2024-2025学年山西省大同市高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年山西省大同市高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.下列关于，的关系中，是的函数的是( )
A. B.
C. D.
3.设，，则下列不等式中不正确的是( )
A. B. C. D.
4.如图是张大爷晨练时所走的离家距离与行走时间之间的函数关系图，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )
A. B. C. D.
5.已知命题：，，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6.设，若是的最小值，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.荀子日：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理．由此可得，“积跬步”是“至千里”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知正实数，满足，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若集合具有以下性质：集合中至少有两个元素；若，则，，且当时，，则称集合是“紧密集合”以下说法正确的是( )
A. 整数集是“紧密集合”
B. 实数集是“紧密集合”
C. “紧密集合”可以是有限集
D. 若集合是“紧密集合”，且，，则
10.一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”下列结论正确的是( )
A. 若为的“跟随区间”，则
B. 函数存在“跟随区间”
C. 若函数存在“跟随区间”，则
D. 二次函数存在“倍跟随区间”
三、填空题：本题共2小题，每小题4分，共8分。
11.已知二次函数的图像过原点，且，，则的取值范围是______．
12.已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为______．
四、解答题：本题共5小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.本小题分
已知，，求的值；
已知，求的值．
14.本小题分
已知函数，且．
求的值；
若，求实数的取值范围．
15.本小题分
设函数，．
当时，求的最大值和最小值；
若函数的最小值为，求．
16.本小题分
函数的定义域为，且满足对于任意，，有
求的值；
判断的奇偶性并证明你的结论；
如果，，且在上是增函数，求的取值范围．
17.本小题分
某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案，要求奖金单位：元随投资收益单位：万元的增加而增加，奖金不超过万元，同时奖金不超过投资收益的，即假定奖励方案模拟函数为时，该公司对函数模型的基本要求是：当时，是增函数；恒成立；恒成立．
现有两个奖励函数模型：Ⅰ；Ⅱ试分析这两个函数模型是否符合公司要求？
已知函数符合公司奖励方案函数模型要求，求实数的取值范围．
参考答案
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13.解：，，
；
，，
．
14.解：依题意，，即，
则；
由可知，，其定义域为，
显然在上是增函数，
由，可得，
解得，
所以实数的取值范围为．
15.解：当时，函数，
所以函数的最大值为，最小值为，
，当，即时，
此时在上单调递增，故当时，
分
当，即时，
此时在上单调递减，当时，
分
当，即时，
函数在时取得最小值．
即分
综上，．
16.解：对于任意，，有，
令，得，．
为偶函数．
证明：令，有，．
令，有，，为偶函数．
依题设有，由知，是偶函数，
又在上是增函数，
，解之得且，的取值范围是且．
17.解：对于函数Ⅰ，，即函数Ⅰ不符合条件，
函数不符合公司奖励方案函数模型的要求；
对于函数Ⅱ，，当时，是增函数，符合条件
且，
符合条件恒成立．
设，
，
当时，，得，
满足条件恒成立，
函数Ⅱ符合公司要求．
，函数满足条件，
由函数满足条件得：，解得，
由函数满足条件得，对恒成立，
即对恒成立，
，当且仅当，即时等号成立，
．
综上所述，实数的取值范围是
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