2024-2025学年山东省潍坊市昌邑市高二上学期11月期中数学试题（含答案）

2024-2025学年山东省潍坊市昌邑市高二上学期11月期中数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线过点、，则的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.与向量平行的一个向量的坐标是( )
A. B. C. D.
3.已知直线：，：，若，则的值为( )
A. B. C. D. 或
4.已知是直线上一点，且是直线的一个法向量，则的方程为( )
A. B.
C. D.
5.直线与圆的位置关系是( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 与的取值有关
6.，，，是空间不共面的四点，且满足，，，为的中点，则是( )
A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 不确定
7.已知，分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点， ，且，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
8.三棱锥中，，，直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设椭圆：的左、右焦点分别为、，是上的动点，则( )
A. B. 的最大值为
C. 的面积的最大值为 D. 存在点，使得
10.将正方形沿对角线折成直二面角，下列结论中正确的是( )
A. B.
C. 与平面所成的角为 D. 与所成的角为
11.已知圆：和圆：，点是圆上的动点，则( )
A. 与圆、圆都相切的直线有四条
B. 若圆上到直线的距离为的点有个，则的取值范围是
C. 过点作圆的两条切线，切点分别为和，则
D. 已知，，若点为圆上一动点，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，向量为单位向量，，则向量在向量方向上投影的数量为 ．
13.已知圆心在直线上，且，都是圆上的点，则圆的标准方程为 ．
14.已知圆台的上、下底面半径分别为和，母线长为若该圆台内部有一个球，则球的半径的最大值为 ；若该圆台内部有一个正方体，且底面在圆台的下底面内，当正方体的棱长最大时，以为球心，半径为的球与正方体表面交线的长度为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，．
求与夹角的余弦值；
若，求的模．
16.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，，，分别是，的中点．
证明：平面平面；
求二面角的余弦值．
17.本小题分
在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，满足条件的点的轨迹为．
求的轨迹方程；
点为直线：上的动点，过作的两条切线，切点分别为，，当四边形的面积最小时，求直线的方程．
18.本小题分
如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，为的中点，设平面与平面的交线为．
证明：平面；
证明：平面平面；
设为上的动点，当与平面所成角的正弦值最大时，求的长．
19.本小题分
球面三角学是球面几何学的一部分，主要研究球面多边形特别是三角形的角、边、面积等问题，其在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用定义：球的直径的两个端点称为球的一对对径点；过球心的平面与球面的交线称为该球的大圆；对于球面上不在同一个大圆上的点，，，过任意两点的大圆上的劣弧，，所组成的图形称为球面，记其面积为易知：球的任意两个大圆均可交于一对对径点，如图的和；若球面上，，，的对径点分别为，，，则球面与球面全等如图，已知球的半径为，圆弧和所在平面交成的锐二面角的大小为，圆弧和所在平面、圆弧和所在平面交成的锐二面角的大小分别为，记．
请写出，的值，并猜测函数的表达式；
当时，球面的面积为________只写结果．
(ⅱ)用，，，表示；
若将图一中四面体截出得到图二，若平面三角形为直角三角形，，设，，，求证：．
参考答案
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15.解：
，则，
，
所以．
由，得，
设，则，
所以，解得，则，
所以．

16.解：
由直三棱柱性质，以及，分别是，的中点，
所以，即四边形为平行四边形，
可得，
又平面，平面，所以平面；
又易知，即四边形为平行四边形，
可得，
又平面，平面，所以平面；
显然平面，
所以平面平面；
因为是直三棱柱，所以，
又，所以两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
由，，，，可得：
，
即；
设平面的一个法向量为，
则，令，可得；
可得，
易知平面的一个法向量为，
则，
结合图形可知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．

17.解：
设轨迹上任意一点，由题意
，所以，化简得．
由题意可知：直线到圆心的距离为，
则直线与圆相离，若四边形的面积最小，
即三角形的面积最小，因为，
则最小，即最小．
所以由向直线作垂线，垂足为，
所以直线，所以，
由题意可得四边形的外接圆方程为
即．
所求的直线即为两圆的相交弦所在的直线，
将与两圆方程作差得，
则直线的方程为：．

18.解：
由，为的中点，
得，则四边形为平行四边形，，
而平面平面，则平面，又平面，
平面平面，因此，而平面，平面，
所以平面．
作交于，连接，
由四边形为等腰梯形，，，得，
由知，，又，则为等边三角形，，为中点，
又四边形为等腰梯形，为中点，则，
四边形为平行四边形，，于是为等腰三角形，，
，有，因此，
平面，则平面，而平面，
所以平面平面．
由知直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴，
建立空间直角坐标系，则，
，
设平面的法向量为，则，令，得，
设，
设与平面所成角为，
则
当时，取得最大值，此时．

19.解：
，．
猜测．
理由：
因为，
所以，
则，解得．
因为，
所以，
即．
由余弦定理可得：
，且，
所以，
即，消去，
则有：，
即；

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