2024-2025学年四川省泸州市泸县五中高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年四川省泸州市泸县五中高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，，则( )
A. B. C. D.
2.方程组的解组成的集合为( )
A. B. C. D.
3.下列函数中，是偶函数且在区间上单调递减的是( )
A. B. C. D.
4.若，，，为实数，则下列命题正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，，则 D. 若，，则
5.已知函数，若，则( )
A. B. C. D.
6.已知命题：，，若命题是假命题，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.设函数的定义域为，满足，且当时，若对任意，都有成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设集合，且，则的值可以为( )
A. B. C. D.
10.下列四组函数中，不表示同一函数的一组是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
11.定义在上的函数满足，当时，，则函数满足( )
A. B. 是奇函数
C. 在上有最大值 D. 的解集为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，且，则的取值范围为______．
13.已知函数是偶函数，当时，，则当时， ______．
14.已知正数，满足，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设集合，，，求：
；
；
．
16.本小题分
已知二次函数满足，满足，且求：
函数的解析式；
函数在区间上的最大值和最小值．
17.本小题分
杭州亚运会田径比赛月日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以小时分秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段现一的复健马拉松运动员进行小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力表示该阶段所用时间，疲劳阶段由于体力消耗过大变为的减速运动表示该阶段所用时间疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力，已知该运动员初始体力为，不考虑其他因素，所用时间为单位：，请回答下列问题：
请写出该运动员剩余体力关于时间的函数；
该运动员在小时内何时体力达到最低值？最低值为多少？
18.本小题分
函数对任意实数，恒有，且当时，．
判断的奇偶性；
求证：是上的减函数；
若，解关于的不等式．
19.本小题分
若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是区间上的“阶自伴函数”；对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”．
判断是否为区间上的“阶自伴函数”？并说明理由；
若函数为区间上的“阶自伴函数”，求的值；
若是在区间上的“阶伴随函数”，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：集合，，，
由并集定义知：．
，．
，或，
．
16.解：，，
，
则，
又，
，即，
，
解得：，，
．
由知，
根据二次函数的性质可知：开口向上，对称轴为，
当时，有最小值，当时，有最大值，
区间上的最大值和最小值分别为和．
17.解：由题可先写出速度关于时间的函数，
代入与公式可得，
解得；
稳定阶段中，单调递减，此过程中的最小值；
疲劳阶段，
则有，
当且仅当，即时，“”成立，
所以疲劳阶段中体力最低值为，
由于，因此，在时，运动员体力有最小值．
18.解：由题意，函数对任意实数，恒有，
令得，解得：，
取，则由得，
，即，
函数是奇函数；
证明：任取，，且，则，
当时，，，
由得，
，
，
是上的减函数；
由得，
由得，
则，
不等式可化为，
是上的减函数，
，即．
当时，不等式式即为，解得：，即原不等式解集为；
当时，不等式式化为，即，
若，上式不等式即为，解得：，即原不等式解集为；
若，则，原不等式解集为；
若，则，原不等式解集为；
当时，不等式式化为，即，
，原不等式解集为；
综上，当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为．
19.解：不是，理由如下：
取，则，
由，可得，
此时无解，
所以不是区间上的“阶自伴函数”；
由题意可知，对任意的，总存在唯一的，使成立，
即对任意的，总存在唯一的，使成立，
又因为在上单调递减，
当时，，当时，，
因为对内的每一个，在内都存在唯一与之对应，且，
所以，
所以，即，
解得；
由题意可知，对任意的，总存在唯一的，使成立，
即对任意的，总存在唯一的，使成立，
因为，所以，
所以在上的值域包含且的值域在内对应的自变量是唯一的，
又，开口向上，对称轴，且，，
当时，在上单调递增，
所以，解得；
当时，在上单调递减，
所以，解得；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得；
综上所述，的取值范围为．
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