北师大八上5.7用二元一次方程组确定一次函数表达式

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第五章 二元一次方程组
5.7用二元一次方程组确定一次函数表达式
北师大版 数学 八年级 上册
学习目标
1．进一步理解二元一次方程与一次函数之间的联系，体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化。
2．了解待定系数法，会用二元一次方程组确定一次函数的表达式。
情景导入
1.二元一次方程组与一次函数有何联系
二元一次方程组的解是它们对应的两个一次函数图象的交点坐标；反之，两个一次函数图象的交点坐标也是它们所对应的二元一次方程组的解．
2.二元一次方程组有哪些解法？
消元法
图象法
是一种代数方法
情景导入
两条直线互相平行，有 交点；
两条直线重合，有 交点；
两条直线相交，有 交点；
0个
无数个
一个
前面，我们已经学了利用一次函数的关系式求二元一次方程组的解．
相反的，能不能用二元一次方程组来确定一次函数的表达式呢？
探索新知
用二元一次方程组确定一次函数表达式
一
A ,B 两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A，B 两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离s (千米)都是骑车时间t(时)的一次函数.
1小时后乙距A地80千米; 2小时后甲距A地30千米.
问：经过多长时间两人相遇 说出你的方法，并与同学们交流.
探索新知
乙距A地80千米
100km
甲2h
行程
甲距A地30千米
甲出发点
乙出发点
A
B
方程法表示
乙1h
行程
设同时出发后t小时相遇，
则15t+20t=100
相遇问题：甲t小时路程+乙t小时路程=总路程
乙的速度是
20千米/时
甲的速度是
15千米/时
探索新知
图像法表示
他们各自到A地的距离s (千米)都是骑车时间t(时)的一次函数.
可以分别作出两人s 与t 之间的关系图象，找出交点的横坐标就行了.
A地
0
4
1
2
3
t/时
s/千米
100
B地
乙
甲
80
60
40
20
120
(0,100)
(1,80)
(0,0)
(2,30)
( , )
探索新知
解析式法表示
对于乙，s是t的一次函数，可设s=kt+b.
当t=0时，s=100；当t=1时s=80.
将它们分别代入s=kt+b中，
可以求出k，b的值，也即可以求出乙s与t之间的函数表达式.
同样可以求出甲的 s 与 t 之间的函数表达式，再联立这两个表达式，求解方程组就行了！
探索新知
过程
设：设出一次函数的表达式y＝kx＋b
代：将已知条件代入上述表达式，得到关于k，b的二元一次方程组．
解：解方程组，求出k，b的值．
写：写出一次函数表达式.
过程
过程
探索新知
用作图象的方法可以直观地获得问题的结果，但有时却难以准确，为了获得准确的结果，我们一般用代数方法.
在以上的解题过程中你受到什么启发？
小明
小亮
小颖
用解析式的方法
可以解决问题
用一元一次方程的
方法可以解决问题
用图象法可以
解决问题
15t+20t=100
探索新知
例： 某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x（kg）的一次函数．已知李明带了60 kg的行李，交了行李费5元；张华带了90 kg的行李，交了行李费10元．
（1）写出y与x之间的函数表达式；
（2）旅客最多可免费携带多少千克的行李？
y=kx+b
x=60,y=5
x=90,y=10
可得k、b方程组
探索新知
解：（1）设此一次函数表达式为：y=kx+b（k≠0) . 根据题意，可得方程组
解得
（2）当x=30时，y=0.
所以旅客最多可免费携带30千克的行李．
总结归纳
探索新知
像这样，先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法.
探索新知
总结归纳
1.设：用含字母的系数设出一次函数的表达式：y=kx+b.
2.代：将已知条件代入上述表达式中得k，b的二元一次方程组.
3.解：解这个二元一次方程组得k，b.
4.求：进而求出一次函数的表达式.
利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤：
探索新知
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b.
所以这个一次函数的解析式为
-k+b=3，
2k+b=-3，
把点（-1，3）与（2，-3）分别代入，得：
解方程组得
b=1.
k=-2，
y=-2x+1.
已知一次函数的图象过点（-1，3）与（2，-3），
求这个一次函数的解析式．
例2：
探索新知
总结归纳
1）设关系式；
2）找x与y的对应值；
3）代入转化成方程（组）
4）解方程（组）确定系数；
5）还原关系式.
确定一次函数关系式的方法：
当堂检测
1.如图,一次函数的图象经过 , 两点,则这个函数的表达式为( )
C
A. B.
C. D.
当堂检测
2.某市居民用水收费情况如图所示，图象反映的是每月收
取水费 （元）与月用水量 （吨）之间的函数关系.若
小唯家本月用水8吨，上月用水14吨，则小唯家本月比上
月所缴水费少( )
B
A.12元 B.13元
C.14元 D.15元
当堂检测
3.某品牌鞋子的长度 与鞋子的“码”数 （码）之间满足一次函数
关系.若22码鞋子的长度为 ,44码鞋子的长度为 ,则38码鞋子
的长度为( )
B
A. B.
C. D.
当堂检测
4.“五一”期间,王老师一家自驾游去了离家 的
某地，如图是他们离家的距离 与汽车行驶时
间 之间的函数图象.当他们离目的地还有
时,汽车一共行驶( )
C
A. B.
C. D.
当堂检测
5.若 在函数 的图象上，且当
时， ,则这条直线的函数表达式为_ __________________.
或
6.若 与 成正比例， 与 成正比例，且当
时， ，当 时， ,则 与
的函数关系式为_ ___________.

当堂检测
6.已知一次函数图象经过 , ,则函数表
达式为_ ____________.

7.某公司销售人员的个人月收入 （元）与其每月的
销售量 （千件）之间的关系如图所示，则销售人员
的销售量为3千件时的月收入是______元.
1400
当堂检测
8.已知一次函数的图象经过 , 两点.
（1）求这个函数的表达式;
解：设所求的一次函数的表达式为 ．
由题意,得
解得
所以所求函数的表达式为 ．
当堂检测
（2）判断点 是否在该函数图象上.
[答案] 点 在这个一次函数的图象上．
因为当 时， ，
即点 在直线 上．
当堂检测
9.如图，过点 的直线 与直
线 交于点 .
（1）写出使得 的 的取值范围；
解：当 时， .
当堂检测
（2）求点 的坐标和直线 的表达式；
[答案] 把 代入 ,得 ，则 .
把 和 分别代入 ,得
解得
所以直线 的表达式为 ．
（3） 与 轴交于点 ，则 的面积为_ _.

一、函数与方程之间的关系．
二、掌握利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤：
1．用含字母的系数设出一次函数的表达式：y=kx+b(k≠0)；
2．将已知条件代入上述表达式中得k，b的二元一次方程组；
3．解这个二元一次方程组得k，b，进而得到一次函数的表达式.
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