重庆市青木关中学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）

1
重庆市青木关中学校高2023级高二上期半期考试试卷
第I卷（选择题）
一、单选题（每题5分，共40分）
1. 在平面直角坐标系Oxy中，直线的倾斜角等于（）
A. B. C. D.
2. 已知点，，，若，，三点共线，则，的值是（）
A. ，3 B. ，3 C. 1，3 D. ，2
3. 已知点则以线段AB为直径的圆的方程为（）
A. B.
C. D.
4. 设k为实数，直线与圆交点个数为（）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 无法确定
5. 已知点，，若直线与线段（含端点）有公共点，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
6. 已知正四面体的棱长为6，空间中一点满足，其中，，，且.则的最小值为（）
A. B. 4 C. 6 D.
7. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（）
A. B. C. D.
8. 如图，正方体的棱长为，的中点为，则下列说法不正确的是（ ）
A. 直线和所成的角为 B. 四面体的体积是
C. 点到平面的距离为 D. 到直线的距离为
二、多选题（每题6分，选全得满分，选部分得部分，共18分）
9. 设，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则下列说法中正确的是（）
A. ， B. 离心率为
C. 面积为12 D. 的面积为24
10. 下面四个结论正确的是（）
A. 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底
B. 已知向量，，则在上的投影向量为
C. 已知是圆外一点，直线的方程是，则直线与圆相离
D. 若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是
11已知实数，满足方程，则（）
A. 的取值范围是
B. 的取值范围是
C. 取值范围是
D. 的取值范围是
第II卷（非选择题）
三、填空题（每题5分，共15分）
12. 已知直线，，若，则实数_____.
13. 如图，四面体中，，，，，，分别是，的中点，则__________．
14. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点，，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是______．
四、解答题.
15. 已知两直线，
（1）求过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程；
（2）已知两点，，动点在直线运动，求的最小值.
16. 已知圆.
（1）过点作圆切线，求的方程；
（2）若直线方程为与圆相交于、两点，求.
（3）在（2）的前提下，若点是圆上的点，求面积的最大值.
17. 如图，在四棱锥中，平面，且.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）在棱上是否存在点（与不重合），使得与平面所成角正弦值为？若存在，求的值，若不存在，说明理由.
18. 已知椭圆的左焦点为，上 下顶点分别为，且，点在上.
（1）求椭圆的方程；
（2）过左焦点的直线交椭圆于两点，交直线于点，设，，证明：为定值.
19. 已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作.定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面为上一点，.
（1）求的长；
（2）若为的中点，求平面与平面所成角的余弦值；
（3）若为上一点，且满足，求.
重庆市青木关中学校高2023级高二上期半期考试试卷
一、单选题（每题5分，共40分）
1.
【答案】A
2.
【答案】B
3.
【答案】C
4.
【答案】C
5.
【答案】D
6.
【答案】D
7.
【答案】B
8.
【答案】C
二、多选题（每题6分，选全得满分，选部分得部分，共18分）
9.
【答案】ABD
10.
【答案】ABD
11.
【答案】BC
第II卷（非选择题）
三、填空题（每题5分，共15分）
12.
【答案】或
13.
【答案】
14.
【答案】
四、解答题.
15.
【解析】
【分析】（1）求出直线的交点，再按相等截距是否为0分类，结合直线的截距式方程求解.
（2）求出点关于直线对称的点，再结合对称的性质及两点间线段最短求出最小值.
【小问1详解】
由，解得，则直线交于点，
直线在两坐标轴上截距都为0，且过点，符合题意，
当相等的截距不为0时，设直线方程为，由，
得，方程为，
所以所求直线方程为或.
【小问2详解】
点在直线同侧，令点关于直线对称的点坐标为，
则，解得，因此点关于直线对称的点为原点，
，当且仅当是线段与直线为交点时取等号，
所以的最小值为2.
16.
【解析】
【分析】（1）讨论切线斜率是否存在设方程，利用相切时圆心到直线的距离等于半径列关系计算即得结果；
（2）计算到直线的距离，再利用弦三角形的勾股定理，即得弦长；
（3）求出点到直线的距离最大值，再求出三角形面积．
【小问1详解】
圆方程可化为，则圆心，半径为1，
由可得点在圆外，
当过点的直线斜率存在时，设的方程为，即，
则圆心到直线的距离为，解得，
此时的方程为，即，
当过点的直线斜率不存在时，的方程为，此时与圆相切，
所以直线的方程为或．
【小问2详解】
直线方程为，
则圆心到直线的距离，
直线与圆相交，．
【小问3详解】
圆的圆心，半径，
点到直线的距离，
点到直线距离的最大值为，
所以面积的最大值为．
17.
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直的性质定理，结合线面垂直的判定定理进行证明即可；
（2）根据线面的垂直关系，建立空间直角坐标系，利用空间向量平面间夹角公式进行求解即可；
（3）利用空间向量线面角夹角公式进行求解即可.
【小问1详解】
因为平面平面，
所以，
又因为，
所以，而平面，
所以平面；
【小问2详解】
因为平面平面，
所以，而，
于是建立如图所示的空间直角坐标系，
，
由（1）可知：平面，
所以平面的法向量为，
设平面的法向量为，，
则有，
设平面与平面夹角为，
；
【小问3详解】
设，设，
于是有，
，由（2）可知平面的法向量为，
假设与平面所成角的正弦值为，则有，或舍去，
即.
18.
【解析】
【分析】（1）由，得，再把点代入椭圆方程求出即可；
（2）设出直线的方程，代入椭圆方程，设，由，，表示出，利用韦达定理化简得定值.
【小问1详解】
由题意可知，，所以，
因为点在上，所以，
解得，故，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
由已知得直线的斜率必存在，可设直线的方程为，
代入椭圆方程，整理得，，
设，则，
又，由得.
所以，
因为，
所以为定值.
19.
【解析】
【分析】（1）证明，为直线与所成的角，设，结合“向量积”的模的定义由条件列方程求可得的长；
（2）法一，作交的延长线于点，连接，证明为二面角的平面角，解三角形求得平面与平面所成角的余弦值；
法二，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，然后利用向量法求解；
（3）利用向量的向量积的定义可证平面，在平面内过点作，垂足为，证明平面，过点作交于点，证明，结合条件可求.
【小问1详解】
因为底面为矩形，所以，
因为底面底面，所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以，
因为，
所以为直线与所成的角，即，
设，则，
在中，
又，所以，解得或（舍去），
所以；
【小问2详解】
法一：在平面内过点作交的延长线于点，连接，
因为底面底面，所以，
又平面，
所以平面，又平面，所以，
所以为二面角的平面角，
因为为的中点，
所以，
所以，
所以平面与平面所成角的余弦值为；
法二：以为坐标原点，所以直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设平面的一个法向量为，
，
令，得，
，
设平面的一个法向量为，
，
平面与平面所成角的余弦值为.
【小问3详解】
依题意，又，
所以，又，所以，
又平面，所以平面，
在平面内过点作，垂足为，
由平面平面，所以，
又平面，所以平面，
在平面内过点作交于点，在上取点，使得，连接，
所以且，所以四边形为平行四边形，
所以，又，即，
所以
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