2024-2025学年江苏省南通市如东县第一中学、徐州市徐州中学、宿迁市第一高级中学高二上学期阶段性10月联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省南通市如东县第一中学、徐州市徐州中学、宿迁市第一高级中学高二上学期阶段性10月联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线 的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.若方程表示双曲线，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.若点到直线的距离不超过，则( )
A. B. C. D.
4.如图，某同学用两根木条钉成十字架，制成一个椭圆仪木条中间挖一道槽，在另一活动木条的处钻一个小孔，可以容纳笔尖，，各在一条槽内移动，可以放松移动以保证与的长度不变，当，各在一条槽内移动时，处笔尖就画出一个椭圆已知，且在右顶点时，恰好在点，则的离心率为( )
A. B. C. D.
5.已知圆：，直线：则直线被圆截得的弦长的最小值为( )
A. B. C. D.
6.如图，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结构如图，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端到江面的距离为，且，则顶端到桥面的距离为( )
A. B. C. D.
7.若椭圆与双曲线有相同的焦点、，是两曲线的一个交点，则的面积是( )
A. B. C. D.
8.在矩形中，，，把边分成等份，在的延长线上，以的分之一为单位长度连续取点．过边上各分点和点作直线，过延长线上的对应分点和点作直线，这两条直线的交点为，如图建立平面直角坐标系，则点的坐标满足的方程是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若三条直线可以围成一个三角形，则实数的值可以为( )
A. B. C. D.
10.加斯帕尔蒙日是世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”如图所示当椭圆方程为时，蒙日圆方程为已知长方形的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是( )
A. 椭圆的离心率为 B. 若为正方形，则的边长为
C. 椭圆的蒙日圆方程为 D. 长方形的面积的最大值为
11.设，为实数，已知圆：，点在圆外，以线段为直径作圆，与圆相交于，两点．下列结论正确的是
A. 直线与圆相切
B. 当时，点在圆上
C. 直线与圆相离
D. 当时，直线方程为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.圆：与圆：相交于、两点，则 ．
13.已知直线与抛物线交于，两点，且，交于点，点的坐标为，则的面积 ．
14.如图，已知分别是双曲线的左、右焦点，分别为双曲线的左支、右支上异于顶点的点，且若，则双曲线的离心率为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆过三点．
求圆的标准方程；
斜率为的直线与圆交于两点，若为等腰直角三角形，求直线的方程．
16.本小题分
设直线的方程为．
若直线分别与轴正半轴，轴正半轴交于点，，当面积最小时，求的周长；
当直线在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线的方程．
17.本小题分
已知椭圆的一个焦点为，且离心率为．
求椭圆的方程；
直线与椭圆交于两点，若 的面积为，求直线的方程
18.本小题分
已知抛物线：，在上有一点位于第一象限，设的纵坐标为
若到抛物线准线的距离为，求的值；
当时，若轴上存在一点，使的中点在抛物线上，求到直线的距离；
直线：，抛物线上有一异于点的动点，在直线上的投影为点，直线与直线的交点为若在的位置变化过程中，恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
已知椭圆的左、右顶点为，，焦距为为坐标原点，过点、的圆交直线于两、点，直线、分别交椭圆于、点．
求椭圆的方程
记直线，的斜率分别为、，求的值
证明：直线过定点，并求该定点坐标．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：
设所求的圆的方程是，其中，
把已知三点坐标代入得方程组解得
所以圆的一般方程为．
故圆的标准方程为．
设直线的方程为：，
因为为等腰直角三角形，又由知圆的圆心为，半径为．
所以圆心到直线的距离
解得或，所以直线的方程为：或．

16.解：由得：
令得，，令得，，
又由得：，
，
当且仅当，即时，等号成立，
，，
的周长为．
直线在两坐标轴上的截距均为整数，
，均为整数，
，
，，，，
又当时，直线在两坐标轴上的截距均为，也符合题意，
直线的方程为，，，，．
17.解：由已知得，
由离心率得，，
椭圆的方程为．
设，，
联立可得，
直线与椭圆交于，两点，
，解得，
由根与系数的关系可得，，
由弦长公式可得，
点到直线的距离为，
所以 ，
，即 ，满足 ，
所以直线 的方程为

18.解：
抛物线：的准线为，
由于到抛物线准线的距离为，
则点的横坐标为，则，
解得；
当时，点的横坐标为，则，
设，则的中点为，
由题意可得，解得，
所以，
则，
由点斜式可得，直线的方程为，即，
所以原点到直线的距离为；
如图，
设，，
则，
故直线的方程为，
令，可得，即，
则，
依题意，恒成立，
又，
当时，，
当且仅当时取等号，
此时有，即，
即，解得，
又当时，，
当且仅当时等号成立，
而，即当时，也符合题意；
当时，，
当且仅当时取等号，
而，
显然，此时恒成立，
综上可得，实数的取值范围为

19.解：由题意得：，，则，
所以椭圆的方程为．
设，则圆：，
因为圆过，则，
所以．
．
设直线：，，
由得，
则，
由可知，
又，
所以，
即，
把代入并整理得：，
解得：或．
时直线过点，不合题意，舍去，
故，此时直线，恒过定点
第1页，共1页