2024-2025学年广东省名校联盟高二上学期期中联合质量检测数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年广东省名校联盟高二上学期期中联合质量检测数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 146.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-29 16:24:56 | ||
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文档简介
2024-2025学年广东省名校联盟高二上学期期中联合质量检测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知与是互斥事件，且，则( )
A. B. C. D.
2.已知直线的倾斜角为，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.已知坐标原点不在圆的内部，则的取值可能为( )
A. B. C. D.
4.从三名男生和两名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率为( )
A. B. C. D.
5.已知空间向量满足，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
6.若过点的直线与圆交于 ，两点，则弦长的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知点，直线，若位于直线的两侧，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
8.在中，若动点满足，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件表示“两次掷出的点数之和是”，事件表示“第二次掷出的点数是偶数”，表示“两次掷出的点数相同”，表示“至少出现一个奇数点”，则( )
A. 与互斥 B. 与相互独立 C. 与对立 D. 与相互独立
10.如图，已知正方体的棱长为，为正方体的中心，点满足，则( )
A. 平面 B. 平面
C. 在上的投影向量为 D. 二面角的余弦值为
11.已知点在圆上，点，则下列说法正确的是( )
A. 圆与圆的公共弦方程为
B. 满足的点有个
C. 若圆与圆、直线均相切，则圆的半径的最小值为
D. 的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.两个篮球运动员罚球时命中的概率分别是和，两人各罚一次球，则他们至少有一人命中的概率是 ．
13.若点和点关于直线对称，则 ．
14.已知，，是球上三点，球心的坐标为，是球上一动点，则三棱锥的体积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在四棱柱中，四边形为菱形，为的中点．
用表示，并求的值；
求的值．
16.本小题分
已知圆经过点和，其圆心在直线上
求圆的标准方程；
若直线过点且与圆相切，求的方程．
17.本小题分
进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响已知每题甲，乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为．
求和的值；
试求两人共答对道题的概率．
18.本小题分
如图，在四棱台中，平面，底面为正方形，，点在线段上运动．
证明：．
求异面直线与所成角的余弦值．
求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
19.本小题分
定义：是圆外一点，过点所作的圆的两条切线为切点相互垂直，记圆经过点，则称为圆的“伴随点”，圆为“伴随圆”已知为坐标原点，圆为圆的“伴随点”，圆为“伴随圆”．
求点所在曲线的方程．
已知点的横坐标为，且位于第一象限．
求圆的方程；
已知为过点所作的圆的两条切线的切点，直线与轴分别交于点，过点且斜率为的直线与圆有两个不同的交点，若，求的方程．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：由题意可知：，
且，
则
；
易知，
所以
．
16.解：设圆的标准方程为，
所以
解得，
故圆的标准方程为．
由可知圆心为．
当直线的斜率不存在时，易得直线的方程为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即
由题意，圆心到直线的距离等于半径，即，解得，
此时直线的方程为．
综上，所求直线的方程为或．
17.解：设甲同学答对第一题，乙同学答对第一题，
则，，
设甲、乙二人均答对第一题，甲、乙二人恰有一人答对第一题，
则，，
二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，
与相互独立，与相互互斥，
，
，
由题意得：，
解得或，
，，．
设甲同学答对了道题，乙同学答对了道题，，，，
由题意得：
，，
，，
设甲乙二人共答对道题，则，
，
甲乙两人共答对道题的概率为．
18.解：证明：因为平面，平面，
所以，又为正方形，所以两两垂直，
以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
所以，
则，
所以
由可得，
所以，
故异面直线与所成角的余弦值为
设因为，所以，
则
由可得．
设平面的法向量为，
则取
设直线与平面所成的角为，则
令，则，
所以
当，即时，取得最大值，最大值为；
当，即时，取得最小值，最小值为．
故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
19.解：因为为圆的“伴随点”，所以四边形为正方形，
则，
所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
故点所在曲线的方程为．
由题可知．
因为四边形为正方形，所以圆心的坐标为，
半径为，
故圆的方程为．
因为直线为圆与圆的公共弦所在直线，
所以直线的方程为．
令，可得，令，可得，
所以．
由题意，可知直线的方程为，
代入方程，整理得．
设，则，
所以
．
由题意可得，解得或．
经检验，当时，不满足；
当时，满足．
故的方程为．
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数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知与是互斥事件，且，则( )
A. B. C. D.
2.已知直线的倾斜角为，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.已知坐标原点不在圆的内部，则的取值可能为( )
A. B. C. D.
4.从三名男生和两名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率为( )
A. B. C. D.
5.已知空间向量满足，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
6.若过点的直线与圆交于 ，两点，则弦长的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知点，直线，若位于直线的两侧，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
8.在中，若动点满足，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件表示“两次掷出的点数之和是”，事件表示“第二次掷出的点数是偶数”，表示“两次掷出的点数相同”，表示“至少出现一个奇数点”，则( )
A. 与互斥 B. 与相互独立 C. 与对立 D. 与相互独立
10.如图，已知正方体的棱长为，为正方体的中心，点满足，则( )
A. 平面 B. 平面
C. 在上的投影向量为 D. 二面角的余弦值为
11.已知点在圆上，点，则下列说法正确的是( )
A. 圆与圆的公共弦方程为
B. 满足的点有个
C. 若圆与圆、直线均相切，则圆的半径的最小值为
D. 的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.两个篮球运动员罚球时命中的概率分别是和，两人各罚一次球，则他们至少有一人命中的概率是 ．
13.若点和点关于直线对称，则 ．
14.已知，，是球上三点，球心的坐标为，是球上一动点，则三棱锥的体积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在四棱柱中，四边形为菱形，为的中点．
用表示，并求的值；
求的值．
16.本小题分
已知圆经过点和，其圆心在直线上
求圆的标准方程；
若直线过点且与圆相切，求的方程．
17.本小题分
进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响已知每题甲，乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为．
求和的值；
试求两人共答对道题的概率．
18.本小题分
如图，在四棱台中，平面，底面为正方形，，点在线段上运动．
证明：．
求异面直线与所成角的余弦值．
求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
19.本小题分
定义：是圆外一点，过点所作的圆的两条切线为切点相互垂直，记圆经过点，则称为圆的“伴随点”，圆为“伴随圆”已知为坐标原点，圆为圆的“伴随点”，圆为“伴随圆”．
求点所在曲线的方程．
已知点的横坐标为，且位于第一象限．
求圆的方程；
已知为过点所作的圆的两条切线的切点，直线与轴分别交于点，过点且斜率为的直线与圆有两个不同的交点，若，求的方程．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：由题意可知：，
且，
则
；
易知，
所以
．
16.解：设圆的标准方程为，
所以
解得，
故圆的标准方程为．
由可知圆心为．
当直线的斜率不存在时，易得直线的方程为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即
由题意，圆心到直线的距离等于半径，即，解得，
此时直线的方程为．
综上，所求直线的方程为或．
17.解：设甲同学答对第一题，乙同学答对第一题，
则，，
设甲、乙二人均答对第一题，甲、乙二人恰有一人答对第一题，
则，，
二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，
与相互独立，与相互互斥，
，
，
由题意得：，
解得或，
，，．
设甲同学答对了道题，乙同学答对了道题，，，，
由题意得：
，，
，，
设甲乙二人共答对道题，则，
，
甲乙两人共答对道题的概率为．
18.解：证明：因为平面，平面，
所以，又为正方形，所以两两垂直，
以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
所以，
则，
所以
由可得，
所以，
故异面直线与所成角的余弦值为
设因为，所以，
则
由可得．
设平面的法向量为，
则取
设直线与平面所成的角为，则
令，则，
所以
当，即时，取得最大值，最大值为；
当，即时，取得最小值，最小值为．
故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
19.解：因为为圆的“伴随点”，所以四边形为正方形，
则，
所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
故点所在曲线的方程为．
由题可知．
因为四边形为正方形，所以圆心的坐标为，
半径为，
故圆的方程为．
因为直线为圆与圆的公共弦所在直线，
所以直线的方程为．
令，可得，令，可得，
所以．
由题意，可知直线的方程为，
代入方程，整理得．
设，则，
所以
．
由题意可得，解得或．
经检验，当时，不满足；
当时，满足．
故的方程为．
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