浙江省金华市第五中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题
1．（2024九上·婺城开学考）若3x=2y(y≠0)，则下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵ 3x=2y
∴
故答案为：C.
【分析】根据比例的性质：若ab=cd则，进行判段即可.
2．（2024九上·婺城开学考）如果正多边形的一个内角是 ，则这个多边形是（ ）
A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正七边形
【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解:360÷（180 144）＝10，则这个多边形是正十边形.
故答案为：A.
【分析】先求出正多边形的一个外角，由于多边形的外角和等于360度，利用外角和除以一个外角的度数即得结论.
3．（2024九上·婺城开学考）一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是（ ）
A．2π B．4π C．12π D．24π
【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】S= ，
故答案为：C．
【分析】利用扇形的面积公式计算即可.
4．（2024九上·婺城开学考）将抛物线y＝2（x﹣3）2+1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（5，4） B．（1，﹣2）
C．（﹣1，﹣2） D．（﹣5，﹣2）
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：将抛物线y＝2（x﹣3）2+1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
即可得到抛物线y＝2（x﹣3+2）2+1﹣3，
即y＝2（x﹣1）2﹣2.
其顶点坐标是（1，﹣2）.
故答案为：B.
【分析】对于二次函数y=a(x+h)2+k，根据抛物线的平移规律：即左右平移在h后左加右减，上下平移在k后上加下减求出平移后的解析式，再求顶点坐标即可.
5．（2024九上·婺城开学考）如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】解：已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、
只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．
故答案为：B．
【分析】根据网格的特点及勾股定理求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理“三边对应成比例的三角形相似”即可求解．
6．（2024九上·婺城开学考）如图，点A、B、C、D在⊙O上，，点B是的中点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OB，
∵点B是的中点，
∴∠AOB＝∠AOC＝60°，
∴∠D＝∠AOB＝30°，
故答案为：A．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB＝∠AOC，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得答案.
7．（2024九上·婺城开学考）凸透镜成像的原理如图所示，.若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵， ， ，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即
∴物体被缩小到原来的.
故答案为：A.
【分析】由题意可得：四边形OBCG为矩形，则OB=CG，证明△AHF1∽△BOF1，然后根据相似三角形的性质进行解答.
8．（2024九上·婺城开学考）二次函数中，自变量与函数的对应值如下表：
0 1 2 3 4
若，则下面叙述正确的是（ ）
A．该函数图象开口向上
B．该函数图象与轴的交点在轴的下方
C．对称轴是直线
D．若是方程的正数解，则
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数过(-1，m-2)， (3，m-2)，
∴对称轴为直线，故C错误，不符合题意；
由表格可得，当x＜1时，y随x的增大而增大，当x>1时，y随x的值增大而减小，
∴该函数开口向下，故选项A错误，不符合题意；
∵图象过点(0，m-0.5)，1∴1-0.5∴该函数图象与y轴的交点在x轴的上方，故B错误，不符合题意；
∵，
∴，，
由表中数据可知，在与之间，故对应的x的值在与0和2与3之间，
∴若是方程的正数解，则，故该选项正确，符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据表格数据、二次函数的对称性及m的取值范围，可判断各个选项中说法是否正确，得出答案.
9．（2024九上·婺城开学考）如图， 一张扇形纸片，，， 将这张扇形纸片折叠，使点A 与点O重合，折痕为，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图：连接、，
，
由折叠可得：，，，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积，
故答案为：A．
【分析】连接、，由折叠可得，，，由同圆半径相等及三边相等的三角形是等边三角形得△AOD为等边三角形，由等边三角形三个角都是60°得出，进而可得，根据等边三角形的三线合一及勾股定理求出，再根据得出，最后根据阴影部分的面积计算即可得解．
10．（2024九上·婺城开学考）如图，已知在平面直角坐标系中，一段抛物线，记为抛物线，它与轴交于点，；将抛物线绕点旋转得抛物线，交轴于点，；将抛物线绕点，旋转得抛物线，交轴于点，；……如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则的值为（ ）
A． B． C．9 D．5
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；探索规律-函数上点的规律；二次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解：对于，当时，，
解得：，
∴．
∵，
∴．
由题意可知，，
∴可设：，
将代入，得：，
解得：，
∴．
由题意又可知整个函数图象每隔个单位长度，函数值就相等，
∵，
∴m的值等于时的纵坐标，
∴．
故答案为：B．
【分析】令抛物线解析式中的y=0，算出对应的自变量x的值可求出，将抛物线的解析式配成顶点式可得，由旋转的性质从而可求出，，进而利用待定系数法求出C2的解析式，再根据整个函数图象每隔个单位长度，函数值就相等，由，即可知m的值等于时的纵坐标，从而即可得出答案．
11．（2024九上·婺城开学考）已知四边形内接于，若，则的度数为 .
【答案】50°
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形 内接于 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：50°.
【分析】根据圆内接四边形对角互补可得∠A+∠C=180°，据此计算.
12．（2024九上·婺城开学考）若扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径为 .
【答案】3
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：设扇形的半径为，由题意可得：
解得
故答案为：3.
【分析】设扇形的半径为r，根据弧长公式进行计算即可.
13．（2024九上·婺城开学考）如图，二次函数与一次函数的图象相交于A，B两点，则不等式的解为 ．
【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由图象可得：当时，则有；
故答案为：．
【分析】从图象角度看，求关于x的不等式的解集，就是求抛物线在直线下方部分对应的自变量的取值范围，结合交点坐标即可得出答案.
14．（2024九上·婺城开学考） 若点在抛物线上，则的最大值等于 ．
【答案】
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵点在抛物线上，
∴，
∴，
∴当时， 取最大值，最大值为，
故答案为：.
【分析】根据题意先求出，再利用配方法求出，最后求解即可。
15．（2024九上·婺城开学考）如图，正方形的边长为6，点F为的中点，点E在上，且，在边上找一点P，使以E，D，P为顶点的三角形与相似，则的长为 ．
【答案】6或
【知识点】正方形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ 正方形ABCD的边长为6，点F为AB的中点，点E在AD上，且，
∴，∠A=∠D=90°，
若，则，即，解得：；
若，则，即，解得：，
故答案为：6或．
【分析】根据正方形性质可得AB=AD=6，∠A=∠D=90°，再结合已知可得AE=2，DE=4，AF=3，然后分△AEF∽△DEP或△AEF∽△DPE两种情况，利用相似三角形的对应边成比例建立方程，求解即可．
16．（2024九上·婺城开学考）在中，若点O为边的中点，则必有：成立． 依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形中，已知，，点在以半径为2的上运动，则的最大值为 ．
【答案】116
【知识点】三角形三边关系；矩形的性质；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设点是的中点，连接，，，
在矩形中，，，
∴，，，
∵点O是GF的中点，
∴，
由题意可得：，
∴最大值时，的值最大，
∵，，
∴，
∴的最大值为，
∴的最大值，
故答案为：．
【分析】设点O是GF的中点，连接OM，OD，DM，由矩形性质得，，，根据中点定义得OG=OF=3，由题意得出，从而得出OM最大值时，的值最大，再由三角形三边关系得出OM的最大值为7，计算即可得出答案．
17．（2024九上·婺城开学考）如图，已知，，．
（1）求的值；
（2）若，求的长．
【答案】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴．
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的对应边成比例求解即可；
（2）根据的值，然后代入AE的长求解即可．
（1）∵
∴
（2）∵，
∴．
18．（2024九上·婺城开学考）已知二次函数．
（1）求此二次函数图象的顶点坐标；
（2）当函数值时，求自变量x的取值范围．
【答案】（1）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）解：当时，，
解得：，，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当，时函数图象在x轴的下方，
∴当函数值时，，.
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）将抛物线解析式中含字母的项放到一个带负号的括号内，由于二次项系数为1，故直接在括号内加上一次项系数一半的平方“9”，为了保证式子的值不变，再在括号内减去“9”，进而将完全平方式利用完全平方公式分解因式，并将剩下的常数项合并同类项将抛物线配成y=a(x-h)2+k的形式，从而得到顶点坐标；
（2）令抛物线解析式中的y=0算出对应的自变量x的值，可得抛物线与x轴交点的横坐标，然后根据抛物线中二次项系数小于0得图象开口向下，最后找出x轴下方部分抛物线自变量的取值范围即可.
（1）解：由题意可得，
，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）解：当时，
，
解得：，，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当，时函数图象在x轴的下方，
∴当函数值时，，；
19．（2024九上·婺城开学考）如图，是格点三角形．
（1）将图1中的绕点B顺时针旋转，得，请在图1中画出．
（2）在图2中画出与相似但相似比不为1的格点．
【答案】（1）解：如图，△A1B1C1就是所求的三角形；
（2）解：如图，△A2B2C2就是所求的三角形；
【知识点】作图﹣相似变换；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用网格特点及旋转的性质，分别作出点A、B、C三点绕点B顺时针旋转90°后的对应点A1、B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1即可；
（2）根据位似图形一定相似，再结合位似图形对应顶点的连线相交于位似中心，借助网格纸的特点确定点B2，A2、C2，再顺次连接即可.
（1）解：如图，
（2）如图，
20．（2024九上·婺城开学考）如图，在中，，以为直径的交于点，交的延长线于点．
（1）求证：点为线段的中点．
（2）若，，求的半径及阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：连结，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
即点D为线段BC的中点；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
设，则
，
解得：（舍去），，
∴的半径为3，
连接，
∴OE=OA=AE=3，
∴是等边三角形，
∴
∴边上的高为，
∴，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；扇形面积的计算；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连结AD，由直径所对的圆周角是直角可得∠ADB=90°，然后根据等腰三角形三线合一的性质即可得证点D为线段BC的中点；
（2）由同弧所对的圆周角相等得∠B=∠AED，再结合∠C=∠C，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△ABC∽△DEC，由相似三角形对应边成比例得到，由等角对等边得ED=DC=BD，从而可得，设，从而代入可得关于字母x的方程，解方程即可求得的半径，连接OE，由三边相等的三角形是等边三角形可证△AOE是等边三角形，在△AOE中解直角三角形可求出AE边上的高，最后结合扇形面积计算公式，根据即可求出阴影部分的面积.
（1）连结，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
即点为线段的中点．
（2）∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
设，则
，
解得：（舍去），，
∴的半径为3，
连接，
∴，
∴是等边三角形，
∴边上的高为，
∴，
21．（2024九上·婺城开学考）某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利元，每天可售出千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价元，日销售量将减少千克．
当每千克涨价为多少元时，每天的盈利最多？最多是多少？
若商场只要求保证每天的盈利为元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价为多少元？
【答案】解：（1）设每千克涨价x元，利润为y元，由题意得
y=(10+x)(500-20x)=-20x2+300x+5000=，
∵a=-20＜0，
∴抛物线开口向下，当每千克涨价7.5元时每天盈利最多，最多为6125元；
（2）)将y=6000代入y=(10+x)(500-20x)得(10+x)(500-20x)=6000，
解得x1=10，x2=5，
∵要使顾客得到实惠，
∴x=5，
∴每千克应涨价为5元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每千克涨价x元，利润为y元，根据利润=每千克利润×每天销售数量建立出y关于x的函数解析式，再根据函数的性质即可得到结果；
（2）把y=6000代入（1）所求的函数解析式，算出对应的自变量x的值，再根据题意进行取舍即可得出答案.
22．（2024九上·婺城开学考）已知函数，为常数）的图象经过点，．
（1）求b，c的值；
（2）当时，求y的最大值与最小值之差；
（3）当时，求y的最小值．（可用含k的代数式表示）
【答案】（1）解：函数，为常数）的图象经过点，，
，，
将点代入可得：，解得：，
，；
（2）解：，
当时，
①仅当时，取得最小值，此时；
②仅当时，取得最大值，此时；
，
当时，求的最大值与最小值之差为9；
（3）解：，
当时，则在时，y随x的增大而减小，
当时，y有最小值，最小值为；
当时，则在时，抛物线的顶点在图象上处于最低点，
当时，y有最小值，最小值为；
综上所述，y的最小值为或．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）（0，3）是抛物线与y轴的交点，可得，再将（6，3）代，可求得b的值；
（2）首先利用配方法将抛物线的解析式配成顶点式，从而找出0≤x≤4这段图象最高点与最低点对应的函数值，再求差即可；
（3）结合（2）中的顶点式，由于抛物线中二次项系数a=1＞0，抛物线开口向上，结合抛物线的顶点坐标及增减性，分类讨论：当时及当时，分别计算求出y的最小值．
（1）函数，为常数）的图象经过点，，
，，
将点代入可得：，解得：，
，；
（2），
当时，
①仅当时，取得最小值，此时；
②仅当时，取得最大值，此时；
，
当时，求的最大值与最小值之差为9；
（3），
当时，则在时，y随x的增大而减小，
当时，y有最小值，最小值为；
当时，则在时，抛物线的顶点在图象上处于最低点，
当时，y有最小值，最小值为；
综上所述，y的最小值为或．
23．（2024九上·婺城开学考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其对称轴直线与轴交于点．
（1）求该抛物线的函数表达式为______；
（2）如图1，点为抛物线上第四象限内的一动点，连接，，，求四边形面积最大值和点此时的坐标；
（3）如图2，将该抛物线向左平移得到抛物线，当抛物线经过原点时，与原抛物线的对称轴相交于点，点为抛物线对称轴上的一点，点是平面内一点，若以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形，请直接写出满足条件的点的坐标______．
【答案】（1）
（2）解：设，
由题意可得，当时，，
解得，，故，
当时，，故，
∵对称轴直线与轴交于点，
∴，
，
∵，
∴当时最大，最大值为，
当时，，
∴；
（3）或或或
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；菱形的性质；二次函数-面积问题
【解析】【解答】（1）解：由题意可得，
，
解得，
∴抛物线解析式为：；
故答案为：；
（3）解：由题意可得，B点移动到了O点，即函数向左平移了6个单位，
，
当时，，
∴坐标为：，
设F点坐标为，
①当，，时，
∵，，，根据平移的性质可得，
∴，
根据可得，
，
，
∴或；
②当， ，时，
∵，，，根据平移的性质可得，
∴，
根据，
，
解得：，
，，
综上所述M点坐标为：或或或．
【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线的解析式可得关于字母a、b的一个方程，再根据抛物线的对称轴直线公式可得一个关于字母a、b的二元一次方程，联立两方程，求解得到a、b的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）设，根据抛物线与坐标轴交点的坐标特点先求出B、C两点的坐标，根据点的坐标与图形性质求出点D的坐标，然后根据用m表示出面积，利用二次函数性质即可求出最大值，进而即可求出点P的坐标；
（3）根据平移性质“左移加，右移减，上移加，下移减”得到新的抛物线解析式并求出点坐标，设出坐标，根据菱形性质分①当，，时，②当， ，时，两种情况结合根据平移性质即可得到答案．
（1）解：由题意可得，
，
解得，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：设，由题意可得，
当时，，解得，，故，
当时，，故，
∵对称轴直线与轴交于点，
∴，
，
∵，
∴当时最大，最大值为，
当时，，
∴；
（3）解：由题意可得，B点移动到了O点，即函数向左平移了6个单位，
，
当时，，
∴坐标为：，
设F点坐标为，
当，，时，
∵，，，根据平移的性质可得，
∴，
根据可得，
，
，
∴或；
②当， ，时，
∵，，，根据平移的性质可得，
∴，
根据，
，
解得：，
，，
综上所述M点坐标为：或或或．
24．（2024九上·婺城开学考）等腰三角形中，且内接于圆O，D、E为边上两点（D在F、E之间），分别延长、交圆O于B、C两点（如图1），记，．
（1）求的大小（用α，β表示）；
（2）连接，交于H（如图2）．若，且．求证：；
（3）在（2）的条件下，取中点M，连接、（如图3），若，
①求证：，；
②请直接写出的值．
【答案】（1）解：如图1中，连接．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：如图2中，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①证明：如图3中，连接，延长交于点I．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
在中，，
∴
即，
∴，
又，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又，
∴，；
②的值 为：或.
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【解答】（3）②解：连接，．
∵，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，，设，
∴，
∴，
∵，
∴，
整理得，
∴或，
∴或．
【分析】（1）如图1中，连接CF，由等边对等角得，由同弧所对的圆周角相等得，进而根据角的构成可得答案；
（2）由等边对等角及同弧所对的圆周角相等得，结合公共角，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△EAF∽△FAC，由相似三角形对应边成比例可推出，结合已知得出BC=AF，由同圆中等弦所对的弧相等及等弧所对的圆周角相等可证明，根据三角形的内角和定理推出，可得结论；
（3）①如图3中，连接，延长交于点I．由已知易得，由等边对等角及同弧所对的圆周角相等得，由三角形内角和定理推出，从而根据圆周角定理推论得出是直径，，然后根据同旁内角互补两直线平行得AB∥CG，由二直线平行，内错角相等得，从而由ASA证明，得出，，，然后证明，由同位角相等，两直线平行得IG∥BC，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形是平行四边形，由平行四边形对边相等得IG=BC，可得结论；
②连接，．设，则，，设，利用勾股定理求出m，n之间的关系，可得结论．
1 / 1浙江省金华市第五中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题
1．（2024九上·婺城开学考）若3x=2y(y≠0)，则下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·婺城开学考）如果正多边形的一个内角是 ，则这个多边形是（ ）
A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正七边形
3．（2024九上·婺城开学考）一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是（ ）
A．2π B．4π C．12π D．24π
4．（2024九上·婺城开学考）将抛物线y＝2（x﹣3）2+1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（5，4） B．（1，﹣2）
C．（﹣1，﹣2） D．（﹣5，﹣2）
5．（2024九上·婺城开学考）如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是
A． B．
C． D．
6．（2024九上·婺城开学考）如图，点A、B、C、D在⊙O上，，点B是的中点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·婺城开学考）凸透镜成像的原理如图所示，.若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·婺城开学考）二次函数中，自变量与函数的对应值如下表：
0 1 2 3 4
若，则下面叙述正确的是（ ）
A．该函数图象开口向上
B．该函数图象与轴的交点在轴的下方
C．对称轴是直线
D．若是方程的正数解，则
9．（2024九上·婺城开学考）如图， 一张扇形纸片，，， 将这张扇形纸片折叠，使点A 与点O重合，折痕为，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024九上·婺城开学考）如图，已知在平面直角坐标系中，一段抛物线，记为抛物线，它与轴交于点，；将抛物线绕点旋转得抛物线，交轴于点，；将抛物线绕点，旋转得抛物线，交轴于点，；……如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则的值为（ ）
A． B． C．9 D．5
11．（2024九上·婺城开学考）已知四边形内接于，若，则的度数为 .
12．（2024九上·婺城开学考）若扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径为 .
13．（2024九上·婺城开学考）如图，二次函数与一次函数的图象相交于A，B两点，则不等式的解为 ．
14．（2024九上·婺城开学考） 若点在抛物线上，则的最大值等于 ．
15．（2024九上·婺城开学考）如图，正方形的边长为6，点F为的中点，点E在上，且，在边上找一点P，使以E，D，P为顶点的三角形与相似，则的长为 ．
16．（2024九上·婺城开学考）在中，若点O为边的中点，则必有：成立． 依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形中，已知，，点在以半径为2的上运动，则的最大值为 ．
17．（2024九上·婺城开学考）如图，已知，，．
（1）求的值；
（2）若，求的长．
18．（2024九上·婺城开学考）已知二次函数．
（1）求此二次函数图象的顶点坐标；
（2）当函数值时，求自变量x的取值范围．
19．（2024九上·婺城开学考）如图，是格点三角形．
（1）将图1中的绕点B顺时针旋转，得，请在图1中画出．
（2）在图2中画出与相似但相似比不为1的格点．
20．（2024九上·婺城开学考）如图，在中，，以为直径的交于点，交的延长线于点．
（1）求证：点为线段的中点．
（2）若，，求的半径及阴影部分的面积．
21．（2024九上·婺城开学考）某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利元，每天可售出千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价元，日销售量将减少千克．
当每千克涨价为多少元时，每天的盈利最多？最多是多少？
若商场只要求保证每天的盈利为元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价为多少元？
22．（2024九上·婺城开学考）已知函数，为常数）的图象经过点，．
（1）求b，c的值；
（2）当时，求y的最大值与最小值之差；
（3）当时，求y的最小值．（可用含k的代数式表示）
23．（2024九上·婺城开学考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其对称轴直线与轴交于点．
（1）求该抛物线的函数表达式为______；
（2）如图1，点为抛物线上第四象限内的一动点，连接，，，求四边形面积最大值和点此时的坐标；
（3）如图2，将该抛物线向左平移得到抛物线，当抛物线经过原点时，与原抛物线的对称轴相交于点，点为抛物线对称轴上的一点，点是平面内一点，若以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形，请直接写出满足条件的点的坐标______．
24．（2024九上·婺城开学考）等腰三角形中，且内接于圆O，D、E为边上两点（D在F、E之间），分别延长、交圆O于B、C两点（如图1），记，．
（1）求的大小（用α，β表示）；
（2）连接，交于H（如图2）．若，且．求证：；
（3）在（2）的条件下，取中点M，连接、（如图3），若，
①求证：，；
②请直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵ 3x=2y
∴
故答案为：C.
【分析】根据比例的性质：若ab=cd则，进行判段即可.
2．【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解:360÷（180 144）＝10，则这个多边形是正十边形.
故答案为：A.
【分析】先求出正多边形的一个外角，由于多边形的外角和等于360度，利用外角和除以一个外角的度数即得结论.
3．【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】S= ，
故答案为：C．
【分析】利用扇形的面积公式计算即可.
4．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：将抛物线y＝2（x﹣3）2+1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
即可得到抛物线y＝2（x﹣3+2）2+1﹣3，
即y＝2（x﹣1）2﹣2.
其顶点坐标是（1，﹣2）.
故答案为：B.
【分析】对于二次函数y=a(x+h)2+k，根据抛物线的平移规律：即左右平移在h后左加右减，上下平移在k后上加下减求出平移后的解析式，再求顶点坐标即可.
5．【答案】B
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】解：已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、
只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．
故答案为：B．
【分析】根据网格的特点及勾股定理求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理“三边对应成比例的三角形相似”即可求解．
6．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OB，
∵点B是的中点，
∴∠AOB＝∠AOC＝60°，
∴∠D＝∠AOB＝30°，
故答案为：A．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB＝∠AOC，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得答案.
7．【答案】A
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵， ， ，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即
∴物体被缩小到原来的.
故答案为：A.
【分析】由题意可得：四边形OBCG为矩形，则OB=CG，证明△AHF1∽△BOF1，然后根据相似三角形的性质进行解答.
8．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数过(-1，m-2)， (3，m-2)，
∴对称轴为直线，故C错误，不符合题意；
由表格可得，当x＜1时，y随x的增大而增大，当x>1时，y随x的值增大而减小，
∴该函数开口向下，故选项A错误，不符合题意；
∵图象过点(0，m-0.5)，1∴1-0.5∴该函数图象与y轴的交点在x轴的上方，故B错误，不符合题意；
∵，
∴，，
由表中数据可知，在与之间，故对应的x的值在与0和2与3之间，
∴若是方程的正数解，则，故该选项正确，符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据表格数据、二次函数的对称性及m的取值范围，可判断各个选项中说法是否正确，得出答案.
9．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图：连接、，
，
由折叠可得：，，，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积，
故答案为：A．
【分析】连接、，由折叠可得，，，由同圆半径相等及三边相等的三角形是等边三角形得△AOD为等边三角形，由等边三角形三个角都是60°得出，进而可得，根据等边三角形的三线合一及勾股定理求出，再根据得出，最后根据阴影部分的面积计算即可得解．
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；探索规律-函数上点的规律；二次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解：对于，当时，，
解得：，
∴．
∵，
∴．
由题意可知，，
∴可设：，
将代入，得：，
解得：，
∴．
由题意又可知整个函数图象每隔个单位长度，函数值就相等，
∵，
∴m的值等于时的纵坐标，
∴．
故答案为：B．
【分析】令抛物线解析式中的y=0，算出对应的自变量x的值可求出，将抛物线的解析式配成顶点式可得，由旋转的性质从而可求出，，进而利用待定系数法求出C2的解析式，再根据整个函数图象每隔个单位长度，函数值就相等，由，即可知m的值等于时的纵坐标，从而即可得出答案．
11．【答案】50°
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形 内接于 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：50°.
【分析】根据圆内接四边形对角互补可得∠A+∠C=180°，据此计算.
12．【答案】3
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：设扇形的半径为，由题意可得：
解得
故答案为：3.
【分析】设扇形的半径为r，根据弧长公式进行计算即可.
13．【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由图象可得：当时，则有；
故答案为：．
【分析】从图象角度看，求关于x的不等式的解集，就是求抛物线在直线下方部分对应的自变量的取值范围，结合交点坐标即可得出答案.
14．【答案】
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵点在抛物线上，
∴，
∴，
∴当时， 取最大值，最大值为，
故答案为：.
【分析】根据题意先求出，再利用配方法求出，最后求解即可。
15．【答案】6或
【知识点】正方形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ 正方形ABCD的边长为6，点F为AB的中点，点E在AD上，且，
∴，∠A=∠D=90°，
若，则，即，解得：；
若，则，即，解得：，
故答案为：6或．
【分析】根据正方形性质可得AB=AD=6，∠A=∠D=90°，再结合已知可得AE=2，DE=4，AF=3，然后分△AEF∽△DEP或△AEF∽△DPE两种情况，利用相似三角形的对应边成比例建立方程，求解即可．
16．【答案】116
【知识点】三角形三边关系；矩形的性质；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设点是的中点，连接，，，
在矩形中，，，
∴，，，
∵点O是GF的中点，
∴，
由题意可得：，
∴最大值时，的值最大，
∵，，
∴，
∴的最大值为，
∴的最大值，
故答案为：．
【分析】设点O是GF的中点，连接OM，OD，DM，由矩形性质得，，，根据中点定义得OG=OF=3，由题意得出，从而得出OM最大值时，的值最大，再由三角形三边关系得出OM的最大值为7，计算即可得出答案．
17．【答案】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴．
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的对应边成比例求解即可；
（2）根据的值，然后代入AE的长求解即可．
（1）∵
∴
（2）∵，
∴．
18．【答案】（1）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）解：当时，，
解得：，，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当，时函数图象在x轴的下方，
∴当函数值时，，.
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）将抛物线解析式中含字母的项放到一个带负号的括号内，由于二次项系数为1，故直接在括号内加上一次项系数一半的平方“9”，为了保证式子的值不变，再在括号内减去“9”，进而将完全平方式利用完全平方公式分解因式，并将剩下的常数项合并同类项将抛物线配成y=a(x-h)2+k的形式，从而得到顶点坐标；
（2）令抛物线解析式中的y=0算出对应的自变量x的值，可得抛物线与x轴交点的横坐标，然后根据抛物线中二次项系数小于0得图象开口向下，最后找出x轴下方部分抛物线自变量的取值范围即可.
（1）解：由题意可得，
，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）解：当时，
，
解得：，，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当，时函数图象在x轴的下方，
∴当函数值时，，；
19．【答案】（1）解：如图，△A1B1C1就是所求的三角形；
（2）解：如图，△A2B2C2就是所求的三角形；
【知识点】作图﹣相似变换；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用网格特点及旋转的性质，分别作出点A、B、C三点绕点B顺时针旋转90°后的对应点A1、B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1即可；
（2）根据位似图形一定相似，再结合位似图形对应顶点的连线相交于位似中心，借助网格纸的特点确定点B2，A2、C2，再顺次连接即可.
（1）解：如图，
（2）如图，
20．【答案】（1）证明：连结，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
即点D为线段BC的中点；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
设，则
，
解得：（舍去），，
∴的半径为3，
连接，
∴OE=OA=AE=3，
∴是等边三角形，
∴
∴边上的高为，
∴，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；扇形面积的计算；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连结AD，由直径所对的圆周角是直角可得∠ADB=90°，然后根据等腰三角形三线合一的性质即可得证点D为线段BC的中点；
（2）由同弧所对的圆周角相等得∠B=∠AED，再结合∠C=∠C，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△ABC∽△DEC，由相似三角形对应边成比例得到，由等角对等边得ED=DC=BD，从而可得，设，从而代入可得关于字母x的方程，解方程即可求得的半径，连接OE，由三边相等的三角形是等边三角形可证△AOE是等边三角形，在△AOE中解直角三角形可求出AE边上的高，最后结合扇形面积计算公式，根据即可求出阴影部分的面积.
（1）连结，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
即点为线段的中点．
（2）∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
设，则
，
解得：（舍去），，
∴的半径为3，
连接，
∴，
∴是等边三角形，
∴边上的高为，
∴，
21．【答案】解：（1）设每千克涨价x元，利润为y元，由题意得
y=(10+x)(500-20x)=-20x2+300x+5000=，
∵a=-20＜0，
∴抛物线开口向下，当每千克涨价7.5元时每天盈利最多，最多为6125元；
（2）)将y=6000代入y=(10+x)(500-20x)得(10+x)(500-20x)=6000，
解得x1=10，x2=5，
∵要使顾客得到实惠，
∴x=5，
∴每千克应涨价为5元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每千克涨价x元，利润为y元，根据利润=每千克利润×每天销售数量建立出y关于x的函数解析式，再根据函数的性质即可得到结果；
（2）把y=6000代入（1）所求的函数解析式，算出对应的自变量x的值，再根据题意进行取舍即可得出答案.
22．【答案】（1）解：函数，为常数）的图象经过点，，
，，
将点代入可得：，解得：，
，；
（2）解：，
当时，
①仅当时，取得最小值，此时；
②仅当时，取得最大值，此时；
，
当时，求的最大值与最小值之差为9；
（3）解：，
当时，则在时，y随x的增大而减小，
当时，y有最小值，最小值为；
当时，则在时，抛物线的顶点在图象上处于最低点，
当时，y有最小值，最小值为；
综上所述，y的最小值为或．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）（0，3）是抛物线与y轴的交点，可得，再将（6，3）代，可求得b的值；
（2）首先利用配方法将抛物线的解析式配成顶点式，从而找出0≤x≤4这段图象最高点与最低点对应的函数值，再求差即可；
（3）结合（2）中的顶点式，由于抛物线中二次项系数a=1＞0，抛物线开口向上，结合抛物线的顶点坐标及增减性，分类讨论：当时及当时，分别计算求出y的最小值．
（1）函数，为常数）的图象经过点，，
，，
将点代入可得：，解得：，
，；
（2），
当时，
①仅当时，取得最小值，此时；
②仅当时，取得最大值，此时；
，
当时，求的最大值与最小值之差为9；
（3），
当时，则在时，y随x的增大而减小，
当时，y有最小值，最小值为；
当时，则在时，抛物线的顶点在图象上处于最低点，
当时，y有最小值，最小值为；
综上所述，y的最小值为或．
23．【答案】（1）
（2）解：设，
由题意可得，当时，，
解得，，故，
当时，，故，
∵对称轴直线与轴交于点，
∴，
，
∵，
∴当时最大，最大值为，
当时，，
∴；
（3）或或或
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；菱形的性质；二次函数-面积问题
【解析】【解答】（1）解：由题意可得，
，
解得，
∴抛物线解析式为：；
故答案为：；
（3）解：由题意可得，B点移动到了O点，即函数向左平移了6个单位，
，
当时，，
∴坐标为：，
设F点坐标为，
①当，，时，
∵，，，根据平移的性质可得，
∴，
根据可得，
，
，
∴或；
②当， ，时，
∵，，，根据平移的性质可得，
∴，
根据，
，
解得：，
，，
综上所述M点坐标为：或或或．
【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线的解析式可得关于字母a、b的一个方程，再根据抛物线的对称轴直线公式可得一个关于字母a、b的二元一次方程，联立两方程，求解得到a、b的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）设，根据抛物线与坐标轴交点的坐标特点先求出B、C两点的坐标，根据点的坐标与图形性质求出点D的坐标，然后根据用m表示出面积，利用二次函数性质即可求出最大值，进而即可求出点P的坐标；
（3）根据平移性质“左移加，右移减，上移加，下移减”得到新的抛物线解析式并求出点坐标，设出坐标，根据菱形性质分①当，，时，②当， ，时，两种情况结合根据平移性质即可得到答案．
（1）解：由题意可得，
，
解得，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：设，由题意可得，
当时，，解得，，故，
当时，，故，
∵对称轴直线与轴交于点，
∴，
，
∵，
∴当时最大，最大值为，
当时，，
∴；
（3）解：由题意可得，B点移动到了O点，即函数向左平移了6个单位，
，
当时，，
∴坐标为：，
设F点坐标为，
当，，时，
∵，，，根据平移的性质可得，
∴，
根据可得，
，
，
∴或；
②当， ，时，
∵，，，根据平移的性质可得，
∴，
根据，
，
解得：，
，，
综上所述M点坐标为：或或或．
24．【答案】（1）解：如图1中，连接．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：如图2中，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①证明：如图3中，连接，延长交于点I．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
在中，，
∴
即，
∴，
又，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又，
∴，；
②的值 为：或.
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【解答】（3）②解：连接，．
∵，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，，设，
∴，
∴，
∵，
∴，
整理得，
∴或，
∴或．
【分析】（1）如图1中，连接CF，由等边对等角得，由同弧所对的圆周角相等得，进而根据角的构成可得答案；
（2）由等边对等角及同弧所对的圆周角相等得，结合公共角，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△EAF∽△FAC，由相似三角形对应边成比例可推出，结合已知得出BC=AF，由同圆中等弦所对的弧相等及等弧所对的圆周角相等可证明，根据三角形的内角和定理推出，可得结论；
（3）①如图3中，连接，延长交于点I．由已知易得，由等边对等角及同弧所对的圆周角相等得，由三角形内角和定理推出，从而根据圆周角定理推论得出是直径，，然后根据同旁内角互补两直线平行得AB∥CG，由二直线平行，内错角相等得，从而由ASA证明，得出，，，然后证明，由同位角相等，两直线平行得IG∥BC，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形是平行四边形，由平行四边形对边相等得IG=BC，可得结论；
②连接，．设，则，，设，利用勾股定理求出m，n之间的关系，可得结论．
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