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【北师大版九年级数学（下）单元测试卷】
第一章：直角三角形的边角关系
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．在中，．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
解：在中，．若，
∴，
故选：A．
2．（ ）
A． B．1 C． D．2
解：，
故选：A．
3．在中，，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
解：∵在中，，，
∴，
故选：C
4．如图，在中，，，，则的长为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
解：过A作于H，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
5．如图是某幼儿园的滑梯的简易图，已知滑坡的坡度是，滑坡的水平宽度是12m，则高是（ ）
A．2m B．3m C．4m D．5m
解：∵滑坡的坡度是，
∴在中，，
∵，
∴，
故选：C．
6．如图，在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A点出发，要到距离A点10千米的C地去，先沿北偏东70°方向走了8千米到达B地，然后再从B地走了6千米到达目的地C，此时小霞在B地的（ ）
A．北偏东20°方向上 B．北偏西20°方向上
C．北偏西30°方向上 D．北偏西40°方向上
解：根据题意可得：∠DAB=70°，AD∥BE，AC=10，AB=8，BC=6，
根据勾股定理的逆定理可知∠ABC=90°，
根据平行线的性质可得：∠ABE=110°，
则∠CBE=110°-90°=20°，
即点C在点B的北偏西20°方向上.
故选B
7．如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值中等于的是（ ）．
A． B． C． D．
解：∵∠ABD+∠A=90°，∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠A=∠DBC，
A．=cosA，不符合题意；
B．=tanA，不符合题意；
C．=cos∠DBC=cosA，不符合题意；
D．=sin∠DBC=sinA，符合题意；
故选： D．
8．在△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，AC=6，则AB的长是（ ）
A． B． C． D．
解：作CD⊥AB于D，如图所示：
则∠BDC=∠ADC=90°，
∵∠B=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD=CD，∠BCD=45°，
∵∠ACB=75°，
∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=30°，
∴AD=AC=×6=3，CD= =3，
∴BD=CD=3，
∴AB=BD+AD=3+3=3（+1）；
故选：B．
9．如图，等腰直角中，，，点在斜边上，且满足，将绕点顺时针方向旋转到的位置，则的大小为（ ）
A． B．
C． D．
解：连接OQ，
∵，，
∴，
由旋转的性质可得，△BCO△ACQ,
∴，OC=CQ, BO=AQ,,
∴,,
且，
∵,
∴，
∴.
故选B.
10．周末，小明和小华来滨湖新区渡江纪念馆游玩，看到高雄挺拔的“胜利之塔”，萌发了用所学知识测量塔高的想法，如图，他俩在塔前的平地上选择一点，树立测角仪，测出看塔顶的仰角约为，从点向塔底走米到达点，测出看塔顶的仰角约为，已知测角仪器高为米，则塔的高大约为（ ）
A．141米 B．101米 C．91米 D．96米
解：设AG=x米，
在Rt△AGF中，∵∠AGF=90°，∠AFG=45°，
∴FG=AG=x米，
同理在Rt△AEG中，∵∠AGE=90°，∠AEG=30°，
∴EG=AG=x米，
∵EF=EG-FG，∴x-x=70，
解可得：x=35（+1）≈94.5，
故AB=AG+BG≈94.5+1≈96．
答：塔AB的高大约为96米．
故选D．
二、填空题：（每小题3分共15分）
11．在中，，，，那么 ．（结果用的锐角三角函数表示）
解：在中，，，，
∴，
故答案为：．
12．已知，在中，，则 ．
解：在中，，，
∵，
∴．
故答案为：8．
13．如图，在中，，中线与交于点F，则 ．
解：，且是中线，
．
，
，
过点E作交于点M，
在中，，
∴，．
在中，，
故答案为：．
14．如图，在矩形中，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么 ．
解：∵四边形为矩形，
∴，
∵矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上的F处，
∴，
∴在中，，
∴，
设，则，
∵在中，，
∴，
解得，，
∴，
∴，
故答案为：．
15．如图，在中，，，，点D是斜边上任意一点，连接，过C作于点C，连接，使得．当的面积取得最大值时，的值为 ．
解：，
，
，，
，
在中，，，，
由勾股定理可得：
，
在中，，
在中，，
，
，
即：，
又，
，
，，
设，则，
，
，
，
即：，
设△BDE的面积，
则，
整理，得：，
当时，取得最大值，
此时，，
，
，
当点是斜边的中点时，的面积取得最大值，
此时，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题:(共55分)
16．(6分)（1）计算：
（2）先化简再求值：，其中．
解：（1）
；
（2）
，
∵，
∴原式．
17．计算：(7分)
(1)；
(2)．
（1）解：
；
（2）解：
18．(8分)如图，在中，，，．
(1)求的长；
(2)求的值．
（1）解：∵在中，，，
∴，即
∴；
（2）∵，，
∴
∴．
19．(8分)如图，为测量建筑物CD的高度，在点A测得建筑物顶部D点的仰角是，再向建筑物CD前进30米到达B点，测得建筑物顶部D点的仰角为（A，B，C在同一直线上），求建筑物CD的高度．（结果保留整数.参考数据：）
解：设建筑物CD的高度为xm；
由
由
解得：
答：CD的高度是16米．
20．(8分)某数学兴趣小组到一公园测量塔楼的高度，如图所示，塔楼剖面图与斜坡剖面图在同一平面内，在斜坡底部C处测得塔顶B的仰角为，沿斜坡走13米到达斜坡D处，测得塔顶B的仰角为，且斜坡的坡度，其中点A，C，G，F在同一条水平直线上．求：
(1)点D到地面的距离；
(2)塔的高．（精确到0.1米）（参考数据：，，，，，）
（1）解：∵斜坡的坡度，设，，
∵，
∴，
解得，
答：点D到地面的距离为米；
（2）解：如图，过点作，垂足为，
由题意得：米，，，
斜坡的坡度，米，
设米，
米，
在中，，
米，
在中，，
米，
，，
解得：，米，
塔高约为米．
21．(9分)如图，△ABC是等腰直角三角形，，点D，E分别在边上运动，连接交于点F，且始终满足．
求证：
(1)；
(2)；
(3)若，求的长．
（1）证明：∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴；
（2）由（1）可知，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
由（2）可知，，
∴，
∴，
即的长为．
22．(9分)上海教育出版社九年级第一学期《练习部分》第48页复习题B组第2题及参考答案．
2．如图，图中提供了一种求的方法，阅读并填空：先作，其中，；然后延长到点，使，连接．（1）．（2）设，那么（用t的代数式表示，以下同），．（3）．
某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究：
【知识迁移】
在中，，，那么____；____．
【拓展应用】
如图，在中，，，，点、分别在边、上，且，，连接、交于点，求的值．
解：如图，作平分交于，过作于，
∵，
∴，
∵平分交于，
，，
中，，
即，
设，
则，
，
∵，
∴即，
∴，
∴；
同理可得：，
故答案为：，；
拓展应用：
解：连接，
，，
，
，，
，
，
，
，；
设，，
，，
，
，
，
，
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第一章：直角三角形的边角关系
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．在中，．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
2．（ ）
A． B．1 C． D．2
3．在中，，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，，，则的长为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
5．如图是某幼儿园的滑梯的简易图，已知滑坡的坡度是，滑坡的水平宽度是12m，则高是（ ）
A．2m B．3m C．4m D．5m
6．如图，在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A点出发，要到距离A点10千米的C地去，先沿北偏东70°方向走了8千米到达B地，然后再从B地走了6千米到达目的地C，此时小霞在B地的（ ）
A．北偏东20°方向上 B．北偏西20°方向上
C．北偏西30°方向上 D．北偏西40°方向上
7．如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值中等于的是（ ）．
A． B． C． D．
8．在△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，AC=6，则AB的长是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，等腰直角中，，，点在斜边上，且满足，将绕点顺时针方向旋转到的位置，则的大小为（ ）
A． B．
C． D．
10．周末，小明和小华来滨湖新区渡江纪念馆游玩，看到高雄挺拔的“胜利之塔”，萌发了用所学知识测量塔高的想法，如图，他俩在塔前的平地上选择一点，树立测角仪，测出看塔顶的仰角约为，从点向塔底走米到达点，测出看塔顶的仰角约为，已知测角仪器高为米，则塔的高大约为（ ）
A．141米 B．101米 C．91米 D．96米
二、填空题：（每小题3分共15分）
11．在中，，，，那么 ．（结果用的锐角三角函数表示）
12．已知，在中，，则 ．
13．如图，在中，，中线与交于点F，则 ．
14．如图，在矩形中，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么 ．
15．如图，在中，，，，点D是斜边上任意一点，连接，过C作于点C，连接，使得．当的面积取得最大值时，的值为 ．
三、解答题:(共55分)
16．(6分)（1）计算：
（2）先化简再求值：，其中．
17．计算：(7分)
(1)；
(2)．
18．(8分)如图，在中，，，．
(1)求的长；
(2)求的值．
19．(8分)如图，为测量建筑物CD的高度，在点A测得建筑物顶部D点的仰角是，再向建筑物CD前进30米到达B点，测得建筑物顶部D点的仰角为（A，B，C在同一直线上），求建筑物CD的高度．（结果保留整数.参考数据：）
20．(8分)某数学兴趣小组到一公园测量塔楼的高度，如图所示，塔楼剖面图与斜坡剖面图在同一平面内，在斜坡底部C处测得塔顶B的仰角为，沿斜坡走13米到达斜坡D处，测得塔顶B的仰角为，且斜坡的坡度，其中点A，C，G，F在同一条水平直线上．求：
(1)点D到地面的距离；
(2)塔的高．（精确到0.1米）（参考数据：，，，，，）
21．(9分)如图，△ABC是等腰直角三角形，，点D，E分别在边上运动，连接交于点F，且始终满足．
求证：
(1)；
(2)；
(3)若，求的长．
22．(9分)上海教育出版社九年级第一学期《练习部分》第48页复习题B组第2题及参考答案．
2．如图，图中提供了一种求的方法，阅读并填空：先作，其中，；然后延长到点，使，连接．（1）．（2）设，那么（用t的代数式表示，以下同），．（3）．
某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究：
【知识迁移】
在中，，，那么____；____．
【拓展应用】
如图，在中，，，，点、分别在边、上，且，，连接、交于点，求的值．
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