟，使 ？
（2）如果点P从点A先出发2s，点Q再从点C出发，经过几秒钟后 ？
（3）如果点P、Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟后PQ＝BQ？
26．
（1）根据要求，解答下列问题：
①方程 的解为 ；
②方程 的解为 ；
③方程 的解为 ；
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程 的解为 .
②关于x的方程 的解为x1＝1，x2＝n；
（3）请用配方法解方程 ，以验证猜想结论的正确性.
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第二章 一元二次方程 单元专项巩固基础卷
一、选择题
1．一元二次方程3x2+2x-5=0的常数项是（ ）
A．3 B．2 C．-5 D．5
【答案】C
【解析】【解答】解：一元二次方程3x2+2x-5=0是一般形式，
所以，一元二次方程3x2+2x-5=0的常数项是-5，
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程一般式的定义判断即可。
2．方程 的两个根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：原方程通过因式分解可变形为 ，解得 ， ，或用公式法求解得 ，故 ， ．
【分析】利用十字相乘的方法求解即可。
3．某学校要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），计划安排21场比赛，设参赛队数为x，列方程为（ ）
A．x（x-1）＝21 B．x（x-1）＝21
C．2x（x-1）＝21 D．x（x＋1）＝21
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛，
则可列方程为，
故答案为：B．
【分析】根据题意列出方程即可。
4．同一根细铁丝可以折成边长为的等边三角形，也可以折成面积为的长方形.设折成的长方形的一边长为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解： 边长为10cm的等边三角形的周长为30cm ，
即铁丝的长度为30cm ，
设折成的长方形的一边长为xcm ，则长方形的另一边长为（15-x）cm ，
长方形的面积为50cm2 ，
.
故答案为：D.
【分析】根据铁丝的总长度不变，即三角形的周长=长方形的周长，据此可表示出长方形的另一边长，进而根据长方形的面积=长×宽建立方程即可.
5．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得 ，
∴一元二次方程 的根的情况是无实数根.
故答案为：D.
【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根.确定a，b，c的值，代入公式判断出△的符号即可得出结论.
6．向阳村2010年的人均收入为12000元，2012年的人均收入为14520元，求人均收入的年平均增长率.设年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A．12000（1-x）2＝14520 B．14520（1-x）2＝12000
C．12000（1+x）2＝14520 D．14520（1+x）2＝12000
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可得：12000（1+x）2＝14520.
故答案为：C.
【分析】由题意可得：2011年的人均收入为12000(1+x)元，2012年的人均收入为12000(1+x)2元，然后根据2012年的人均收入为14520元就可列出方程.
7．已知关于x的一元二次方程，下列说法正确的是（ ）
A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根
C．方程没有实数根 D．方程根的情况无法确定
【答案】C
【解析】【解答】解：由一元二次方程，整理得，
因为，所以方程没有实数根．
故选：C．
【分析】根据题意，化简方程为，求得判别式的值，结合判别式的的意义，即可得到答案.
8．若m、n是的两根，则的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【解析】【解答】解：∵m、n是的两根，
∴，，，
∴
故答案为：B.
【分析】根据根与系数的关系可得m+n=-2，mn=-5，根据方程解的概念可得m2=5-2m，然后代入计算即可.
9．一种药品原价为25元，经过两次降价后每盒16元，设两次降价的百分率都同为x，则x满足方程（ ）
A．25（1﹣2x2）＝16 B．25（1﹣x）2＝16
C．16（1+2x2）＝25 D．16（1+x）2＝25
【答案】B
【解析】【解答】解：第一次降价后的价格为25（1﹣x），
第二次降价后的价格为25（1﹣x）×（1﹣x）＝25×（1﹣x）2，
∴列的方程为25（1﹣x）2＝16.
故答案为：B.
【分析】由题意可得第一次降价后的价格为25(1-x)元，第二次降价后的价格为25(1-x)2元，然后根据经过两次降价后每盒16元就可列出方程.
10．已知关于x的一元二次方程x2﹣mnx+m+n＝0，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【解析】【解答】解：由数轴得m＞0，n＜0，m+n＜0，
∴mn＜0，
∴Δ＝（mn）2﹣4（m+n）＞0，
∴方程有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】由数轴得m＞0，n＜0，m+n＜0，进而算出方程根的判别式Δ=b2-4ac的值，当b2-4ac的值＞0的时候，方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac的值=0的时候，方程有两个相等的实数根当b2-4ac的值＜0的时候，方程没有实数根，据此即可得出答案.
11．设，是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：方程、是方程的两个实数根，
，，
．
故答案为：A.
【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2=5，x1x2=-4，对待求式进行通分可得，然后代入计算即可.
12．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则 ；其中正确的（ ）
A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③
【答案】B
【解析】【解答】解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知△＝b2﹣4ac≥0，故①正确；
②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴△＝b2﹣4ac＝0﹣4ac＞0，
∴﹣4ac＞0，
则方程ax2+bx+c＝0的判别式△＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
则ac2+bc+c＝0，
∴c（ac+b+1）＝0
若c＝0，等式仍然成立，
但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
则由求根公式可得：
x0＝ 或x0＝
∴2ax0+b＝ 或2ax0+b＝
∴
故④正确.
故答案为：B.
【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案.
二、填空题
13．如果，是方程的两个根，那么 .
【答案】0
【解析】【解答】解：，
，，
，
故答案为：0
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，进而整体代入即可求解。
14．已知关于的方程的一个根是，则的值为 .
【答案】-1
【解析】【解答】解：方程的一个根是，
，
解得，
故答案为：
【分析】先根据一元二次方程的解代入x=1，进而解方程即可求出m.
15．用配方法解方程，配方得，常数的值是 .
【答案】2
【解析】【解答】解：∵x2+4x-3=（x+2）2-7=0，
∴（x+2）2=7，
∴（x+2）2=（x+m）2，
∴m=2.
故答案为：2.
【分析】将x2+4x-3=0配方得（x+2）2-7=0，从而得（x+2）2=（x+m）2，即可求得m的值.
16．若，且关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】k≤4且k≠0
【解析】【解答】解：∵，
∴b-1=0，a-4=0，
∴a=4，b=1，
∴原方程为
∵一元二次方程有实数根，
∴k≠0且Δ≥0，即16-4k≥0，
解得k≤4，
故答案为：k≤4且k≠0．
【分析】利用几个非负数之和为0，每一个数都为0，可得到关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，将a，b的值代入方程，根据一元二次方程有实数根，可知b2-4ac≥0且k≠0，可得到关于k的不等式，解不等式求出k的取值范围.
17．已知实数，满足，，且，且的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，∴，
∴α、可以看作方程，
∴
故答案为：.
【分析】通过分析两方程的特点以及所求代数式，不难想到应该是考查根与系数的关系，所以对第二个方程适当变形，易知是一元二次方程的两实数根，利用根与系数的关系求得两个和与两根积，进而求代数式的值。
18．若方程 的根也是方程 的根，则 .
【答案】-5
【解析】【解答】解：∵ x2-3x+1=0, ∴x2=3x-1,
∴x4+ax2+bx+c=(3x-1)2+ax2+bx+c=0,
∴9x2-6x+1+ax2+bx+c=0,
∴(9+a)x2+(b-6)x+c+1=0,
∵ x2-3x+1=0,
∵x1+x2= , ∴3a+b=-21,
∵x1x2==1, ∴a=c-8,
∴3a+b=a+b+2a=a+b+2(c-8)=a+b+2c-16=-21,
∴a+b+2c=-21+16=-5.
故答案为：-5.
【分析】由x2-3x+1=0得x2=3x-1, 代入x4+ax2+bx+c=0中把x4降次，再根据根与系数的关系列式，求出a、b、c的关系，再将原式变形即可求值.
三、综合题
19．用公式法解方程：
（1） ；
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：∵
∴ ，
∴
∴方程的解为 ；
（2）解：∵ ，∴ ，∴
∴方程的解为 ；
（3）解：∵ ，∴ ，∴
∴方程的解为 ；
（4）解：将所给方程整理为一般形式
∴ ，
∴ ，
∴
∴方程的解为
【解析】【分析】使用公式法解一元二次方程的前提条件是：①一元二次方程为一般形式 ，② ．
20．如图，在矩形 中， ， ，点 从点 开始沿边 向终点 以 的速度移动；与此同时，点 从点 开始沿边 向终点 以 的速度移动．如果 ， 分别从 ， 同时出发，当点 运动到点 时，两点停止运动，设运动时间为 ．
（1） ， ；（用含 的代数式表示）
（2）当 为何值时， 的长度等于 ？
（3）是否存在 的值，使得五边形 的面积等于 ？若存在，请求出此时 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（5-t）cm；（2t）cm
（2）解：由题意得：（5-t）2+（2t）2=52，
解得：t1=0，t2=2；
∵t＞0，故t=0舍去
∴当t= 2秒时，PQ的长度等于5cm；
（3）解：存在t=1秒，能够使得五边形APQCD的面积等于26cm2．理由如下：
长方形ABCD的面积是：5×6=30（cm2），
使得五边形APQCD的面积等于26cm2，则△PBQ的面积为30-26=4（cm2），
（5-t）×2t× =4，
解得：t1=4，t2=1．
∵Q运动到C点时，两点停止运动，故0＜2t≤6，即0＜t≤3
∴t=4舍去
即当t=1秒时，使得五边形APQCD的面积等于26cm2．
【解析】【解答】解：（1）∵P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，
∴AP=tcm，
∵AB=5cm，
∴PB=（5-t）cm，
∵点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，
∴BQ=2tcm；
故答案为：（5-t）cm，（2t）cm
【分析】（1）根据P，Q两点的运动速度可得PQ，PB的长度；
（2）根据勾股定理可得PB2+BQ2=QP2，代入相应数据解方程即可；
（3）根据题意可得△PBQ的面积=长方形ABCD的面积 - 五边形APQCD的面积=4 ，利用三角形的面积公式代入相应的数据可得方程，求出方程的解即可.
21．已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：无论k取何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根 满足 ，求k的值．
【答案】（1）证明：对于关于x的一元二次方程 ，
∵ ， ， ，
∴
，
∴无论 取什么实数值，这个方程总有两个的实数根；
（2）解：∵方程的两个实数根为 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
整理得： ，
解得： 或 ．
经检验k= 或k=1是原方程的解
∴k的值为 或1
【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式及根与系数的关系计算即可。
22．某水果专卖店销售樱桃，其进价为每千克 元，按每千克 元出售，平均每天可售出 千克，后来经过市场调查发现，单价每千克降低 元，则平均每天的销售可增加 千克，若该专卖店销售这种樱桃要想平均每天获利 元，请回答：
（1）每千克樱桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
【答案】（1）解：设每千克水果应降价 元，
根据题意，得： ，
解得： ，
答：每千克水果应降价 元或 元
（2）解：由（1）可知每千克水果可降价 元或 元．
因为要尽可能让利于顾客，所以每千克水果应降价 元．
此时，售价为： （元） ，
答：该店应按原售价的九折出售．
【解析】【分析】（1） 设每千克水果应降价 元， 利用销售量×每件利润=2240列出方程求解即可；（2）为了让利于顾客因此应下降6元求出此时的销售单价即可确定几折。
23．已知关于 的一元二次方程 .
（1）求证：方程一定有两个实数根；
（2）若此方程的两根为不相等的整数，求正整数 的值.
【答案】（1）证明：由题意可知：
方程一定有两个实数根.
（2）解：由题意得 ，解得
方程
或 .
方程有两个不相等的整数根
正整数 的值为1.
【解析】【分析】（1）此题只需要证明根的判别式的值不小于0即可；
（2）将原方程用因式分解法求解，再根据整数的特征可求解.
24．已知：平行四边形 的两边 的长是关于方程 的两个实数根．
（1）当m为何值时，平行四边形 是菱形？并求出此时菱形的周长．
（2）若 ，那么平行四边形 的周长是多少？
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
又∵AB、BC的长是关于x的方程 的两个实数根，
∴△＝（﹣4m）2﹣4×4（2m﹣1）＝16（m﹣1）2＝0，
∴m＝1，
∴当m为1时，四边形ABCD是菱形．
当m＝1时，原方程为 ，即 ，
解得： ＝ ，
∴菱形ABCD的边长是 ，
∴菱形ABCD的周长是 ，
∴当m为1时，四边形ABCD是菱形，此时菱形ABCD的周长是2.
（2）解：把x=2代入原方程 ，
解得：m＝ ，
将m＝ 代入原方程， ，
可得： ，
∴ ，
∴那么平行四边形 的周长= .
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质，可得AB＝BC，由于AB、BC的长是关于x的方程 的两个实数根，可得方程有两个相等的实数根，据此可得△=0，据此求出m的值，从得出方程，求出方程的解，即得菱形的边长，从而求出结论；
（2）把x=2代入原方程，求出m＝ ，利用平行四边形 的周长=
25．如图， 中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A沿AC边向C点以1cm/s的速度移动，在C点停止，点Q从C点开始沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，在B点停止.
（1）如果点P，Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟，使 ？
（2）如果点P从点A先出发2s，点Q再从点C出发，经过几秒钟后 ？
（3）如果点P、Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟后PQ＝BQ？
【答案】（1）解：P、Q同时出发，经过 秒钟， ，
由题意得：
∴ ，
解得： ， .
经2秒点P到离A点1×2＝2cm处，点Q离C点2×2＝4cm处，经4秒点P到离A点1×4＝4cm处，点Q到离C点2×4＝8cm处，经验证，它们都符合要求.
答：P、Q同时出发，经过2秒或4秒， .
（2）解：设P出发t秒时 ，则Q运动的时间为 秒，由题意得：
，
∴ ，
解得： .
因此经4秒点P离A点1×4＝4cm，点Q离C点2×（4﹣2）＝4cm，符合题意.
答：P先出发2秒，Q再从C出发，经过2秒后 .
（3）解：设经过 秒钟后PQ＝BQ，则 ， ， ，
，
解得： ， （不合题意，舍去），
答：经过 秒钟后PQ＝BQ.
【解析】【分析】 (1)设AP=xcm ， PC=(6-x)cm ， QC= 2xcm ， 根据 构建方程求解即可；
(2)设P出发t秒时 ，则Q运动的时间为 秒， 根据 列出方程求解即可；
(3)设经过x秒钟后PQ＝BQ，则PC=(6-x)cm ， QC=2xcm ， BQ=(8- 2x)cm ， 利用勾股定理和PQ =BQ列出方程求解即可.
26．
（1）根据要求，解答下列问题：
①方程 的解为 ；
②方程 的解为 ；
③方程 的解为 ；
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程 的解为 .
②关于x的方程 的解为x1＝1，x2＝n；
（3）请用配方法解方程 ，以验证猜想结论的正确性.
【答案】（1）；；
（2）；
（3）解:
，
故猜想正确.
【解析】【解答】解：（1）①
（x-1）（x-1）=0
②
（x-1）（x-2）=0
③
（x-1）（x-3）=0
；
（ 2 ）①
（x-1）（x-9）=0
②根据方程的规律，一次项系数绝对值比常数项多1，而且常数项为方程除1的另外一个解，故常数项就是n，所以一次项系数绝对值为（n+1），按照规律一次项系数为负的，故方程为 ；
【分析】（1）利用因式分解法分别解方程即可；
（2）①利用（1）中特征解方程即得；②根据根与系数的关系确定一次项系数和常数项即得；
（3）根据配方法将方程变形为（x-5）2=16，然后利用直接开平方求出方程的解即可.
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