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第四章 图形的相似 单元同步真题检测卷
一、选择题
1．若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
2．如果5x=6y，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如果点是线段AB的黄金分割点，且，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．
4．如果两个相似多边形的周长比是2：3，那么它们的面积比为（ ）
A．2：3 B．4：9 C．： D．16：81
5．如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD位似，点O是它们的位似中心，已知A（﹣6，4），C（3，﹣2），则△OAB与△OCD的面积之比为（ ）
A．1：1 B．2：1 C．3：1 D．4：1
6．已知A、B两点的坐标分别为(－6，3)、(－12，8)，ABO与是以原点О为位似中心的位似图形，若点的坐标为(2，－1)，则点的坐标为（ ）
A．(－4，) B．(4，－) C．(－6，4) D．(6，－4)
7．如图， ， 相交于点 ，且 ，点 ， ， 在同一条直线上．已知 ， ， ，则 ， ， 之间满足的数量关系式是（ ）
A． B． C． D．
8．如果两个相似三角形的对应边之比为2：5，其中一个三角形的一个内角的角平分线长为7，则另一个三角形对应角平分线的长为（ ）
A． B． C． 或 D．无法确定
9．如图，小颖把一面镜子水平放置在离树底（点B）8米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢（点A），已知 米，小颖目高 米，则树的高度AB为（ ）
A．3.2米 B．4.8米 C．8米 D．20米
10．如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列A、B、C、D四个图中的3三角形（阴影部分）与 相似的是（ ）．
A． B．
C． D．
11．若矩形ABCD∽矩形EFGH，相似比为2∶3，已知AB＝3 cm，BC＝5 cm，则矩形EFGH的周长是（ ）
A．16 cm B．12 cm C．24 cm D．36 cm
12．如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．②③④
二、填空题
13．已知△ABC∽△A'B'C' 相似比为，AD，A'D'分别是△ABC，△A'B'C'的一条高线，则AD与A'D'的比为
14．如图，在△ABC中，DE∥AB，且，则的值为
15．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1： ，点A的坐标为（0， ），则点E的坐标是 ．
16．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，AC＝10m，则建筑物CD的高是 m．
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别在格点上，其中A（3，2）、B（1，﹣1）、C（4，0）．以点B为位似中心，在y轴的右侧，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A1B1C1则点A的对应点A1的坐标为 ．
18．如图， 在平面直角坐标系中， 直线 与 轴， 轴分别相交于点 、点 ， 点 是线段 的中点， 动点 从点 开始以每秒 1 个单位长度的速度沿路线 向终点 匀速运动， 设运动的时间为 秒， 连接 ， 将 沿 翻折， 使点 落在如图的点 处， 若 平行于 轴时， 则此时的时间 为 秒.
三、综合题
19．如图，在 中， ， ，将 绕点 按顺时针方向旋转 度后，得到 ，点 刚好落在边 上， 交 于点 ．
（1） 的值是 ；
（2）若 是 的中点，求证： ．
20．如图，在 的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点 和 的顶点均为小正方形的顶点.
（1）以 为位似中心，在网格图中作 ，使 和 位似，且位似比为 ；
（2）连接（1）中的 ，求四边形 的周长.（结果保留根号）
21．如图，在 ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE=∠F．
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）若AB=5，AD=8，BE=2，求FC的长．
22．如图，是规格为9×9的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作：
（1）请在网格中画出平面直角坐标系，使A的坐标为（﹣2，4），B的坐标为（﹣4，2）；
（2）在第二象限内的格点上画一点C，使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形，且腰长是无理数，则点C的坐标是 ，△ABC的周长是 （结果保留根号）；
（3）把△ABC以点C为位似中心向右放大后得到△A1B1C，使放大前后对应边长的比为1：2，画出△A1B1C的图形并写出点A1的坐标．
23．如图，在 中， ，动点 从点 出发，在 边上以每秒 的速度向点 匀速运动，同时动点 从点 出发，在 边上以每秒 的速度向点 匀速运动，设运动时间为 秒（ ），连接 ．
（1）若 与 相似，求 的值；
（2）当 为何值时，四边形 的面积最小？并求出最小值．
24．如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡P在线段DE上．
（1）请你确定灯泡P所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子．
（2）如果小明的身高AB＝1.8m，他的影子长AC＝1.5m，且他到路灯的距离AD＝2m，求灯泡P距地面的高度．
25．如图，已知 ，它们依次交直线 、 于点 、 、 和 、 、 ．若 ， ＝ ．
（1）求 的长；
（2）如果 ＝ ， ＝ ，求 的长．
26．等腰三角形AFG中AF=AG，且内接于圆O，D、E为边FG上两点(D在F、E之间)，分别延长AD、AE交圆O于B、C两点(如图1)，记∠BAF=α，∠AFG=β.
（1）求∠ACB的大小(用α，β表示)；
（2）连接CF，交AB于H(如图2).若β=45°，且BC×EF=AE×CF.求证：∠AHC=2∠BAC；
（3）在(2)的条件下，取CH中点M，连接OM、GM(如图3)，若∠OGM=2α-45°，①求证：GM∥BC，GM=BC②请直接写出的值.
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第四章 图形的相似 单元同步真题检测卷
一、选择题
1．若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵ ，
∴设a=5k，b=8k，（k≠0），
∴ = ，
故答案为：A.
【分析】设a=5k，b=8k，（k≠0），将其代入原式化简，即可得出结果.
2．如果5x=6y，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】A， 可以得出：
故答案为：A.
【分析】根据两内项之积等于两外项之积可判断求解.
3．如果点是线段AB的黄金分割点，且，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由于P为线段的黄金分割点，
且，
则，
故答案为：D．
【分析】由于P为线段的黄金分割点，且，即可得出答案。
4．如果两个相似多边形的周长比是2：3，那么它们的面积比为（ ）
A．2：3 B．4：9 C．： D．16：81
【答案】B
【解析】【解答】解：∵两个相似多边形的周长比是2：3，
∴这两个相似多边形的相似比是2：3，
∴它们的面积比是4：9，
故答案为：B．
【分析】根据相似多边形的性质可得：面积之比等于相似比的平方。
5．如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD位似，点O是它们的位似中心，已知A（﹣6，4），C（3，﹣2），则△OAB与△OCD的面积之比为（ ）
A．1：1 B．2：1 C．3：1 D．4：1
【答案】D
【解析】【解答】解：∵△OAB与△OCD位似，点O是它们的位似中心，A（﹣6，4），C（3，﹣2），
∴△OAB与△OCD的位似比为：6：3＝2：1，
则△OAB与△OCD的面积之比为：22：1＝4：1．
故答案为：D．
【分析】直接利用位似图形的性质结合对应点坐标得出位似比，进而得出面积比。
6．已知A、B两点的坐标分别为(－6，3)、(－12，8)，ABO与是以原点О为位似中心的位似图形，若点的坐标为(2，－1)，则点的坐标为（ ）
A．(－4，) B．(4，－) C．(－6，4) D．(6，－4)
【答案】B
【解析】【解答】解：∵ABO与是以原点О为位似中心的位似图形，
∴k=|2|：|-6|=1：3，
∵B (－12，8)，
∴点的坐标为（12×，-8×）即（4，－）．
故答案为：B．
【分析】根据位似图形的性质可得相似比k=|2|：|-6|=1：3，再根据B (－12，8)，即可得到点的坐标为（12×，-8×）即（4，－）．
7．如图， ， 相交于点 ，且 ，点 ， ， 在同一条直线上．已知 ， ， ，则 ， ， 之间满足的数量关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵AC∥EF∥BD，
∴，，
∵AP=p，EF=r，DB=q，
∴BF=·BC，CF=·BC，
∵BF+CF=BC，
∴·BC+·BC=BC，
∴+=1，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，，从而得出BF=·BC，CF=·BC，利用BF+CF=BC得出+=1，即可得出.
8．如果两个相似三角形的对应边之比为2：5，其中一个三角形的一个内角的角平分线长为7，则另一个三角形对应角平分线的长为（ ）
A． B． C． 或 D．无法确定
【答案】C
【解析】【解答】解：设另一个三角形的对应角平分线的长为x，
∵两个相似三角形的对应边之比为2：5，
∴它们对应的一个内角的角平分线的长的比为2：5，
∵其中一个三角形的一个内角的角平分线长为7，而这条角平分线可能是大三角形的也可能是小三角形的，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
故答案为：C．
【分析】设另一个三角形的对应角平分线的长为x，根据相似三角形的对应边之比为2：5，在根据其中一个三角形的一个内角的角平分线长为7，而这条角平分线可能是大三角形的也可能是小三角形的，由此求解即可。
9．如图，小颖把一面镜子水平放置在离树底（点B）8米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢（点A），已知 米，小颖目高 米，则树的高度AB为（ ）
A．3.2米 B．4.8米 C．8米 D．20米
【答案】A
【解析】【解答】解：根据题意得
∵∠CED＝∠AEB，∠CDE＝∠ABE，
∴△CED∽△AEB，
∴CD：AB＝DE：BE，即1.6：AB＝4：8，
∴AB＝3.2，
答：树的高度AB为3.2m．
故答案为：A．
【分析】先证明△CED∽△AEB，在利用相似比得出AB的长即可。
10．如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列A、B、C、D四个图中的3三角形（阴影部分）与 相似的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵小正方形的边长为1，
∴在△EFG中，EG＝ ，FG＝2，EF＝ ，
A.三边各为：3， ， 与△EFG中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似；
B.三边各为：1，2 ， 与△EFG中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似；
C.三边各为：1， ， 与△EFG中的三边对应成比例，故两三角形相似；
D.三边各为：2， ， 与△EFG中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似．
故答案为：C．
【分析】根据三角形相似的判定方法逐项判断即可。
11．若矩形ABCD∽矩形EFGH，相似比为2∶3，已知AB＝3 cm，BC＝5 cm，则矩形EFGH的周长是（ ）
A．16 cm B．12 cm C．24 cm D．36 cm
【答案】C
【解析】【解答】∵AB=3cm，BC=5cm，
∴矩形ABCD的周长=2×（3+5）=16cm，
∵矩形ABCD∽矩形EFGH，相似比为2：3，
∴矩形ABCD与矩形EFGH的周长比2：3，
∴矩形EFGH的周长为24cm，
故答案为：C．
【分析】先求出矩形ABCD的周长为16cm，再求出矩形ABCD与矩形EFGH的周长比2：3，最后计算求解即可。
12．如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．②③④
【答案】C
【解析】【解答】解：由折叠的性质可知EA=EO=EB，EO=GD=GA，且COE=B=90
同时∠GEO=∠GEA，∠CEO=∠CEB，即有∠OEA=2∠OEG，∠OEB=2∠OEC，
∵∠OEA+∠OEB=180°
∴∠OEC+∠OEG=90°，即∠GEC=90°
∵∠OGE+∠OEG=90°，∠OEG+∠OEC=90°
∴∠OEC=∠OGE
∴△OEG~△COE
∴
∴OE2=OG·OC(1)
设OE=a，则EA=EB=a，设AG=b，则OG=DG=b，OC=BC=2b，代入（1）式得a2=2b2，即a=b，于是AB=AD，故②错误；
∵△OCF~△ODG
∴，即，得OF=，
∵
∴GF||CE，故①正确；
CE=，DF=OF=，故，故③错误；
而OC=2b，OF=，故，故④正确；
综上所述，①④正确.
故答案为：C.
【分析】由折叠的性质知∠CEG=90°，设AE=a，AG=b，由△OEG~△COE得OE2=OG·OC得a=b，由△OCF~△ODG得OF=，即可得CE、DF的长，即可判断GF||CE和.
二、填空题
13．已知△ABC∽△A'B'C' 相似比为，AD，A'D'分别是△ABC，△A'B'C'的一条高线，则AD与A'D'的比为
【答案】
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△A B C ，，AD，A'D'分别是△ABC，△A'B'C'的一条高线 ，
∴.
答案为：.
【分析】根据相似三角形的性质“相似三角形的对应高的比等于相似比”可求解.
14．如图，在△ABC中，DE∥AB，且，则的值为
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵DE∥AB，
∴.
故答案为：.
【分析】根据题意得出，再根据平行线分线段成比例性质得出，即可得出答案.
15．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1： ，点A的坐标为（0， ），则点E的坐标是 ．
【答案】（3，3）
【解析】【解答】解：∵点A的坐标为（0， ），
∴OA= ，
∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1： ，
∴ ，
∴OF=EF=3，
∴点E的坐标是（3，3）；
故答案为（3，3）．
【分析】由题意可得出1： ，由点A的坐标（0， ），即可求得OD的长，又由正方形的性质，即可求出E点的坐标。
16．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，AC＝10m，则建筑物CD的高是 m．
【答案】5
【解析】【解答】∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB∥DC，
∴ ， ，
又∵ ，
∴△ABE∽△ACD，
∴ ＝ ，
∵BE＝1.5m，AB＝3m，AC＝10m，
∴ ，
解得， ，
即建筑物CD的高是5m，
故答案为：5．
【分析】根据题意先证明△ABE∽△ACD，再求出 ，最后计算求解即可。
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别在格点上，其中A（3，2）、B（1，﹣1）、C（4，0）．以点B为位似中心，在y轴的右侧，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A1B1C1则点A的对应点A1的坐标为 ．
【答案】（5，5）
【解析】【解答】如图，根据题意得到△A1B1C1
所以在y轴的右侧，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A1B1C1则点A的对应点A1的坐标为（5，5）
故答案为：（5，5）
【分析】根据题意得到△A1B1C1，所以在y轴的右侧，将△ABC放大为原来的2倍，即可得到△A1B1C1则点A的对应点A1的坐标。
18．如图， 在平面直角坐标系中， 直线 与 轴， 轴分别相交于点 、点 ， 点 是线段 的中点， 动点 从点 开始以每秒 1 个单位长度的速度沿路线 向终点 匀速运动， 设运动的时间为 秒， 连接 ， 将 沿 翻折， 使点 落在如图的点 处， 若 平行于 轴时， 则此时的时间 为 秒.
【答案】0.5或4.5
【解析】【解答】解：令y=0，，解得x=4，∴A(4，0)，∴OA=4
令x=0，∴y=3，∴B(0，3)，∴OB=3
∴
∵ 点 是线段 的中点
∴CB=OC=1.5
（1）如图：当PB'∥x轴时，过点C作CD∥OA交直线AB于点D
∴∠1=∠B'，∠2=∠OAB
由折叠可知：∠B'=∠B
∴∠B=∠1
∴△BOA∽△CED
∴
∵CD∥AO，点 是线段 的中点
∴
∴
∴
∴B'E=CB'-CE=
又PB'∥x轴，CD∥OA
∴PB'∥CD
∴△PB'E∽△DCE
∴
∴
∴PB'=
∵ 动点 从点 开始以每秒 1 个单位长度的速度 沿路线 向终点 匀速运动
∴t=
如图：当PB'∥x轴时，过点C作CD∥OA交直线AB于点D
同（1）知：△BOA∽△B'EC，
∴
∴
∴
∴
∴EB=BC＋CE=1.2＋1.5=2.7
同理△BEP∽△BOA
∴
∴
∴EP=3.6
∴B'P=B'E＋EP=0.9＋3.6=4.5
∵ 动点 从点 开始以每秒 1 个单位长度的速度 沿路线 向终点 匀速运动
∴t=4.5
故答案为0.5或4.5.
【分析】先根据求出AO，BO，OC，CB的长，再根据勾股定理：，
（1）当PB'∥x轴时，过点C作CD∥OA交直线AB于点D，证明△BOA∽△CED，得到，再代入数值，求出CE，再根据B'E=CB'-CE计算出B'E，再根据△PB'E∽△DCE，得到，求出B'P，再根据路程等于速度乘以时间，计算出速度即可
（2）同（1）得：△BOA∽△B'EC，得出：，计算出，再根据勾股定理计算出CE即：，再根据EB=BC＋CE计算出BE，同理△BEP∽△BOA可得：，代入数值，计算出EP，最后计算出B'P，再根据路程等于速度乘以时间，计算出速度即可.
三、综合题
19．如图，在 中， ， ，将 绕点 按顺时针方向旋转 度后，得到 ，点 刚好落在边 上， 交 于点 ．
（1） 的值是 ；
（2）若 是 的中点，求证： ．
【答案】（1）60
（2）证明：由 可得 ，
∵ 绕点 旋转后得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ .
【解析】【解答】解：（1）
绕点 按顺时针方向旋转 度后，得到 ，点 刚好落在边 上，
为等边三角形
即 的值是60，
故答案为： 60；
【分析】(1)利用直角三角形两锐角互余求出∠A，再根据旋转的性质得CA=CD，∠ACD=n°，则可判断△ACD为等边三角形，所以cACD=60°，即可得到n的值；
(2)根据旋转的性质得∠CDE=∠A=60°，再利用平行线的判定和性质可得，由F是直角DCE的中点，进一步∠判断△CDF为等边三角形，进而判断。
20．如图，在 的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点 和 的顶点均为小正方形的顶点.
（1）以 为位似中心，在网格图中作 ，使 和 位似，且位似比为 ；
（2）连接（1）中的 ，求四边形 的周长.（结果保留根号）
【答案】（1）解：取OA得中点 ，取OB得中点 ，取OC得中点 ，
依次连接 ， ， ，
即为所求作的三角形.
如图所示，
（2）解：根据勾股定理得 ，
，
所以，四边形 AA′C′C 的周长 .
【解析】【分析】 （1）根据△A′B′C′和△ABC以O为位似中心，且位似比为1：2，得出对应点位置，然后将这几个点顺次连接起来即可．
（2） 根据勾股定理先求出AC和A'C'的长，再求四边形 AA′C′C 的周长即可.
21．如图，在 ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE=∠F．
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）若AB=5，AD=8，BE=2，求FC的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC．
∴∠B＝∠ECF，∠DAE＝∠AEB．
又∵∠DAE＝∠F，
∴∠AEB＝∠F．
∴△ABE∽△ECF
（2）解：∵△ABE∽△ECF，
∴ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝8．
∴EC＝BC BE＝8 2＝6．
∴ ．
∴FC＝ .
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可知AB∥CD，AD∥BC．所以∠B＝∠ECF，∠DAE＝∠AEB，又因为又∠DAE＝∠F，进而可证明：△ABE∽△ECF；（2）由（1）可知：△ABE∽△ECF，所以 ，由平行四边形的性质可知BC＝AD＝8，所以EC＝BC BE＝8 2＝6，代入计算即可．
22．如图，是规格为9×9的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作：
（1）请在网格中画出平面直角坐标系，使A的坐标为（﹣2，4），B的坐标为（﹣4，2）；
（2）在第二象限内的格点上画一点C，使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形，且腰长是无理数，则点C的坐标是 ，△ABC的周长是 （结果保留根号）；
（3）把△ABC以点C为位似中心向右放大后得到△A1B1C，使放大前后对应边长的比为1：2，画出△A1B1C的图形并写出点A1的坐标．
【答案】（1）解：把点A向右平移2个单位，向下平移4个单位就是原点，建立相应的平面直角坐标系，如下图所示：
（2）（﹣1，1）；2 +2
（3）解：根据题意得：点 在 的延长线上，且 ，
∵ 是一个 格子的对角线
∴ 是一个 格子的对角线
利用格点找出点 ，同理找出 ，连接 ，如下图所示：
∴点A1的坐标为
【解析】【解答】解：（2）作线段AB的垂直平分线，在第二象限内寻找满足腰长是无理数的点C，如下图所示：
C点的坐标为 ，
利用图中格点的三角形可得：
∴△ABC的周长是 ；
故答案为：， ；
【分析】（1）由点A、B的坐标可求解；
（2）由于等腰三角形的两腰相等，故作线段AB的垂直平分线，在第二象限内寻找满足腰长是无理数的点C，然后由勾股定理可求得AB的值，再根据三角形的周长等于三角形三边之和可求解；
（3）延长AC到A1，使A1C＝2CA，延长BC到B1，使B1C＝2CB，从而得到△A1B1C，然后写出点A1的坐标．
23．如图，在 中， ，动点 从点 出发，在 边上以每秒 的速度向点 匀速运动，同时动点 从点 出发，在 边上以每秒 的速度向点 匀速运动，设运动时间为 秒（ ），连接 ．
（1）若 与 相似，求 的值；
（2）当 为何值时，四边形 的面积最小？并求出最小值．
【答案】（1）解：∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，
分两种情况：
①当 时， ，即 ，解得 ；
②当 时， ，即 ，解得 ．
综上所述，当 或 时， 与 相似；
（2）解：过点 作 于点 ，则 ，
∴ ，
∴ ，即 ，解得 ．
设四边形 的面积为 ，
．
∴当 时， 取得最小值，最小值为 ．
【解析】【分析】（1）分两种情况：
①当 ，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值；
②当 时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值；
（2） 过点 作 于点 ，得 ， 证出 ，得出比例式求出
。又由四边形 的面积 = 的面积- 的面积，得出Y是t的二次函数，由二次函数的性质得出结论。
24．如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡P在线段DE上．
（1）请你确定灯泡P所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子．
（2）如果小明的身高AB＝1.8m，他的影子长AC＝1.5m，且他到路灯的距离AD＝2m，求灯泡P距地面的高度．
【答案】（1）解：如图，点P为灯泡所在的位置，
线段FH为小亮在灯光下形成的影子．
（2）解： ，
，
∴ ，
∴PD＝4.2（m）．
∴灯泡的高为4.2m．
【解析】【分析】 (1) 连接CB，延长CB交DE于点P，连接PG，延长PG交CF于H，点P及线段FH即为所求；
(2) 利用，可得，然后利用相似三角形的性质列方程求解即可。
25．如图，已知 ，它们依次交直线 、 于点 、 、 和 、 、 ．若 ， ＝ ．
（1）求 的长；
（2）如果 ＝ ， ＝ ，求 的长．
【答案】（1）解：∵AD∥BE∥CF
∴ ，即 ，
又∵ ，即 ，AC=14，
∴AB=4
（2）解：过A作AG∥DF交BE于H，交CF于G，如图所示：
∵AD∥BE∥CF，AD=7，
∴AD=HE=GF=7，
又∵CF=14，
∴CG=7，
又∵BE∥CF，
∴ ，
故BH=2，
∴BE=BH+HE=9．
【解析】【分析】（1）根据题意易得 ，然后由 ＝ 可进行求解；（2）过A作AG∥DF交BE于H，交CF于G，易得AD=HE=GF=7，然后根据平行所截线段成比例进行求解即可．
26．等腰三角形AFG中AF=AG，且内接于圆O，D、E为边FG上两点(D在F、E之间)，分别延长AD、AE交圆O于B、C两点(如图1)，记∠BAF=α，∠AFG=β.
（1）求∠ACB的大小(用α，β表示)；
（2）连接CF，交AB于H(如图2).若β=45°，且BC×EF=AE×CF.求证：∠AHC=2∠BAC；
（3）在(2)的条件下，取CH中点M，连接OM、GM(如图3)，若∠OGM=2α-45°，①求证：GM∥BC，GM=BC②请直接写出的值.
【答案】（1）解：如图：连接CF
∵ AF=AG
∴
∴∠ACF= ∠AFG=β
∵∠BCF=∠BAF= α
∴∠ACB=∠BCF＋∠ACF=α＋β
（2）证明：如图，连接BC
∵ AF=AG
∴
∴∠ACF=∠AFG=45°
∵∠FAE=∠FAE
∴△FAE∽△CAF
∴
∴AE·CF=AF·EF
∵BC·EF=AE·CF
∴BC·EF=AF·EF
∴BC=AF
∴
∴∠BAC=∠ACH=45°
∴∠AHC=90°
∴ ∠AHC=2∠BAC .
（3）解：如图：延长GM交AB于点I，连接FI，FB，CG
由（2）知：FG是 圆O 的直径
∴∠FAG=90°，∠FCG=90°
∵∠AHC=90°
∴AH∥CG
∵∠BCF=∠BAF=α
∴∠IAG=∠FAG－∠FAB=90°－α
∠ABC=90°－∠BCF=90°－α
∴∠IAG=∠ABC
∴IG∥BC
∴四边形BCGI为平行四边形
∴BI=CG，IG=BC
∵AH∥CG
∴∠MGC=∠MIH，∠HMI=∠CMG
∵M是CH的中点
∴HM=CM
∴△HMI≌△CMG(ASA)
∴HI=CG，IM=MG=IG
∴MG=BC，GM∥BC
②或.
【解析】【解答】解：（3）②
由 ① 可知：设HI=BI=CG=1，AH=HC=n
∴BH=HF=2，CF=n＋2
在Rt△FHI中，FI=
在Rt△BHC中，
由（2）知：AF=BC
∴
在Rt△AFG中，
又∵在Rt△CFG中，CF2＋CG2=FG2 ∴ n+22+1=8+2n2 ，解得：n=1或n=3
∴HC=1或3
∵OF=OG，IM=GM
∴OM=，MC=CH
∴
当n=1时，
当n=3时，
综上所述：的值为或
故答案为或.
【分析】（1）先根据AF=AG，得到，根据同弧所对的圆周角相等可得：∠BCF=∠BAF= α，∠ACF= ∠AFG=β，又因为∠ACB=∠BCF＋∠ACF，因此可得：∠ACB=α＋β.
（2）先根据∠ACF=∠AFG=45°，∠FAE=∠FAE得到△FAE∽△CAF，再根据对应边成比例得到：，因此AE·CF=AF·EF，又因为BC·EF=AE·CF，因此可得BC=AF，因此，
∠BAC=∠ACH=45°，因而可以得到∠AHC=90°，即可证明：∠AHC=2∠BAC .
（3） ① 先根据FG是 圆O 的直径得到FG是 圆O 的直径，由（2）知：∠AHC=90°，因此可得AH∥CG，再根据∠BCF=∠BAF=α，得到：∠IAG=∠ABC=90°－α，可以得出IG∥BC，从而推出四边形BCGI为平行四边形，得到IG=BC，再证明△HMI≌△CMG(ASA)，得到IM=MG=IG，从而得到MG=BC，GM∥BC.
②设HI=BI=CG=1，AH=HC=n，根据勾股定理分别求出： FI=，，因为AF=BC得到，在Rt△AFG中，，
最后再根据勾股定理：CF2＋CG2=FG2，列出方程 n+22+1=8+2n2 ，解得：n=1或n=3从而求出HC=1或3，再根据中位线定理得到：，然后把数值代入计算即可.
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