2024-2025学年山东省日照市校际联考高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省日照市校际联考高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，且，则的值为( )
A. B. C. D.
2.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
3.直线：过椭圆的一个焦点，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
4.复数，在复平面内对应的点分别为，，则( )
A. B. C. D.
5.已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则( )
A. B. C. D.
6.已知圆：及直线：，当直线与圆相交所得弦长最短时，直线的方程为( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8.如图，二面角的大小为，棱上有，两点，线段，，，若，，，则线段的长为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知曲线：( )
A. 若，则是椭圆，其焦点在轴上
B. 若，则是圆，其半径为
C. 若，则是双曲线，其渐近线方程为
D. 若，，则是两条直线
10.下列四个命题中正确的是( )
A. 过点且在轴上的截距是在轴上截距的倍的直线的方程为
B. 向量是直线的一个方向向量
C. 直线与直线之间的距离是
D. 圆与圆有两条公切线
11.已知正方体的棱长为，平面与对角线垂直，则( )
A. 正方体的每条棱所在直线与平面所成角均相等
B. 平面截正方体所得截面面积的最大值为
C. 当平面与正方体各面都有公共点时，其截面多边形的周长为定值
D. 直线与平面内任一直线所成角的正弦值的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ______．
13.已知正三棱锥的棱长都为，则侧面和底面所成二面角的余弦值为______．
14.已知双曲线的上、下焦点分别为，，点在上，且轴，过点作的平分线的垂线，与直线交于点，若点在圆：上，则的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆过点，，圆心在直线上．
求圆的方程；
过点的直线交圆于，两点，且，求直线的方程．
16.本小题分
如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，点为棱的中点．
求直线与平面所成角的正弦值；
求点到平面的距离．
17.本小题分
已知等腰梯形中，，，为的中点，与交于点如图将沿折起到位置，使得二面角为直角如图．
求平面与平面所成角的余弦值；
设点为线段上的动点包含端点，直线与平面所成角为，求的取值范围．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，点，，若以轴为折痕，将直角坐标平面折叠成互相垂直的两个半平面如图所示，则称此时点，在空间中的距离为“点，关于轴的折叠空间距离”，记为．
若点，，在平面直角坐标系中的坐标分别为，，，求，的值；
若点，在平面直角坐标系中的坐标分别为，，已知点满足，求点在平面直角坐标系中的轨迹方程；
若在平面直角坐标系中，点是椭圆上的点，过点的两条直线，分别交椭圆于，两点，其斜率满足证明：当时，为定值，并求出该定值．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，、、、，若动点、满足，，直线与直线相交于点．
求点的轨迹方程；
已知过点的直线与轴不重合和点轨迹交于、两点，过点作直线：的垂线，垂足为点设直线与轴交于点，求面积的最大值．
参考答案
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15.解：设圆的标准方程为：，
由题意可得，解得，，，
所以圆的标准方程为；
圆心到直线的距离为．
当直线斜率不存在时，的方程为，显然此时圆心到直线的距离为，不符合题意；
当直线斜率存在时，设的方程为：，即，
由点到直线的距离公式可得：，
解得：或，
所以直线的方程为：或．
16.解：以为坐标原点，方向分别为，，轴正方向，建立如图空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，则，令，解得：，，，
，
即直线与平面所成角的正弦值为．
由知：，，
，，，
设平面的法向量，
则，则，
令，则，，
，
点到平面的距离．
17.解：等腰梯形中，，，
为的中点，与交于点如图，
将沿折起到位置，使得二面角为直角如图，
如图，连接，且，是平行四边形，
而，从而是菱形，，
同理是平行四边形，，是等边三角形，
，
图中，，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
以为原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
，，，，
设平面的一个法向量是，
则，取，则，
设平面的一个法向量是，
则，取，则，
，
平面与平面所成角的余弦值为；
点为线段上的动点包含端点，直线与平面所成角为，
设，，
则，
，
，，
解得．
的取值范围为
18.解：若点，，在平面直角坐标系中的坐标分别为
，，，
如图建立空间直角坐标系，
则点，，在空间中的坐标分别为，，，
；
．
证明：由题意可知，点在空间中的坐标为，对点分类讨论，
当点在轴的上半平面，即时，点在空间中的坐标为，
，化简得：，，
因此，在平面直角坐标中，点在轴的上半平面的轨迹为以为圆心，以为半径的半圆．
点在轴的下半平面，即时，点在空间中的坐标为，
化简得：，，
点的轨迹方程为：，或，
当直线不与轴垂直时，设直线的方程为：，
，，，
联立方程，
，
，
代入韦达定理可得：，即
解得或，
当时，直线：经过点，故舍去
，则：，由韦达定理可得，，且，
当时，由得，
当过点，；当过点，．
点在轴的上半平面，点在轴的下半平面，
点，在空间中的坐标分别为，，
．
当直线与轴垂直时，显然不成立；
所以当时，为定值，该定值为．
19.解：依题意，、、、，
若动点、满足，，直线与直线相交于点，
设点，、，
可得点，点，
当时，直线的方程为，直线的方程为，
联立直线、的方程，消去参数得，
即，
当时，得交点，满足上述方程，
所以直线与直线交点的轨迹方程为．
过点的直线可设为，
与椭圆方程联立，消去得，
设、，由韦达定理可得，，
依题意，，直线的方程为，
令，得点横坐标，
又，，
则，
因此直线过定点，显然，
而，
令，
，
当且仅当时，即当时，即取等号，此时，
所以面积的最大值为．

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