2024-2025学年江苏省连云港市灌南县高二上学期11月期中考试数学试题（含答案）

2024-2025学年江苏省连云港市灌南县高二上学期11月期中考试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.过点且倾斜角为的直线方程为( )
A. B. C. D.
2.若抛物线上的一点到坐标原点的距离为，则点到该抛物线焦点的距离为 ．
A. B. C. D.
3.已知直线过点，且在轴与轴上的截距互为相反数，则直线的方程为( )
A. B.
C. 或 D. 或
4.椭圆左右焦点分别为，，焦距为，直线经过交椭圆于，两点，若的周长为，则椭圆标准方程为( )
A. B. C. D.
5.已知动直线与圆圆心为交于点，，则弦最短时，的面积为( )
A. B. C. D.
6.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是( )
A. B. C. D.
7.已知，直线：与：的交点在圆：上，则的最大值是( )
A. B. C. D.
8.如图所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是
B. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
C. 点关于直线的对称点为
D. 过，两点的直线方程为
10.若点为原点，且圆与圆没有公共点，则圆的半径可以是( )
A. B. C. D.
11.已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，与轴相交于点的内切圆与边相切于点若，则下列说法正确的有( )
A. 双曲线的渐近线方程为
B. 若直线与双曲线有且仅有个公共点，则
C. 的最小值为
D. 的内切圆的圆心在定直线上
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.请写出一个焦点在轴，并与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程： ．
13.若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围为 ．
14.已知椭圆的左、右顶点分别为，动点均在椭圆上，是坐标原点，记和的斜率分别为；与的面积分别为若，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
平行四边形中，已知，，．
求直线的方程；
求中边上的高所在直线的方程．
16.本小题分
已知圆过两点，且圆心在直线上．
求该圆的方程；
求过点的直线被圆截得弦长最大时的直线的方程．
17.本小题分
已知动点与点的距离比其到直线的距离小．
求动点的轨迹方程；
求点与点的距离的最小值，并指出此时的坐标．
18.本小题分
已知圆：，直线过定点．
若直线与圆相切，求直线的方程；
若直线与圆相交于，两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程．
19.本小题分
已知椭圆的离心率为，且过点．
求椭圆的方程；
，为椭圆上两个不同的点，且，
求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标；
过点作直线的垂线，垂足为，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.答案不唯一
13.
14.
15.解：平行四边形 中， ，
所以 ，
所以直线 的方程为 ，
整理得： ．
中，记 边上的高所在直线为 ，
则 ，
所以直线 的方程为 ，
整理得：

16.解：，，
，
由的中点坐标为，的垂直平分线方程为，
联立，解得，则圆心，且．
圆的方程为；
直线被圆截得的弦长最大时的直线过圆心，直线过，
又直线过点，，
直线的方程为，即．
17.解：由题意知动点到的距离与它到的距离小即与到直线的距离相等，
所以动点的轨迹为以为焦点、以直线为准线的抛物线，
因此动点的轨迹方程为．
设，
由两点间的距离公式得：，
当，即时，，
即当或时，点与点的距离最小，最小值为．

18.解：若直线的斜率不存在，则直线：，符合题意
若直线斜率存在，设直线的方程为，即．
由题意知，圆心到已知直线的距离等于半径，即：，解之得 所求直线的方程是或．
直线与圆相交，斜率必定存在，且不为，设直线方程为，
则圆心到直线的距离
又的面积

当时，取得最大值
或
所求直线方程为或．

19.解：由题意知，故，即，
又因为椭圆过点，所以，解得，
所以椭圆的方程为：．
设，，
，
当直线斜率不存在时，设，
联立得，
，
解得舍或，此时．
当直线斜率存在时，设，
联立得，
．
又，
，
整理得，
将代入整理得，
，
或，
当时，，过点，不成立；
当时，，则过定点，
综上所述，过定点．

过定点，
，即在以为直径的圆上，
圆心为的中点，半径，
．

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