北师大八上5.8三元一次方程组

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第五章 二元一次方程组
5.8三元一次方程组
北师大版 数学 八年级 上册
学习目标
1.了解三元一次方程组的有关概念。
2.能解简单的三元一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想。
3.能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法。
情景导入
（1）回顾解二元一次方程组的思路。
（2）如何解三元一次方程组？
二元一次方程组
一元一次方程
消元
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
消元
（3）消元方法：
① 代入法（代入消元法） ② 加减法（加减消元法）
探索新知
三元一次方程组和解的概念
一
已知甲、乙、丙三数的和是23，甲数比乙数大1，甲数的2倍与乙数的和比丙数大20，求这三个数.
1．题目中有几个条件？
2．问题中有几个未知量？
3．根据等量关系你能列出
方程组吗？
探索新知
已知甲、乙、丙三数的和是23，甲数比乙数大1，甲数的2倍与乙数的和比丙数大20，求这三个数.
解：设甲数为x,乙数为y，丙数为z，由题意可得到方程组：
x+y+z=23
x-y=1
2x+y-z=20
探索新知
定义：在这个方程组中，x+y+z=23 和 2x+y-z=20都含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程.
像这样共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组.
三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解.
探索新知
特点
总结归纳
1.共含有三个未知数；
2.含未知数的项的次数都是1；
3.共含有三个方程.
探索新知
总结归纳
注意
三元一次方程组中的方程不一定每个方程都要含有3个未知数，只要是一共含有三个未知数的三个一次方程所组成一组方程，就是三元一次方程组.
练一练
探索新知
下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
A.
B.
C.
D.
C
探索新知
怎样解三元一次方程组呢？
用代入消元法试一试！
能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？
用加减消元法试一试！
三元一次方程组的解法
二
探索新知
①
②
③
例1 解方程组：
解：由方程②得
. ④
把④分别代入①、③，得
解由⑤、⑥组成二元一次方程组，得
用代入消元法试一试！
⑤
⑥
把
代入④，得
经检验，x=9，y=8，z=6适合原方程组．
所以原方程组的解是
方程②中只含x, y ，
系数1，变形，代入
探索新知
（1）解上面的方程组时，能用代入消元法先消去未知数y（或z），从而得到方程组的解吗？
（2）还有其他的方法吗？与同伴进行交流。
①
②
③
例1 解方程组：
缺某元，消某元.
探索新知
解：由方程①+ ③得
由⑤、⑥组成二元一次方程组，得
把x=9，y=8代入① ，得
④
3x+2y=43
①与④组成方程组
3x+2y=43
x-y=1
⑤
⑥
x=9
y=8
z=6
经检验，x=9，y=8，z=6
适合原方程组．
所以原方程组的解是
用加减消元法试一试！
总结归纳
探索新知
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行 ，把 转化为 ，使解三元一次方程组转化为解 ，进而再转化为解 .
消元
“三元”
“二元”
二元一次方程组
一元一次方程
探索新知
例2. 解三元一次方程组
都含有三元的一次方程组，两两方程相互消元，化为二元一次方程
方程中都含有系数为1的z，两两方程消去同一个z，化含x,y的二元一次方程
探索新知
解：② － ①，得 x+2y=7
①＋③，得 4x＋3y=18
⑤
⑥
⑤与⑥组成方程组
x+2y=7
4x＋3y=18
解这个方程组，得
把x=3，y=2代入① ，得
z=5
所以原方程组的解是
经检验，x＝3，y＝2，z＝5适合原方程组．
当堂检测
1.下列是三元一次方程组的是( )
D
A. B.
C. D.
当堂检测
2.三元一次方程 有无数个解,下列四组值中,不是该方程的
解的是( )
D
A. B. C. D.
3.解方程组 时,要使解法较为简便，应( )
C
A.先消去 B.先消去 C.先消去 D.先消去常数
当堂检测
4.已知 的周长为 ，最大边与最小边之差为 ，另一
边与最小边之和为 ，则另一边的长为( )
C
A. B. C. D.
5.若 ,则 等于( )
A
A. B. C.2 D.
当堂检测
6.有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品,若购买铅笔3支,练习本7本,圆
珠笔1支共需31.5元;若购买铅笔4支,练习本8本,圆珠笔2支共需42元，则
购买铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需( )
B
A.12元 B.10.5元 C.9.5元 D.9元
7.已知 则 的值是( )
B
A.80 B.40 C.30 D.不能确定
当堂检测
8.解三元一次方程组 要使解法较为简便，首先应进
行的变形为( )
A
A. B.
C. D.
当堂检测
9.解三元一次方程组:
解：
，得 ， ④
，得 ， ⑤
当堂检测
，得 ，
解得 .
将 代入④，得 ，
解得 .
将 , 代入①，得
,解得 .所以
当堂检测
10.在等式 中，当 时， ；当 时，
;当 时， ,求 , ， 的值.
解：根据题意，得
，得 ，
当堂检测
，得 ，即 .
把 代入④得： ，
解得 .
把 ， 代入①，得 ，
解得 ，
所以方程组的解为
解三元一次方程组的基本思路仍是消元，是将复杂问题简单化的一种方法．其目的是利用代入法或加减法消去一个未知数，从而变三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．其基本过程为：三元
二元
一元．
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