2024-2025学年江苏省常州市联盟校高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省常州市联盟校高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.圆的面积为( )
A. B. C. D.
3.直线关于轴对称的直线的方程为( )
A. B. C. D.
4.若曲线是双曲线，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D. 或
5.已知抛物线：的焦点为，上一点到轴的距离为，且，则( )
A. B. C. D.
6.比较下列椭圆的形状，最接近于圆的是( )
A. B. C. D.
7.直线与圆：交于，两点，则面积为( )
A. B. C. D.
8.设椭圆：的左右焦点分别为，，过坐标原点的直线与交于，两点，，，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知三条直线：，：，：，则下列结论正确的有( )
A. 经过定点 B. ，的交点坐标为
C. 若，则 D. 若，则
10.已知双曲线的左右焦点分别为，，点是上一点，经过点作斜率为的直线与交于，两点，则下列结论正确的有( )
A. 左焦点到渐近线距离为 B. 若，则或
C. 若，则，两点位于的两支 D. 点不可能是线段的中点
11.已知曲线：，点在曲线上，则下列结论正确的有( )
A. 曲线有条对称轴 B. 曲线围成的图形面积为
C. 的最大值为 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.两条平行直线与间的距离为______．
13.两圆：和：的公切线有______条．
14.已知椭圆：的左右焦点分别为，，上的一点满足，且的面积为，则的值为______，的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的三个顶点为，，．
求证：为直角三角形；
求边上的中线长及中线所在的直线方程．
16.本小题分
已知圆：，点，．
求过点且与圆相切的直线方程；
点是圆上的动点，求的最值．
17.本小题分
已知双曲线：经过点，且左焦点为．
求的标准方程；
过的右焦点作斜率为的弦，求的周长．
18.本小题分
已知四边形的顶点，，在椭圆：上，是坐标原点．
当点是的右顶点，且四边形为菱形时，求菱形的面积；
当点不是的顶点时，判断四边形是否可能为菱形，并说明理由．
19.本小题分
已知抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于，两点．
求线段的中点的轨迹方程；
经过点的另一条直线交抛物线于，两点，连接，设经过且平行于的直线交轴于点，求证：，，在同一条直线上．
参考答案
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15.解：由，，，
法可得，，，
则，
所以为直角三角形；
法，，
所以，
即，即，
即为直角三角形；
解：设的中点坐标为，
则边上的中线，
直线的斜率为，
所以边上的中线所在直线方程为，
即．
16.解：当过点且与圆相切的直线斜率存在时，
设其斜率为，则该直线方程为，
因为该直线与圆相切，则圆心到直线的距离，
即，解得，即；
当过点且与圆相切的直线斜率不存在时，该直线方程为，
圆的切线方程为：或．
设点，为参数，且，
则
，
因为，所以，
所以的最大值为，最小值为．
17.解：依题意，，
可得，
故双曲线；
由知，
则直线，
与双曲线方程联立，整理，
可得或，
不妨令，
则，
而，
故，，
所以，
即的周长为．
18.解：由题可得，又四边形为菱形，
所以与相互垂直且平分，如图，设，
则，解得：，
所以．
四边形不可能为菱形，理由如下：
假设四边形为菱形，
因为点不是的顶点，且直线不过原点，则直线的斜率存在且不为零，
设的方程为，点、，
联立，化简得：，
则，及，
所以，，
则，
因为四边形为菱形，
则，
即，
所以，
所以，
所以与不垂直，
故四边形不可能是菱形．
19.解：由题意，令：，
联立，可得，设，，
则，，
所以，
所以线段的中点坐标为，
设中点坐标为，则，为参数，
消去参数可得所求轨迹方程；
证明：设：，，，同可得，，
由且，则，即，
可设，令，则，即，
所以，，
若，即，
所以，
所以，
，
，显然与矛盾，
综上，不成立，故，即，，在同一条直线上．
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