27.2.3切线 同步练习（含答案）
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27.2.3切线
一、填空题
1．如图所示，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝76°，则∠BOC的度数为 ．
2．如图，△ABC内接于圆，∠ACB＝90°，过点C的切线交AB的延长线于点P，∠P＝26°，则∠CAB＝ ．
3．如图，是的直径，是的切线，交于点D，连结，若，则的大小为 .
4．如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线，点P为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则的长为 ．
5．如图，菱形的顶点在上，且与相切，若的半径为1，则菱形的周长为 ．
6．如图， 的半径为， 切于点 ， 则点到的最小距离是 ．
二、单选题
7．如图，是的内接三角形，．点是延长线上一点，且与相切于点，若的半径为1，则长为（ ）
A． B． C． D．3
8．如图，与相切于点B，的延长线交于点A，连接，若，则等于（ ）．
A． B． C． D．
9．如图所示，从⊙O 外一点 A 引圆的切线 AB，切点为 B，连接 AO并延长交圆于点 C，连接 BC，已知∠A＝26°，则∠ACB 的度数为（ ）
A．32° B．30° C．26° D．13°
10．如图，点O是的内心，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，⊙O的半径为2，点A的坐标为（），直线AB为⊙O的切线，B为切点。则B点的坐标为( )
A． B． C． D．
三、解答题
12．如图，是的切线，A为切点，是的弦，过点作于点．若，，．求：
（1）的半径；
（2）弦的长．
四、计算题
13．菱形的顶点B，C，D在上，O在线段上.
（1）如图1，若是的切线，求的大小；
（2）如图2，若，，与交于点E，求的长.
14．筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点、，筒车的轴心距离水面的高度长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒刚浮出水面时开始计算时间．
（1）经过多长时间，盛水筒首次到达最高点？
（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒距离水面多高？
（3）若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点，．求盛水筒从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线上．（参考数据：，，）
五、作图题
15．下列说法正确吗 若不正确，请画图说明.
（1）垂直于圆的半径的直线一定是这个圆的切线.
（2）过圆的半径的外端的直线一定是这个圆的切线.
六、综合题
16．如图，是的直径，是半径，连接，．延长至点，使，过点作交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求半径的长．
17．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D.
（1）求证：∠APO＝∠CPO；
（2）若⊙O的半径为3，OP＝6，∠C＝30°，求PC的长.
18．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．
（1）求证：直线DF与⊙O相切；
（2）若AE=7，BC=6，求AC的长．
答案解析部分
1．【答案】128°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的内切圆与内心
2．【答案】32°
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；切线的性质
3．【答案】32
【知识点】圆周角定理；切线的性质
4．【答案】
【知识点】垂径定理；切线的性质
5．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；切线的性质
6．【答案】
【知识点】勾股定理；圆的相关概念；切线的性质
7．【答案】A
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的性质
8．【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线的性质
9．【答案】A
【知识点】圆周角定理；切线的性质
10．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的内切圆与内心
11．【答案】D
【知识点】勾股定理；切线的性质
12．【答案】（1）
（2）
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的性质
13．【答案】（1）
（2）
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；菱形的性质；切线的性质
14．【答案】（1）27.4秒；（2）0.7m；（3）7.6秒
【知识点】切线的性质；求特殊角的三角函数值；解直角三角形
15．【答案】（1）解：不正确，反例如下图：
直线l垂直于的半径OA，但直线l不是的切线；
（2）解：不正确，反例如下图：
直线l'过的半径OB外端点B，但直线l'不是的切线.
【知识点】切线的判定
16．【答案】（1）证明：∵是的直径
∴
∴
∵
∴
∴，
∴
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴
∵
∴
∵，
∴
∴，
∵
∴
∴，
在中，，即
∴
∴半径长为．
【知识点】切线的判定；解直角三角形的其他实际应用
17．【答案】（1）证明：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠APO＝∠CPO；
（2）解：∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAC＝90°，
∴AP＝ ，
在Rt△CAP中，∠C＝30°，
∴PC＝2AP＝6 .
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；切线的性质；切线长定理
18．【答案】（1）证明：如图，
连接OD．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠C，
∴∠ODC=∠B，
∴OD∥AB，
∵DF⊥AB，
∴OD⊥DF，
∵点D在⊙O上，
∴直线DF与⊙O相切；
（2）解：∵四边形ACDE是⊙O的内接四边形，
∴∠AED+∠ACD=180°，
∵∠AED+∠BED=180°，
∴∠BED=∠ACD，
∵∠B=∠B，
∴△BED∽△BCA，
∴，
∵OD∥AB，AO=CO，
∴BD=CD=BC=3，
又∵AE=7，
∴，
∴BE=2，
∴AC=AB=AE+BE=7+2=9．
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质
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27.2.3切线
一、填空题
1．如图所示，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝76°，则∠BOC的度数为 ．
2．如图，△ABC内接于圆，∠ACB＝90°，过点C的切线交AB的延长线于点P，∠P＝26°，则∠CAB＝ ．
3．如图，是的直径，是的切线，交于点D，连结，若，则的大小为 .
4．如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线，点P为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则的长为 ．
5．如图，菱形的顶点在上，且与相切，若的半径为1，则菱形的周长为 ．
6．如图， 的半径为， 切于点 ， 则点到的最小距离是 ．
二、单选题
7．如图，是的内接三角形，．点是延长线上一点，且与相切于点，若的半径为1，则长为（ ）
A． B． C． D．3
8．如图，与相切于点B，的延长线交于点A，连接，若，则等于（ ）．
A． B． C． D．
9．如图所示，从⊙O 外一点 A 引圆的切线 AB，切点为 B，连接 AO并延长交圆于点 C，连接 BC，已知∠A＝26°，则∠ACB 的度数为（ ）
A．32° B．30° C．26° D．13°
10．如图，点O是的内心，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，⊙O的半径为2，点A的坐标为（），直线AB为⊙O的切线，B为切点。则B点的坐标为( )
A． B． C． D．
三、解答题
12．如图，是的切线，A为切点，是的弦，过点作于点．若，，．求：
（1）的半径；
（2）弦的长．
四、计算题
13．菱形的顶点B，C，D在上，O在线段上.
（1）如图1，若是的切线，求的大小；
（2）如图2，若，，与交于点E，求的长.
14．筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点、，筒车的轴心距离水面的高度长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒刚浮出水面时开始计算时间．
（1）经过多长时间，盛水筒首次到达最高点？
（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒距离水面多高？
（3）若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点，．求盛水筒从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线上．（参考数据：，，）
五、作图题
15．下列说法正确吗 若不正确，请画图说明.
（1）垂直于圆的半径的直线一定是这个圆的切线.
（2）过圆的半径的外端的直线一定是这个圆的切线.
六、综合题
16．如图，是的直径，是半径，连接，．延长至点，使，过点作交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求半径的长．
17．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D.
（1）求证：∠APO＝∠CPO；
（2）若⊙O的半径为3，OP＝6，∠C＝30°，求PC的长.
18．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．
（1）求证：直线DF与⊙O相切；
（2）若AE=7，BC=6，求AC的长．
答案解析部分
1．【答案】128°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的内切圆与内心
2．【答案】32°
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；切线的性质
3．【答案】32
【知识点】圆周角定理；切线的性质
4．【答案】
【知识点】垂径定理；切线的性质
5．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；切线的性质
6．【答案】
【知识点】勾股定理；圆的相关概念；切线的性质
7．【答案】A
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的性质
8．【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线的性质
9．【答案】A
【知识点】圆周角定理；切线的性质
10．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的内切圆与内心
11．【答案】D
【知识点】勾股定理；切线的性质
12．【答案】（1）
（2）
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的性质
13．【答案】（1）
（2）
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；菱形的性质；切线的性质
14．【答案】（1）27.4秒；（2）0.7m；（3）7.6秒
【知识点】切线的性质；求特殊角的三角函数值；解直角三角形
15．【答案】（1）解：不正确，反例如下图：
直线l垂直于的半径OA，但直线l不是的切线；
（2）解：不正确，反例如下图：
直线l'过的半径OB外端点B，但直线l'不是的切线.
【知识点】切线的判定
16．【答案】（1）证明：∵是的直径
∴
∴
∵
∴
∴，
∴
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴
∵
∴
∵，
∴
∴，
∵
∴
∴，
在中，，即
∴
∴半径长为．
【知识点】切线的判定；解直角三角形的其他实际应用
17．【答案】（1）证明：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠APO＝∠CPO；
（2）解：∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAC＝90°，
∴AP＝ ，
在Rt△CAP中，∠C＝30°，
∴PC＝2AP＝6 .
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；切线的性质；切线长定理
18．【答案】（1）证明：如图，
连接OD．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠C，
∴∠ODC=∠B，
∴OD∥AB，
∵DF⊥AB，
∴OD⊥DF，
∵点D在⊙O上，
∴直线DF与⊙O相切；
（2）解：∵四边形ACDE是⊙O的内接四边形，
∴∠AED+∠ACD=180°，
∵∠AED+∠BED=180°，
∴∠BED=∠ACD，
∵∠B=∠B，
∴△BED∽△BCA，
∴，
∵OD∥AB，AO=CO，
∴BD=CD=BC=3，
又∵AE=7，
∴，
∴BE=2，
∴AC=AB=AE+BE=7+2=9．
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质
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