2024-2025学年内蒙古自治区高一上学期期中联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年内蒙古高一上学期期中联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.已知集合，，则集合的子集个数为( )
A. B. C. D.
3.已知函数，则( )
A. B. C. D.
4.若函数的定义域是，则函数的定义域是( )
A. B. C. D.
5.已知全集，能表示集合与关系的图是( )
A. B.
C. D.
6.已知奇函数的定义域为，且当时，；当时，，则( )
A. B. C. D.
7.对于实数，规定表示不大于的最大整数，如，，那么不等式成立的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的函数满足对，都有，若，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关系正确的有( )
A. B.
C. D.
10.对于给定的实数，关于实数的不等式的解集不可能为( )
A. B.
C. 或 D.
11.已知定义在上的偶函数满足，当时，，则( )
A. 的图象关于点对称 B.
C. 当时， D. 在上单调递减
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，，则 ．
13.已知幂函数的图象经过原点，则的值是 ．
14.若，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设集合．
若，求；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数的定义域为，函数的值域为．
若，求集合；
若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知二次函数的图象关于直线对称，且经过点：
求函数的解析式；
若函数在上的值域为，求的值．
18.本小题分
如图所示，为宣传某运动会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度均为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为，．
求关于的函数表达式；
为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸是最少？
19.本小题分
已知是定义在上的奇函数，满足，且当时，有．
判断函数的单调性；
解不等式：；
若对所有恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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14.
15.解：当时，，而，
所以，或．
因为，
当时，，解得，此时满足；
当时，满足，即需满足或
解得或．
综上所述，实数的取值范围为．

16.解：由，解得或，
所以函数的定义域为集合或，
当时，，对称轴为直线，
因为
所以，又当时，，
所以；
因为“”是“”的必要不充分条件，
所以，
又因为，，
所以，
又因为或，
所以或，解得或，
故的取值范围为．

17.解：因为二次函数的图象关于直线对称，设，
把点代入可得，解得，
所以，即二次函数的解析式为．
解：因为，且在上的值域为，
所以，可得，
由二次函数的性质可知，在上单调递增，所以在上单调递增，
因为在上的值域为，所以，即
即是方程的两个根，
又因为，解得．

18.解：由题知，两个矩形宣传栏的长为，宽为，
，
整理得．
由知，即，
，，
由基本不等式可得，
令，则，解得舍去或．
，当且仅当，即，时等号成立，
海报长，宽时，用纸量最少，最少用纸量为．

19.解：
为奇函数，所以，
则由，得，得，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递增，
综上，函数在上单调递增
由知函数为上的增函数，
则
解得，故不等式的解集为．
因为，所以．
若对所有恒成立，
则成立，且，
所以对恒成立，即对恒成立．
令，
则即得
即，解得，
故实数的取值范围是．

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