2024-2025学年江苏省常州市奔牛、二中、武高高二上学期期中质量调研数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年江苏省常州市奔牛、二中、武高高二上学期期中质量调研数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 124.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-29 16:24:15 | ||
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文档简介
2024-2025学年常州市奔牛、二中、武高高二上学期期中质量调研
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
3.已知点，，直线：与线段相交，则实数的取值范围是( )
A. 或 B. 或
C. D.
4.已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
5.已知点在抛物线上，过点作圆的切线，切点为，若点到的准线的距离为，则切线长为( )
A. B. C. D.
6.若圆上总存在两点到点的距离等于，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.已知曲线是双纽线，则下列结论正确的是( )
A. 曲线的图象不关于原点对称
B. 时，曲线经过个整点横、纵坐标均为整数的点
C. 若时，直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为
D. 若时，直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为
8.设双曲线的右焦点为，双曲线上的两点、关于原点对称，且满足
，，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线，则下列结论正确的是( )
A. 直线过定点
B. 原点到直线距离的最大值为
C. 若点，到直线的距离相等，则
D. 若直线不经过第四象限，则．
10.已知，，是曲线上的任意一点，若的值与，无关，则( )
A. 的取值范围为 B. 的取值范围为
C. 的取值范围为 D. 的取值范围为
11.已知，，点满足则( )
A. 点的轨迹为双曲线 B. 直线上存在满足题意的点
C. 满足的点共有个 D. 的周长的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为 ．
13.已知直线与圆交于，两点，则面积的最大值为 ．
14.已知曲线．
若，则由曲线围成的图形的面积是 ．
曲线与椭圆有四个不同的交点，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知两直线，求过两直线的交点，且平行于直线的直线方程；
已知曲线的方程为，根据下列条件，求实数的取值范围．
曲线是椭圆；
曲线是双曲线．
16.本小题分
在平面直角坐标系中，已知圆点，是直线与圆的两个公共点，点在圆上．
若为正三角形，求直线的方程；
在的条件下，若直线上存在点满足，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知双曲线经过点，一条渐近线的斜率为，直线交双曲线于，两点．
求双曲线的方程．
若动直线经过双曲线的右焦点，点，求证：以为直径的圆经过点．
18.本小题分
已知，，，，
求证：，，，四点共圆；
，，，所在圆记为，点是上一点，从点向作切线，，切点为，．
若，求点坐标并求此时切线，的直线方程；
求证：经过，，三点的圆必经过定点，并求出所有定点坐标．
19.本小题分
已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、、点、为椭圆上异于、的两点，面积的最大值为．
求椭圆的方程；
设直线、的斜率分别为、，且过定点
设和的面积分别为、，求的最大值；
求证：为定值，并求出该定值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
或
15.解：联立，得，即两条直线的交点坐标为，
设与直线平行的直线方程为，
将代入得，即，
所以所求直线方程为；
曲线的方程为，
，又曲线是椭圆，
，解得且，
故实数的取值范围为；
曲线是双曲线，
，解得或，
故实数的取值范围为．
16.解：圆的半径为，若是正三角形，则到的距离为，
，，
又因为，所以，
直线的方程为；
设，，设线段的中点为，
联立方程得，则有，
则，，
则，
则，代入得，
则圆心，半径，
因为，所以点在以为直径的圆上，
又因为点直线上，则直线与圆有交点，
则圆心到直线的距离，即，
解得．
17.解：由已知，解得
所以双曲线方程为；
由得，，
若直线的斜率不存在，则方程为，，，此时，是中点，由于，因此以为直径的圆经过点．
若直线的斜率存在，设其方程为，设，
由得，
，在时，该方程有两解，
所以，，
，
，
所以，所以以为直径的圆经过点．
综上，以为直径的圆经过点．
18.解：因为，，，，
易知点到四个点的距离相等，均为，
所以四点都在圆上，
即四点共圆；
，又，
所以，负值舍去，
，，即，所以，
设，则，解得，
所以，显然切线斜率存在，
设切线方程为，即，
则，解得，
所以切线方程为，
即或；
因为，所以四点共圆，为圆直径，
设，则圆心为的中点，半径为，
所以圆方程为，
化为一般式方程为，
整理为关于的方程为：，
由，得或，定点为和，
所以经过，，三点的圆必经过定点，定点坐标为和．
19.解：当点为椭圆短轴顶点时，的面积取最大值，
且最大值为，
由题意可得，解得
所以，椭圆的标准方程为．
设点、．
若直线的斜率为零，则点、关于轴对称，不合乎题意．
设直线的方程为，由于直线不过椭圆的左、右顶点，
联立可得，
，
由韦达定理可得，，
所以，
，
，则，
因为函数在上单调递增，故，
所以，，当且仅当时，等号成立，
因此，的最大值为．
由，
所以，
，
即为定值．
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数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
3.已知点，，直线：与线段相交，则实数的取值范围是( )
A. 或 B. 或
C. D.
4.已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
5.已知点在抛物线上，过点作圆的切线，切点为，若点到的准线的距离为，则切线长为( )
A. B. C. D.
6.若圆上总存在两点到点的距离等于，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.已知曲线是双纽线，则下列结论正确的是( )
A. 曲线的图象不关于原点对称
B. 时，曲线经过个整点横、纵坐标均为整数的点
C. 若时，直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为
D. 若时，直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为
8.设双曲线的右焦点为，双曲线上的两点、关于原点对称，且满足
，，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线，则下列结论正确的是( )
A. 直线过定点
B. 原点到直线距离的最大值为
C. 若点，到直线的距离相等，则
D. 若直线不经过第四象限，则．
10.已知，，是曲线上的任意一点，若的值与，无关，则( )
A. 的取值范围为 B. 的取值范围为
C. 的取值范围为 D. 的取值范围为
11.已知，，点满足则( )
A. 点的轨迹为双曲线 B. 直线上存在满足题意的点
C. 满足的点共有个 D. 的周长的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为 ．
13.已知直线与圆交于，两点，则面积的最大值为 ．
14.已知曲线．
若，则由曲线围成的图形的面积是 ．
曲线与椭圆有四个不同的交点，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知两直线，求过两直线的交点，且平行于直线的直线方程；
已知曲线的方程为，根据下列条件，求实数的取值范围．
曲线是椭圆；
曲线是双曲线．
16.本小题分
在平面直角坐标系中，已知圆点，是直线与圆的两个公共点，点在圆上．
若为正三角形，求直线的方程；
在的条件下，若直线上存在点满足，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知双曲线经过点，一条渐近线的斜率为，直线交双曲线于，两点．
求双曲线的方程．
若动直线经过双曲线的右焦点，点，求证：以为直径的圆经过点．
18.本小题分
已知，，，，
求证：，，，四点共圆；
，，，所在圆记为，点是上一点，从点向作切线，，切点为，．
若，求点坐标并求此时切线，的直线方程；
求证：经过，，三点的圆必经过定点，并求出所有定点坐标．
19.本小题分
已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、、点、为椭圆上异于、的两点，面积的最大值为．
求椭圆的方程；
设直线、的斜率分别为、，且过定点
设和的面积分别为、，求的最大值；
求证：为定值，并求出该定值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
或
15.解：联立，得，即两条直线的交点坐标为，
设与直线平行的直线方程为，
将代入得，即，
所以所求直线方程为；
曲线的方程为，
，又曲线是椭圆，
，解得且，
故实数的取值范围为；
曲线是双曲线，
，解得或，
故实数的取值范围为．
16.解：圆的半径为，若是正三角形，则到的距离为，
，，
又因为，所以，
直线的方程为；
设，，设线段的中点为，
联立方程得，则有，
则，，
则，
则，代入得，
则圆心，半径，
因为，所以点在以为直径的圆上，
又因为点直线上，则直线与圆有交点，
则圆心到直线的距离，即，
解得．
17.解：由已知，解得
所以双曲线方程为；
由得，，
若直线的斜率不存在，则方程为，，，此时，是中点，由于，因此以为直径的圆经过点．
若直线的斜率存在，设其方程为，设，
由得，
，在时，该方程有两解，
所以，，
，
，
所以，所以以为直径的圆经过点．
综上，以为直径的圆经过点．
18.解：因为，，，，
易知点到四个点的距离相等，均为，
所以四点都在圆上，
即四点共圆；
，又，
所以，负值舍去，
，，即，所以，
设，则，解得，
所以，显然切线斜率存在，
设切线方程为，即，
则，解得，
所以切线方程为，
即或；
因为，所以四点共圆，为圆直径，
设，则圆心为的中点，半径为，
所以圆方程为，
化为一般式方程为，
整理为关于的方程为：，
由，得或，定点为和，
所以经过，，三点的圆必经过定点，定点坐标为和．
19.解：当点为椭圆短轴顶点时，的面积取最大值，
且最大值为，
由题意可得，解得
所以，椭圆的标准方程为．
设点、．
若直线的斜率为零，则点、关于轴对称，不合乎题意．
设直线的方程为，由于直线不过椭圆的左、右顶点，
联立可得，
，
由韦达定理可得，，
所以，
，
，则，
因为函数在上单调递增，故，
所以，，当且仅当时，等号成立，
因此，的最大值为．
由，
所以，
，
即为定值．
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