2024-2025学年广东省东莞市（麻涌、塘厦、七中、清溪）四校联考高二上学期期中考试数学试题（含答案）

2024-2025学年广东省东莞市（麻涌、塘厦、七中、清溪）四校联考高二上学期期中考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间四边形中，( )
A. B. C. D.
2.已知向量，且，则的值为( )
A. B. C. D.
3.过两点，的直线的倾斜角为，则实数的值为( )
A. B. C. D.
4.若椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为，则该椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
5.若直线与直线互相垂直，则的值为( )
A. B. 或 C. 或 D.
6.若圆与圆有且仅有一条公切线，则( )
A. B. C. D.
7.已知圆：，直线：则直线被圆截得的弦长的最小值为( )
A. B. C. D.
8.在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，，是空间的一个基底，则下列说法不正确的是( )
A. 则，，两两共面，但，，不可能共面
B. 若，，则
C. 对空间任一向量，总存在有序实数组，使
D. ，，不一定能构成空间的一个基底
10.下列四个命题中真命题有( )
A. 直线在轴上的截距为
B. 经过定点的直线都可以用方程表示
C. 直线必过定点
D. 已知直线与直线平行，则平行线间的距离是
11.已知点是圆上任意一点，点是直线与轴的交点，为坐标原点，则( )
A. 以线段为直径的圆周长最小值为
B. 面积的最大值为
C. 以线段为直径的圆不可能过坐标原点
D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.求经过点且圆心在直线上的圆的标准方程为 ．
13.设椭圆：的左、右焦点分别为 、，过作平行于轴的直线交于两点，若，，则的离心率为 ．
14.在棱长为的正方体中，为线段的中点，设平面与平面的交线为，则点到直线的距离为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知空间中三点，，，设，．
已知，求的值；
若，且，求的坐标．
16.本小题分
中，顶点，，边所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．
求边所在直线的方程；
求的面积．
17.本小题分
已知椭圆的焦距为，离心率为．
求的标准方程
若，直线交椭圆于，两点，且的面积为，求的值．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，底面是正方形，，，
若，是中点，证明：；
若，求平面与平面所成角的正切值．
19.本小题分
已知圆过点，且与直线相切于点．
求圆的方程；
若、在圆上，直线，的斜率之积为，证明：直线过定点．
参考答案
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15.解：由题知 ， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ．
因为 ， ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，解得 ，
所以 或 ．

16.解：据题意，边上的高所在直线方程为
所以，
边所在直线的方程为，
即；
联立
解得，即点坐标为，
，
点到直线的距离，
．
17.解：因为，．
所以，，．
所以椭圆的标准方程为．
设，坐标分别为，，点到直线的距离为．
直线的标准方程为：．
所以．
联立，得：．
由韦达定理可得：．
所以
．
由．
化简可得：．
因为，所以．
18.【解答】
证明：因为，是中点，所以，
底面是正方形，则，因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，因为平面，所以，
又因为与是平面内的两条相交直线，所以平面，
因为平面，所以；
解：由可得，，即，过作于，
因为平面平面，由面面垂直的性质可得平面，
以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，
平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
根据，则，
，，设平面与平面所成角的角记为，
所以，即平面与平面所成角的正切值是．
19.解：设 ，
直线 ： ，即 ，
由圆 与直线相切于 ，
则 ，即 ，可得
又圆 过点 ，所以 ，即 ，
解得 ，
所以圆心 ，半径 ，
所以圆 的方程为 ；
当直线 斜率存在时，设 ， ， ，
联立 ，得 ，
则 ，即 ，
， ， ， ，
又 ， ，
所以 ，
即 ，
则 ，
解得 或 ，都满足
所以方程为 或 ，
即 或 ，
当直线方程为 时，恒过点 ，不成立，
当直线方程为 时，恒过 ；
当直线 斜率不存在时，设直线 ，则 ， ，
则 ， ，
所以 ，
解得： 舍或 ，
即 方程为 ，仍过 ，
综上所述，直线 恒过定点 ．

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