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【北师大版九年级数学（下）单元测试卷】
第二章：二次函数
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．下列函数中，其图象是抛物线的是（ ）
A． B． C． D．
2．若函数是关于x的二次函数，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知抛物线的图象如图所示，则下列选项判断正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．已知点，，在抛物线上，则（ ）
A． B． C． D．
5．二次函数的图象如图所示，则点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．已知二次函数的图象经过点和，这个二次函数的表达式为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为．则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．抛物线与轴交于、两点（点在点的右侧），且与轴交于点，在直线上有一动点，若使的值最小，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形为正方形时，线段的长为（ ）
A．2 B． C． D．
10．对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，且）如图所示，以下结论：①，②，③，④，⑤当时，y随x的增大而减小，其中结论正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题：（每小题3分共15分）
11．若是关于的二次函数，则的值是 ．
12．二次函数与一次函数的图象如图所示，当时，自变量x的取值范围是 ．
13．如图，已知抛物线与直线相交于、两点，则关于x的不等式的解集是 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴只有一个交点，与平行于轴的直线交于A、B两点．若，则点到直线的距离为 ．
15．如图，在正方形中，点、的坐标分别是、，点在抛物线的图象上，则的值是 ．
三、解答题：（共55分）
16．（6分）已知函数（m是常数）．
(1)若该函数是一次函数，求m的值；
(2)若该函数是二次函数，求m的值．
17．（7分）已知二次函数．
(1)将用配方法化成的形式；
(2)请说明在对称轴左侧图象对应的函数值y随自变量x增大的变化趋势．
18．（8分）已知：二次函数的图象经过点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)将（1）中求得的函数解析式用配方法化成的形式．
19．（8分）如图，已知抛物线经过点和点，P为第二象限内抛物线上一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，，当时，求出点P的坐标．
20．（8分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D．
(1)求A，B，C，D四个点的坐标；
(2)若点在抛物线上，当时，直接写出m的取值范围．
21．（9分）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点；
(1)用配方法将二次函数化为的形式；
(2)观察图象，当时，直接写出的取值范围；
(3)设二次函数的图象的顶点为，求的面积．
22．（9分）【问题背景】
如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接．
【知识技能】
（1）求此抛物线的解析式．
【构建联系】
（2）在下方的抛物线上有一点，过点作轴，交于点，交轴于点，当点的坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？
（3）在轴上找一点，使得为等腰三角形，直接写出点的坐标．
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【北师大版九年级数学（下）单元测试卷】
第二章：二次函数
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．下列函数中，其图象是抛物线的是（ ）
A． B． C． D．
解：A、是二次函数，其图象是抛物线，故本选项符合题意；
B、是一次函数，其图象是直线，故本选项不符合题意；
C、是正比例函数，其图象是直线，故本选项不符合题意；
D、是反比例函数，其图象是双曲线，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．若函数是关于x的二次函数，则（ ）
A． B． C． D．
解：∵函数是关于x的二次函数，
∴，
解得，
故选：B．
3．已知抛物线的图象如图所示，则下列选项判断正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
解：∵抛物线开口方向向下，
∴，
∵抛物线与轴交于正半轴，
∴，
故选：．
4．已知点，，在抛物线上，则（ ）
A． B． C． D．
解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴点关于对称轴的对称点为，
∵，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵，
∴；
故选：C．
5．二次函数的图象如图所示，则点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：开口向下，
，
抛物线与轴交于正半轴，
，
对称轴在轴右侧，
，异号，
即，
，
点在第二象限．
故选：B．
6．已知二次函数的图象经过点和，这个二次函数的表达式为（ ）
A． B． C． D．
解：将和代入得：，
解得：，
∴这个二次函数的表达式为．
故选：C．
7．如图，为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为．则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
解：若设矩形小花园边的长为，则，
，
，
，
，则抛物线开口向下，
当时，取最大值，为，
故选：C．
8．抛物线与轴交于、两点（点在点的右侧），且与轴交于点，在直线上有一动点，若使的值最小，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
解：在中，当时，解得或，
∴，
当时，，
∴，
∵抛物线对称轴为直线，点D在直线上，
∴，
∴，
∴当B、C、D三点共线时，最小，即此时最小，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
在中，当时，，
∴，
故选C．
9．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形为正方形时，线段的长为（ ）
A．2 B． C． D．
解：代入到抛物线，得，
解得：，
抛物线解析式为：，
设E点坐标为，由抛物线的对称性得F点坐标为，
轴，
点坐标为，
四边形为正方形，
，
即，
解得：（舍去），
，．故选：D．
10．对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，且）如图所示，以下结论：①，②，③，④，⑤当时，y随x的增大而减小，其中结论正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
解：∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
∴，，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
，故①正确；
由函数图象可知，抛物线与x轴有两个不同交点，
，
，故②错误；
对称轴为直线，
∴当和时的函数值相等，且都小于0，
，故③错误；
④当时，，
∴， 故④正确；
⑤由图象可知，当时，y随x的增大而减小，故⑤正确，
正确的有①④⑤，共3个；
故选B．
二、填空题：（每小题3分共15分）
11．若是关于的二次函数，则的值是 ．
解：∵是关于的二次函数，
∴，
∴，
故答案为：2．
12．二次函数与一次函数的图象如图所示，当时，自变量x的取值范围是 ．
解：由图象可知，当时，或；
故答案为：或
13．如图，已知抛物线与直线相交于、两点，则关于x的不等式的解集是 ．
解：∵抛物线与直线交于、两点，
∴由函数图象可得，不等式的解集是或，
故答案为：或．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴只有一个交点，与平行于轴的直线交于A、B两点．若，则点到直线的距离为 ．
解：由题意知，当时，，该方程有两个相等的实数根，
∴，
设点M到直线l的距离为，则，，
当时，，、是该方程的两个根，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，即，
解得，，
∴点M到直线l的距离为．
故答案为：．
15．如图，在正方形中，点、的坐标分别是、，点在抛物线的图象上，则的值是 ．
解：作轴于，于，
四边形是正方形，
，，
，
，
又，
，
，，
设，
点、的坐标分别是、，
，解得，
，
在抛物线的图像上，
，
，
故答案为：．
三、解答题：（共55分）
16．（6分）已知函数（m是常数）．
(1)若该函数是一次函数，求m的值；
(2)若该函数是二次函数，求m的值．
（1）解：是一次函数，
且，
解得；
（2）解：是二次函数，
，
解得，
当时，，不符合题意，
．
17．（7分）已知二次函数．
(1)将用配方法化成的形式；
(2)请说明在对称轴左侧图象对应的函数值y随自变量x增大的变化趋势．
（1）解：
．
（2）解：∵，
∴在对称轴左侧，y随x的增大而减小．
18．（8分）已知：二次函数的图象经过点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)将（1）中求得的函数解析式用配方法化成的形式．
（1）解：∵二次函数的图象经过点，
∴把代入，得出，
解得，
∴；
（2）解：依题意，．
19．（8分）如图，已知抛物线经过点和点，P为第二象限内抛物线上一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，，当时，求出点P的坐标．
（1）解：将点和点代入，
得，解得．
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵，，
∴；
∵，
∴，即，
∴；
将代入得，，
解得或；
∵P为第二象限内抛物线上一点，
∴，
∴点P的坐标为．
20．（8分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D．
(1)求A，B，C，D四个点的坐标；
(2)若点在抛物线上，当时，直接写出m的取值范围．
解（1）当时，，
解得，
所以 ．
当时，，
所以．
因为，
所以．
（2）过点作平行于轴的直线交抛物线与点E，
令，则或，
故点，
点在抛物线上，当时
由图可知，抛物线在直线得下方图像上所有点的横坐标的范围为或，
故答案为：或
21．（9分）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点；
(1)用配方法将二次函数化为的形式；
(2)观察图象，当时，直接写出的取值范围；
(3)设二次函数的图象的顶点为，求的面积．
（1）解：，
；
（2）由（1）知，二次函数的顶点坐标为，
将代入，
得，
将代入，
得，
当时，的取值范围为；
（3）如图，设交轴于点，
由（1）知，二次函数的顶点坐标为，
二次函数的图象与轴交于、两点，
令，则，
解得：，，
，，
二次函数的图象与轴交于点，
令，得，
，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
令，则，
，
，
．
22．（9分）【问题背景】
如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接．
【知识技能】
（1）求此抛物线的解析式．
【构建联系】
（2）在下方的抛物线上有一点，过点作轴，交于点，交轴于点，当点的坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？
（3）在轴上找一点，使得为等腰三角形，直接写出点的坐标．
解：（1）∵
∴，，
把，代入，得，
，
解得，，
∴此抛物线的解析式为．
（2）设直线的解析式为，
把把，代入，得，
，
解得，
∴直线的解析式为；
设点的坐标为，则点，
∴
∴
∵，
∴有最大值，最大值为，此时点N的坐标为；
（3）∵
∴
如图，
当为底边时，点的坐标为；
当为腰时，点的坐标为或；
综上，为等腰三角形时，点的坐标为或或．
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