2024-2025学年山东省淄博市淄博实验中学、淄博齐盛高级中学高二上学期第一次模块考试数学试题（含答案）

2024-2025学年山东省淄博市淄博实验中学、淄博齐盛高级中学高二上学期第一次模块考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.现有质地相同的个球，编号为，，，，从中一次性随机取两个球，则两个球的号码之和大于的概率是( )
A. B. C. D.
2.设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为( )
A. B.
C. D.
3.已知直线和直线，则是两直线平行的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知直线过点，且方向向量为，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
5.如图，平行六面体的所有棱长为，四边形是正方形，，点是与的交点，则直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6.已知圆，若圆与圆恰有三条公切线，则实数( )
A. B. C. D.
7.设直线与圆相交于两点，且的面积为，则( )
A. B. C. D.
8.已知点、是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，点关于的角平分线的对称点也在椭圆上，若，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是对立的事件是．
A. “恰有一名女生”和“全是女生”
B. “至少有一名男生”和“至少有一名女生”
C. “至多有一名男生”和“全是男生”
D. “至少有一名男生”和“全是女生”
10.已知椭圆的焦点分别为，，设直线与椭圆交于、两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是( )
A. 椭圆的离心率为 B. 椭圆上存在点使得
C. 直线的方程为 D. 的周长为
11.已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，，切点分别是和，下列说法正确的为( )
A. 圆上恰有一个点到直线的距离为 B. 四边形面积的最小值为
C. 存在唯一点，使得 D. 直线恒过定点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机事件中，与相互独立，与对立，且，，则 ．
13.已知点，直线被圆所截得弦的中点为，则的最大值是 ．
14.加斯帕尔蒙日是世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”已知椭圆，若直线上存在点，过可作的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在年法国巴黎奥运会上，中国乒乓球队包揽了乒乓球项目全部枚金牌，国球运动再掀热潮现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛五局三胜制，其中每局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛都是相互独立的．
求比赛只需打三局的概率；
已知甲在前两局比赛中获胜，求甲最终获胜的概率．
16.本小题分
已知以点为圆心的圆与直线相切．
求圆的方程；
过点的直线与圆相交与，两点，当时，求直线方程；
已知实数，满足圆的方程，求的取值范围．
17.本小题分
如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点．

证明：平面；
已知，，求与平面所成角的大小．
18.本小题分
在三棱台中，为的中点，，，．
求证：平面；
若，，平面与平面所成二面角大小为，求三棱锥的体积．
19.本小题分
已知椭圆左焦点为，离心率为，以坐标原点为圆心，为半径作圆使之与直线相切．
求的方程；
设点，，是椭圆上关于轴对称的两点，交于另一点，
证明：直线经过定点；
求的内切圆半径的范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 或
13.
14.
15.解：
设事件“甲前三局都获胜”，事件“乙前三局都获胜”，
则，
，
比赛只需打三局的概率为：
．
甲需要打三局的概率为：，
甲需要打四局的概率为：，
甲需要打五局的概率为：，
则甲最终获胜的概率为：．

16.解：
由题意知点到直线的距离为圆的半径，
由点到直线的距离公式可得，
所以圆的方程为．
因为直线与圆相交与两点，且，利用垂径定理和勾股定理，
可得圆心到直线的距离为，
当直线的斜率不存在时，直线方程为，圆心到直到直线的距离为，符合题意，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由题意可得，解得，
所以直线的方程为，即，
综上所述：直线的方程为或．
表示点到的距离的平方，
又圆心到到的距离为，
所以点到的距离的最小值为，最大值为
所以的最小值为，最小值为，
即的取值范围是．

17.解：
连结，交于点，连结，
因为点分别是的中点，所以，
平面，平面，
所以平面；

因为，，
所以，所以，
如图，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系，

，，，，
，，，
设平面的法向量为，
所以，令，则，，
所以平面的法向量为，
设与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的大小为．

18.证明：在三棱台中，为的中点，
则，又，
则，
又，
四边形为平行四边形，
则，，，
又，，
，
，平面，，
平面．
解：，，
，
又，，平面，，
平面，
，，为中点，
．
以为正交基底，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，，，则，又平面的一个法向量为，
则，解得，即．
平面，平面平面，平面，
．
19.解：
依题意
解得，，
所以的方程为．
因为不与轴重合，所以设的方程为，
设点，，则
联立，得，
则，，
因为点，，三点共线且斜率一定存在，
所以，
所以，将，代入
化简可得，故，
解得，满足
所以直线过定点，且为椭圆右焦点
设所求内切圆半径为，因为，
所以
令，则，
所以，
因为，对勾函数在上单调递增，
所以，则．
所以内切圆半径的范围为


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