2024-2025学年河南省郑州市郑州外国语学校高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年河南省郑州外国语学校高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线过点，，且直线的倾斜角为，则( )
A. B. C. D.
2.无论为何值，直线过定点( )
A. B. C. D.
3.在棱长为的正方体中，为平面的中心，为的中点以为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线的一个方向向量( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，在直三棱柱中，，，，，则与所成的角的余弦值为( )
A. B. C. D.
5.已知双曲线经过点，则其标准方程为( )
A. B.
C. D. 或
6.已知椭圆：的离心率为，则( )
A. B. 或 C. 或 D.
7.已知直线：与：相交于，两点，若是直角三角形，则实数的值为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，若在上存在点不是顶点，使得，则的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.圆：和圆：的交点为，，则有( )
A. 公共弦所在直线方程为
B. 线段中垂线方程为
C. 公共弦的长为
D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为
10.已知正方体的棱长为，点满足，下列说法正确的是( )
A. 若，则与垂直
B. 三棱锥的体积恒为
C. 若，，平面与平面夹角的余弦值为
D. 若，，则点到平面的距离为
11.已知为坐标原点，点在抛物线：上，抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点点在点，的之间，则( )
A. 直线与抛物线相切
B.
C. 若是线段的中点，则
D. 存在直线，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若抛物线上一点与焦点的距离等于，则 ______．
13.设圆上有且仅有两个点到直线的距离等于，则圆半径的取值范围为______．
14.设，是半径为的球体表面上两定点，且，球体表面上动点满足，则点的轨迹长度为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线的方程为，若直线在轴上的截距为，且．
求直线和的交点坐标；
已知直线经过与的交点，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为，求直线的方程．
16.本小题分
已知圆：．
若线段端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程；
设点是直线：上的一点，过点作圆的切线，切点是，求的面积最小值以及此时点的坐标．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点．
证明：平面；
证明：平面平面；
求直线与平面所成角的大小．
18.本小题分
已知椭圆：和抛物线：从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录如下：，，，．
求椭圆和抛物线的方程；
设为实数，已知点，直线与抛物线交于，两点记直线，的斜率分别为，，判断是否为定值，并说明理由．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，过椭圆：外一动点作的两条切线，，且．
求动点的轨迹的方程；
对于给定非空点集，，若中的每个点在中都存在一个与它之间距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为已知直线与曲线相交于，两点，若，分别是线段和曲线上所有点构成的集合，为曲线上一点，当的面积最大时，求．
参考公式，四元均值不等式，，，，，当且仅当时取到等号．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：直线的方程为，故它的斜率为，
若直线在轴上的截距为，且，则直线的斜率为，
故直线在的方程为．
由，求得，可得直线和的交点坐标为
由题意，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为，
它与两坐标轴的交点为、，
且，．
根据直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为，
求得，
可得直线的方程为．
16.解：设，，
因为是中点，所以，即，
由在圆：上，所以，
整理得，即点的轨迹方程为．
设，由圆的几何性质可知，，
所以当时，最小，的面积取最小值．
又因为：，
所以直线的方程为则，
即点的坐标为此时的面积最小值为．
17.解：证明：连接交与，连接，如图所示：
，分别是边，的中点，
则为的中位线，
，
平面，平面，
平面．
证明：侧面底面，平面底面，
，平面，，
侧面是正三角形，是的中点，
，
，平面，平面，
平面，又平面，
平面平面；
过点作垂直于，侧面底面，平面底面，
平面，又底面是正方形，
在点建立空间直角坐标系，取的中点，
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
设底面正方形的边长为，
则，，，
易知为平面的法向量，
且，，
则，
直线与平面所成角的大小为．
18.解：将四个点代入抛物线方程解得，，，，
则，在抛物线上，
故抛物线方程为，
故，为椭圆上的点，
所以，
解得，
所以椭圆方程；
已知点，直线与抛物线交于，两点，
联立，
则，
设，，
所以，
则，
即为定值．
19.解：当，的斜率不存在或者为时，
由题意可知点的坐标为或；
当切线的斜率存在且不为时，设过作椭圆的切线的斜率为，
则切线的方程为，
联立，可得，
由题意，得，
设，的斜率分别为，，则，是式的两个根，且，
所以，则，又，则，
即，
注意到，均满足方程，
则动点的轨迹的方程为；
过圆心作直线的垂线，垂足为，
设，则，
由题意，
又，
当且仅当，即时，等号成立，
此时，
对于线段上的任何一个点，曲线上与距离最近的点为射线与圆的交点，
则距离的最小值为，
又因为，所以，
由题意得．
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