四川省广安友谊中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题（含答案）

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广安友谊中学高2022级高三上期10月月考
数学试题
注意事项:
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知全集，集合，，则如图中阴影部分表示集合为（）
A. B. C. D.
2. 已知复数z满足，则（）
A. B. C. D.
3. 已知，则的值是（　　）
A. B. C. D.
4. 某农业研究所对玉米幼穗的叶龄指数与可见叶片数进行分析研究，其关系可以用函数（为常数）表示．若玉米幼穗在伸长期可见叶片为7片，叶龄指数为30，则当玉米幼穗在四分体形成期叶龄指数为82.5时，可见叶片数约为（）（参考数据：，）
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
5. 已知正实数x，y满足，则的最小值为（　　）
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
6. 已知动点P在椭圆上，，则最小值为（　　）
A. 5 B. C. 2 D. 1
7. 在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，则“”是“”的（）
A充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 已知函数.若为奇函数，为偶函数，且在上没有最小值，则的最大值是（）
A2 B. 6 C. 10 D. 14
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 北京时间2024年7月27日，我国射击健将黄雨婷 李豪战胜韩国选手，摘夺了射击混合团体10米气步枪金牌，通过赛后数据记录得到其中一名选手的得分分别为，则（）
A. 该组数据的极差为25
B. 该组数据的分位数为19
C. 该组数据的平均数为17
D. 若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数可能相等
10. 数列是递增的等差数列，前项和为，满足，则下列选项正确的是（）
A. B.
C. D. 时，的最小值为
11. 已知函数，则（）
A. B. 在单调递增
C. 有最小值 D. 的最大值为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 一个扇形的面积为1，周长为4，则该扇形圆心角的弧度数为______．
13. 函数的图象在点处的切线方程为________．
14. 设，利用三角变换，计算当，的取值范围是_____，根据在时的取值情况，猜想当时，的取值范围是________．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 在中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且．
（1）求；
（2）若的面积是，，求的周长．
16. 在四棱锥中，平面ABCD，．
（1）证明：平面PAC；
（2）若Q为线段PC的中点，求平面PAD与平面QAD的夹角的余弦值．
17. 已知函数的部分图像如图所示．
（1）求函数的解析式及对称轴；
（2）先将的图象纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图象，求函数在上的单调递增区间．
18. 已知函数.
（1）当时，求的单调递减区间；
（2）若有两个极值点，（）
①求实数b的取值范围；
②证明：.
19. 设，数对按如下方式生成：，抛掷一枚均匀的硬币，当硬币的正面朝上时，若，则，否则；当硬币的反面朝上时，若，则，否则．抛掷n次硬币后，记的概率为．
（1）写出的所有可能情况，并求；
（2）证明：是等比数列，并求；
（3）设抛掷n次硬币后的期望为，求．
广安友谊中学高2022级高三上期10月月考
数学试题
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.
【答案】B
2.
【答案】B
3.
【答案】B
4.
【答案】C
5.
【答案】A
6.
【答案】D
7.
8.
【答案】B
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.
【答案】ACD
10.
【答案】AC
11.
【答案】ABD
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.
【答案】
13.【答案】
14.【答案】 ①. ②.
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再结合两角和的正弦公式求解；
（2）利用面积公式、余弦定理运算求解
【小问1详解】
由，可得到，
即．
因为，所以，故．
【小问2详解】
由，可得，
因为，所以，则．
由余弦定理得，即，
所以，故的周长是．
16.
【解析】
【分析】（1）由线面垂直的性质得，根据已知可得，再应用线面垂直的判定证结论；
（2）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值.
【小问1详解】
由平面ABCD，平面ABCD，则，
由，则，又，可得，
若为中点，连接，而，则，即为正方形，
所以，且，则，
综上，，即，
由都在面PAC内，所以平面PAC；
【小问2详解】
由题设，可构建如图示的空间直角坐标系，，
所以，则，
令是面QAD的一个法向量，则，
令，则，又是面PAD一个法向量，
所以面PAD与面QAD的夹角的余弦值.
17.
【解析】
【分析】（1）根据函数图象求参数，即可得解析式，根据正弦型函数性质求对称轴；
（2）根据图象平移写出解析式，结合正弦型函数性质求递增区间.
【小问1详解】
由图知：且，则，
所以，又，
即，，则，，
由，则，所以，
令，，即对称轴为，.
【小问2详解】
由题设，又，则，
显然或时，递增，
所以在、上单调递增；
综上，的增区间为、.
18
【解析】
【分析】（1）求出导函数，根据求解函数的减区间；
（2）①把函数有两个极值点转化为方程有两个不等正根，然后利用二次方程根的分布列方程组求解即可；
②把所证不等式作出变为，构造函数，利用导数研究函数单调性，求得函数最值即可证明.
【小问1详解】
当时，，的定义域为.
.
令，得.所以的单调递减区间为.
【小问2详解】
①，.
因为有两个极值点，，所以方程有两个不等正根，，
所以，解得.则实数b的取值范围为.
②证明：.
所以
令，下面证明，
求导得，显然在上单调递增.
因为，，且在上连续，
所以，函数存在唯一零点，即.
并且时，，时，，
所以.
因为，根据对勾函数的性质得在上单调递增，
则，
所以，所以.命题得证.
19.
【解析】
【分析】（1）列出所有和的情况，再利用古典概型公式计算即可；
（2）构造得，再利用等比数列公式即可；
（3）由（2）得，再分，和讨论即可.
【小问1详解】
当抛掷一次硬币结果为正时，；
当抛掷一次硬币结果为反时，.
当抛掷两次硬币结果为（正，正）时，；
当抛掷两次硬币结果为（正，反）时，；
当抛掷两次硬币结果为（反，正）时，；
当抛掷两次硬币结果为（反，反）时，.
所以，.
【小问2详解】
由题知，，
当，且掷出反面时，有，此时，
当，且掷出正面时，有，此时，
所以，
所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以.
【小问3详解】
设与的概率均为，
由(2)知，
显然，.
若，则，当下次投掷硬币为正面朝上时，，当下次投掷硬币为反面朝上时，;
若，则当下次投掷硬币为正面朝上时，，当下次投掷硬币为反面朝上时，;
若，则，
当下次投掷硬币为正面朝上时，，当下次投掷硬币为反面朝上时，.
所以时，期望不变，概率为;
时，期望加1，概率为.
所以.
故
.
经检验，当时也成立.
.
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