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2024年山东中考试题汇编—图形的变换
一．选择题（共20小题）
1．（2024 淄博）如图所示，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点M，N分别在边BC，AD上．连接MN，将四边形CMND沿MN翻折，点C，D分别落在点A，E处．则tan∠AMN的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【思路点拔】连接AC交MN于点F，设AB＝2m，则BC＝2AB＝4m，求得AC2m，因为点C与点A关于直线MN对称，所以AM＝CM，MN垂直平分AC，则AF＝CFm，由AB2+BM2＝AM2，得（2m）2+（4m﹣AM）2＝AM2，求得AMm，则MFm，所以tan∠AMN2，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接AC交MN于点F，设AB＝2m，则BC＝2AB＝4m，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴AC2m，
∵将四边形CMND沿MN翻折，点C，D分别落在点A，E处，
∴点C与点A关于直线MN对称，
∴AM＝CM，MN垂直平分AC，
∴BM＝BC﹣CM＝4m﹣AM，∠AFM＝90°，AF＝CFACm，
∵AB2+BM2＝AM2，
∴（2m）2+（4m﹣AM）2＝AM2，
∴AMm，
∴MFm，
∴tan∠AMN2，
故选：A．
2．（2024 滨州）数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”“黄金螺旋线”“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、是轴对称图形；
D、是轴对称图形；
故选：B．
3．（2024 威海）定义新运算：
①在平面直角坐标系中，{a，b}表示动点从原点出发，沿着x轴正方向（a≥0）或负方向（a＜0）平移|a|个单位长度，再沿着y轴正方向（b≥0）或负方向（b＜0）平移|b|个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着x轴负方向平移2个单位长度，再沿着y轴正方向平移1个单位长度，记作（﹣2，1）．
②加法运算法则：{a，b}+{c，d}＝{a+c，b+d}，其中a，b，c，d为实数．
若{3，5}+{m，n}＝{﹣1，2}，则下列结论正确的是（ ）
A．m＝2，n＝7 B．m＝﹣4，n＝﹣3 C．m＝4，n＝3 D．m＝﹣4，n＝3
【思路点拔】根据题中所给定义，建立关于m和n方程即可解决问题．
【解答】解：由题知，
3+m＝﹣1，5+n＝2，
解得m＝﹣4，n＝﹣3．
故选：B．
4．（2024 德州）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据中心对称图形的概念判断即可．
【解答】解：选项A、C、D的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项B的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：B．
5．（2024 淄博）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
6．（2024 青岛）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；据此进行判断即可．
【解答】解：A不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则A不符合题意；
B是轴对称图形，但它不是中心对称图形，则B不符合题意；
C不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则C不符合题意；
D既是轴对称图形，也是中心对称图形，则D符合题意；
故选：D．
7．（2024 潍坊）下列著名曲线中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据轴对称图形以及中心对称图形的定义即可得到答案．
【解答】解：A选项是轴对称图形不是中心对称图形，故选项A不符合题意；
B选项不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项B不符合题意；
C选项既是轴对称图形也是中心对称图形，故选项C符合题意；
D选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项D不符合题意；
故选：C．
8．（2024 泰安）下面图形中，中心对称图形的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拔】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：左起第四个图形不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形；
第一、第二和第三个图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形．
所以中心对称图形有3个．
故选：C．
9．（2024 山东）用一个平面截正方体，可以得到以下截面图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
10．（2024 日照）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔AB的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面119m的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为22°，再将无人机沿水平方向飞行74m到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为45°（点M，N，A，B在同一平面内），则潮汐塔AB的高度为（ ）
（结果精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）
A．41m B．42m C．48m D．51m
【思路点拔】延长BA交MN于点C，根据等角对等边得出CN的长，得出CM的长，再结合tan∠AMC0.40，即可得出结果．
【解答】解：如图，延长BA交MN于点C，
则∠ACN＝90°，
由题意可知，BC＝119m，MN＝74m，
∵∠BNC＝45°，∠BCN＝90°，
∴CN＝CB＝119m，
∴CM＝CN+MN＝119+74＝193（m），
∴tan∠AMC0.40，
∴AC≈77.2m，
∴AB＝BC﹣AC＝119﹣77.2＝41.8（m）≈42（m），
故选：B．
11．（2024 淄博）如图，在综合与实践活动课上，小强先测得教学楼在水平地面上的影长BC为35m．又在点C处测得该楼的顶端A的仰角是29°．则用科学计算器计算教学楼高度的按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【思路点拔】利用锐角三角函数的定义求出AB的长，则可得出答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝29°，BC＝35m，
∴tan∠ACB＝tan29°，
∴AB＝35×tan29°（m），
∴用科学计算器计算教学楼高度的按键顺序是35×tan29＝，
故选：A．
12．（2024 德州）如图所示几何体的左视图为（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据左视图是从左面看到的图形进行求解即可，用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．
【解答】解：从左边看，可得选项C的图形．
故选：C．
13．（2024 日照）如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体A放置到小正方体B的正上方，则它的三视图变化情况是（ ）
A．主视图会发生改变
B．左视图会发生改变
C．俯视图会发生改变
D．三种视图都会发生改变
【思路点拔】根据简单组合体的三视图的画法画出它们的三视图即可．
【解答】解：将小正方体A放置到小正方体B的正上方，则它的三视图变化的是主视图，
故选：A．
14．（2024 济南）黑陶是继彩陶之后中国新石器时代制陶工艺的又一个高峰，被誉为“土与火的艺术，力与美的结晶”．如图是山东博物馆收藏的蛋壳黑陶高柄杯．关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同
【思路点拔】根据三视图的定义求解即可．
【解答】解：这个几何体的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同．
故选：A．
15．（2024 潍坊）某厂家生产的海上浮漂的形状是中间穿孔的球体，如图1所示．该浮漂的俯视图是图2，那么它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据物体及其俯视图即可求解．
【解答】解：由图形可得，它的主视图如图所示：
，
故选：D．
16．（2024 东营）某几何体的俯视图如图所示，下列几何体（箭头所示为正面）的俯视图与其相同的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据俯视图是从物体上面看所得到的图形，对四个选项分别分析可得答案．
【解答】解：A、几何体的俯视图为：，不符合题意，故此选项错误；
B、几何体的俯视图为：，不符合题意，故此选项错误；
C、几何体的俯视图为：，符合题意，故此选项正确；
D、几何体的俯视图为：，不符合题意，故此选项错误．
故选：C．
17．（2024 山东）下列几何体中，主视图是如图的是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】从前面看到的图形是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左边看到的图形是左视图．能看到的线画实线，看不到的线画虚线．根据主视图是从正面看到的图形分析即可．
【解答】解：A．主视图是等腰三角形，不符合题意；
B．主视图是共底边的两个等腰三角形，故不符合题意；
C．主视图是上面三角形，下面半圆，故不符合题意；
D．主视图是上面等腰三角形，下面矩形，故符合题意；
故选：D．
18．（2024 威海）下列几何体都是由四个大小相同的小正方体搭成的．其中主视图、左视图和俯视图完全相同的是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：选项A的三视图均不相同，主视图底层是两个正方形，上层是两个正方形；主视图是一列两个正方形；俯视图是一行两个正方形，故选项A不符合题意；
选项B的主视图和俯视图相同，底层是两个正方形，上层的左边是一个正方形，左视图的底层是两个正方形，上层的右边是一个正方形，故选项B不符合题意；
选项C的主视图和俯视图相同，底层是两个正方形，上层的右边是一个正方形，左视图的底层是两个正方形，上层的左边是一个正方形，故选项C不符合题意；
选项D的三视图相同，均为底层是两个正方形，上层的左边是一个正方形，故选项D合题意；
故选：D．
19．（2024 烟台）如图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【思路点拔】根据从左边看得到的图形是左视图和轴对称图象与中心对称图形的定义，可得答案．
【解答】解：若取走标有①的小正方体，则左视图只有上下两个正方形，既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项A符合题意．
故选：A．
20．（2024 滨州）如图，一个三棱柱无论怎么摆放，其主视图不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据不同的摆放方式，进行判断．
【解答】解：∵三棱柱三个面分别为三角形，正方形，长方形，
∴无论怎么摆放，主视图不可能是圆形，
故选：A．
二．填空题（共12小题）
21．（2024 济南）如图，在矩形纸片ABCD中，，AD＝2，E为边AD的中点，点F在边CD上，连接EF，将△DEF沿EF翻折，点D的对应点为D′，连接BD′．若BD′＝2，则DF＝ ．
【思路点拔】连接BE，延长EF交BA的延长线于H，根据折叠的性质及矩形的性质，证明Rt△HAE≌Rt△EDF（ASA），进而得到△BED′为直角三角形，设∠DEF＝α，则∠AEH＝∠DEF＝α，∠DED′＝2α，证明△BHE为等腰三角形，求出AH，即可解答．
【解答】解：如图，连接BE，延长EF交BA的延长线于H，
∵矩形ABCD中，，AD＝2，E为边AD的中点，
∴AE＝DE＝1，∠BAE＝∠D＝90°，
∵将△DEF沿EF翻折，点D的对应点为D′，
∴ED＝ED′＝1，∠ED′F＝∠D＝90°，∠DEF＝∠D′EF，
则Rt△HAE≌Rt△EDF（ASA），DF＝AH，
∴BE，
∵BD′＝2，
∴，
∴△BED′为直角三角形，
设∠DEF＝α，则∠AEH＝∠DEF＝α，∠DED′＝2α，
∴∠AEB＝90°﹣2α，∠AHE＝90°﹣α，
∴∠HEB＝∠AHE＝90°﹣α，
∴△BHE为等腰三角形，
∴BH＝BE，
∴AH＝BH﹣AB，
∴DF＝AH，
故答案为：．
22．（2024 威海）将一张矩形纸片（四边形ABCD）按如图所示的方式对折，使点C落在AB上的点C′处，折痕为MN，点D落在点D′处，C′D′交AD于点E．若BM＝3，BC′＝4，AC′＝3，则DN＝ ．
【思路点拔】本题考查矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，先根据勾股定理求出 C′M＝CM＝5，然后证明△BC′M≌△AEC′，得到 BC'＝AE＝4，MC'＝CE＝5，即可得到DE＝4，D′E＝2，然后在Rt△D′EF 中，利用 NE2＝D'E2+D'N2 解题即可．
【解答】解：在 RtΔC'BM 中，，
由折叠可得 C′M＝CM＝5，∠D'C'M＝∠D'＝∠D＝∠C＝90°，
又∵ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴∠BC'M+∠AC'E＝∠AEC'+∠AC'E＝90°，
∴∠BC′M＝∠AEC′，
又∵AC′＝BM＝3，
∴△BC'M≌△AEC'（AAS），
∴BC'＝AE＝4，MC'＝CE＝5，
∴AB＝CD＝C′D′＝7，BC＝AD＝BM+CM＝3+5＝8，
∴DE＝AD﹣AE＝8﹣4＝4，D′E＝C′D′﹣C′E＝7﹣5＝2，
设DN＝DN＝α，则EN＝4﹣α，
在 Rt△D′EF 中，NE2＝D'E2+D'N2，即 （4﹣a）2＝a2+22，
解得：．
故答案为：
23．（2024 烟台）如图，在 ABCD中，∠C＝120°，AB＝8，BC＝10，E为边CD的中点，F为边AD上的一动点，将△DEF沿EF翻折得△D′EF，连接AD'，BD'，则△ABD′面积的最小值为 2016 ．
【思路点拔】先确定点D'是以E为圆心，CD为直径圆周上的一点，过点E作EH⊥AB交直线AB于点H，交⊙E于点G，过点D'作D'M⊥AB于点M，连接EM，推出△ABD′面积＝4D'M，再求出D'M的最小值即可解决问题．
【解答】解：∵在 ABCD中，∠C＝120°，AB＝8，
∴∠ABC＝60°，CD＝8，
∵E为边CD的中点，F为边AD上的一动点，将△DEF沿EF翻折得△D′EF，
∴D'E＝DE＝CECD＝4，
∴点D'是以E为圆心，CD为直径圆周上的一点，作出⊙E，如图，
过点E作EH⊥AB交直线AB于点H，交⊙E于点G，过点D'作D'M⊥AB于点M，连接EM，
∵△ABD′面积AB D'M，AB＝8，
∴△ABD′面积＝4D'M，
要求△ABD′面积的最小值，只要求D'M的最小值即可，
∵D'M＝D'M+D'E﹣4≥EM﹣4≥EH﹣4，
∴D'M的最小值为EH﹣4，
过点C作CN⊥AB于点N，
则EH＝CN，
在Rt△BCN中，
∵BC＝10，∠ABC＝60°，
∴CN＝BC sin60°＝105，
∴EH＝5，
∴D'M的最小值为54，
∴△ABD′面积＝4（54）＝2016，
故答案为：2016．
24．（2024 滨州）如图，四边形AOBC四个顶点的坐标分别是A（﹣1，3），O（0，0），B（3，﹣1），C（5，4），在该平面内找一点P，使它到四个顶点的距离之和PA+PO+PB+PC最小，则P点坐标为 （，） ．
【思路点拔】根据两点之间线段最短，连接OC和AB，它们的交点P即为所求，然后求出直线OC和直线AB的解析式，将它们联立方程组，求出方程组的解，即可得到点P的坐标．
【解答】解：连接OC、AB，交于点P，如图所示，
∵两点之间线段最短，
∴PO+PC的最小值就是线段OC的长，PA+PB的最小值就是线段AB的长，
∴到四个顶点的距离之和PA+PO+PB+PC最小的点就是点P，
设OC所在直线的解析式为y＝kx，AB所在直线的解析式为y＝ax+b，
∵点C（5，4）在直线OC上，点A（﹣1，3），B（3，﹣1）在直线AB上，
∴4＝5k，，
解得k，，
∴直线OC的解析式为yx，直线AB的解析式为y＝﹣x+2，
∴，
解得，
∴点P的坐标为（，），
故答案为：（，）．
25．（2024 淄博）如图，已知A，B两点的坐标分别为A（﹣3，1），B（﹣1，3），将线段AB平移得到线段CD．若点A的对应点是C（1，2），则点B的对应点D的坐标是 （3，4） ．
【思路点拔】由题意知，线段AB向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度得到线段CD，结合平移的性质可得答案．
【解答】解：∵点A（﹣3，1）的对应点是C（1，2），
∴线段AB向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度得到线段CD，
∴点B（﹣1，3）的对应点D的坐标为（3，4）．
故答案为：（3，4）．
26．（2024 东营）如图，将△DEF沿FE方向平移3cm得到△ABC，若△DEF的周长为24cm，则四边形ABFD的周长为 30 cm．
【思路点拔】根据平移的性质得到AD＝BE＝3cm，AB＝DE，再根据三角形的周长公式、四边形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：由平移的性质可知：AD＝BE＝3cm，AB＝DE，
∵△DEF的周长为24cm，
∴DE+EF+DF＝24cm，
∴四边形ABFD的周长＝AB+BE+EF+DF+AD＝24+3+3＝30（cm），
故答案为：30．
27．（2024 潍坊）如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点A的坐标为（0，4），点B，C均在x轴上．将△ABC绕顶点A逆时针旋转30°得到△AB′C′，则点C′的坐标为 ．
【思路点拔】作C′F⊥AO，求出OF，C'F的值即可得到答案．
【解答】解：作C′F⊥AO，交y轴于点F，
由题可得：OA＝4，
∵△ABC是等边三角形，AO⊥BC，
∴AO是∠BAC的角平分线，
∴∠OAC＝30°，
∴，
在Rt△AOC中，AO2+OC2＝AC2，
即，
解得，
∴，
，
，
∴，
故答案为：．
28．（2024 滨州）一副三角板如图1摆放，把三角板AOB绕公共顶点O顺时针旋转至图2，即AB∥OD时，∠1的大小为 75 °．
【思路点拔】根据旋转的性质可知：旋转后的三角形AOB和原来的△AOB一样，再根据平行线的性质，可以得到∠B＝∠BOD＝45°，然后根据三角板的特点，可知∠D＝30°，最后根据三角形外角的性质，即可求得∠1的度数．
【解答】解：由已知可得，
∠B＝45°，
∵AB∥OD，
∠B＝∠BOD＝45°，
由图可得，∠D＝30°，
∴∠1＝∠BOD+∠D＝45°+30°＝75°，
故答案为：75．
29．（2024 滨州）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上．添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是 ∠ADE＝∠C（答案不唯一） ．（写出一种情况即可）
【思路点拔】由相似三角形的判定方法，即可得到答案．
【解答】解：∵∠DAE＝∠BAC，
∴添加条件：∠ADE＝∠C（答案不唯一），判定△ADE∽△ACB，
故答案为：∠ADE＝∠C（答案不唯一）．
30．（2024 泰安）如图，AB是⊙O的直径，AH是⊙O的切线，点C为⊙O上任意一点，点D为的中点，连结BD交AC于点E，延长BD与AH相交于点F．若DF＝1，，则AE的长为 ．
【思路点拔】先证∠DAF＝∠ABD，从而求出AF，再证△ADE≌△ADF（ASA）即可得解．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AH是⊙O的切线，
∴∠BAF＝90°，
∴∠DAF＝∠ABD＝90°﹣∠DAB，
∴△DAF∽△DBA，
∴tanB，
∵DF＝1，
∴AD＝2，
∴AF，
∵点D为的中点，
∴，
∴∠ABD＝∠DAC＝∠DAF，
∵∠ADE＝∠ADF＝90°，
∴90°﹣∠DAE＝90°﹣∠DAF，
即∠AED＝∠AFD，
∴AE＝AF．
故答案为：．
31．（2024 济宁）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线．
（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F．
（2）以点A为圆心，BE长为半径画弧，交AC于点G．
（3）以点G为圆心，EF长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点H．
（4）画射线AH．
（5）以点B为圆心，BC长为半径画弧，交射线AH于点M．
（6）连接MC，MB．MB分别交AC，AD于点N，P．
根据以上信息，下面五个结论中正确的是 ①②⑤ .（只填序号）
①BD＝CD；②∠ABM＝15°③∠APN＝∠ANP；④；⑤MC2＝MN MB．
【思路点拔】根据等腰三角形的性质即可判断出①；过M作MK⊥BC于点K，证出四边形ADKM为矩形，即可通过边的比值关系求出∠MBK＝30°，即可求出∠ABM判断②；利用三角形外角和分别求出两个角的值进行
比较即可判断③；设AP＝x，则PD＝AD﹣x，用含x的式子分别表达出AM和AD的长度后即可判断④；判定出△BMC∽△CMN即可判断⑤．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴三角形ABC为等腰直角三角形，∠ABD＝∠ACD＝45°，
又∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD∠BAC90°＝45°，
∴∠ABD＝∠ACD＝∠BAD＝∠CAD＝45°，
∴BD＝AD＝DC，故①正确；
根据题意作图可得：∠MAC＝∠ABD＝45°，BM＝BC，
过M作MK⊥BC于点K，则∠MKB＝90°，如图：
∵AD是△ABC的角平分线，由三线合一可得：AD⊥BC，即∠ADC＝90°，
∵∠DAM＝∠DAC+∠MAC＝45°+45°＝90°，
∴∠DAM＝∠MKB＝∠ADC＝90°，
∴四边形ADKM为矩形，
∴MK＝ADBCBM，
∴∠MBK＝30°，
∴∠ABM＝∠ABD﹣∠MBK＝45°﹣30°＝15°，故②正确；
∵∠APN＝∠ABM+∠BAD＝15°+45°＝60°，∠ANP＝∠MBK+∠DAC＝30°+45°＝75°，
∴∠APN≠∠ANP，故③错误；
设AP＝x，则PD＝AD﹣x，
∵AM∥BC，
∴∠AMB＝∠MBC＝30°，
∴tan∠AMB＝tan30°，即AMx，
tan∠MBC＝tan30°，即AD，
∴1，故④错误；
添加解法：在Rt△MBC中，tan∠MBC，
∴（3）ADAM，
∴1，故④错误；
∵∠BMC＝∠BCM75°，
∵∠MNC＝∠ANP＝75°，
∴∠MNC＝∠BCM，
又∵∠BMC＝∠CMN，
∴△BMC∽△CMN，
∴MC：MN＝MB：MC，
∴MC2＝MN MB，故⑤正确；
综上所述，正确的有：①②⑤；
故答案为：①②⑤．
32．（2024 泰安）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度．他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机．如图，无人机在河上方距水面高60米的点P处测得瞭望台正对岸A处的俯角为50°，测得瞭望台顶端C处的俯角为63.6°，已知瞭望台BC高12米（图中点A，B，C，P在同一平面内）．那么大汶河此河段的宽AB为 74 米．（参考数据：sin40°，sin63.6°，tan50°，tan63.6°≈2）
【思路点拔】根据题干条件，要求AB，求出AE和BE即可，分别在两个直角三角形中去求即可．
【解答】解：由题知∠NPC＝∠PCF＝63.6°，∠MPA＝∠BAP＝50°，BC＝EF＝12m，PE＝60m，
∴PF＝PE﹣EF＝48m，
在Rt△PFC，tan63.6°2，
∴CF＝24m，
∴BE＝24m，
在Rt△APE中，tan50°，
∴AE＝50m，
∴AB＝AE+BE＝74m．
故答案为：74．
三．解答题（共10小题）
33．（2024 潍坊）如图，在矩形ABCD中，AB＞2AD，点E，F分别在边AB，CD上．将△ADF沿AF折叠，点D的对应点G恰好落在对角线AC上；将△CBE沿CE折叠，点B的对应点H恰好也落在对角线AC上．连接GE，FH．
求证：
（1）△AEH≌△CFG；
（2）四边形EGFH为平行四边形．
【思路点拔】（1）由矩形的性质可得AD＝BC，∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，即得∠EAH＝∠FCG，由折叠的性质可得AG＝AD，CH＝CB，∠CHE＝∠B＝90°，∠AGF＝∠D＝90°，即得CH＝AG，∠AHE＝∠CGF＝90°，进而得AH＝CG，即可由ASA证明△AEH≌△CFG；
（2）由（1）得∠AHE＝∠CGF＝90°，△AEH≌△CFG，即可得到EH∥FG，EH＝FG，进而即可求证．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，
∴∠EAH＝∠FCG，
由折叠可得，AG＝AD，CH＝CB，∠CHE＝∠B＝90°，∠AGF＝∠D＝90°，
∴CH＝AG，∠AHE＝∠CGF＝90°，
∴AH＝CG，
在△AEH和△CFG中，
，
∴△AEH≌△CFG（ASA）；
（2）由（1）知∠AHE＝∠CGF＝90°，△AEH≌△CFG，
∴EH∥FG，EH＝FG，
∴四边形EGFH为平行四边形．
34．（2024 德州）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D是AB上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段DC顺时针旋转120°得到线DE．
（1）如图1，当∠ACD＝15°时，求∠BDE的度数；
（2）如图2，连接BE，当0°＜∠ACD＜90°时，∠ABE的大小是否发生变化？如果不变，求∠ABE的度数；如果变化，请说明理由；
（3）如图3，点M在CD上，且CM：MD＝3：2，以点C为中心，将线CM逆时针转120°得到线段CN，连接EN，若AC＝4，求线段EN的取值范围．
【思路点拔】（1）可求得∠A＝30°，进而求得∠BDC，进一步得出结果；
（2）连接CE，可求得∠DEC＝∠ABC＝30°，从而得出△DOE∽△COB，从而，从而得出△COD∽△BOE，进而得出结果；
（3）可求得ECN＝90°，设CN＝CM＝3a，DM＝2a，DE＝CD＝5a，从而得出CECD＝5，从而EN2a，根据AC≤CD＜AC得出2≤5a＜4，进一步得出结果．
【解答】解：（1）∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝30°+15°＝45°，
∵线段DC顺时针旋转120°得到线DE，
∴∠CDE＝120°，
∴∠BDE＝∠CDE﹣∠BDC＝120°﹣45°＝75°；
（2）方法一，
如图1，
∠ABE的度数不变，理由如下：
连接CE，
∵线段DC顺时针旋转120°得到线DE，
∴∠CDE＝120°，CD＝DE，
∴∠DCE＝∠DEC＝30°，
∵AC＝BC，∠ACB＝120°，
∴∠ABC＝∠A＝30°，
∴∠DEC＝∠ABC，
∴点B、C、D、E共圆，
∴∠ABE＝∠DCE＝30°，
方法二，
如图1，
连接CE，
由上知：∠DEC＝∠ABC，
∵∠DOE＝∠BOC，
∴△DOE∽△COB，
∴，
∵∠COD＝∠BOE，
∴△COD∽△BOE，
∴∠ABE＝∠DCE＝30°；
（3）如图2，
连接CE，
由（2）知，
∠DCE＝30°，
∵线段CM时针转120°得到线段CN，
∴∠DCN＝120°，CN＝CM，
∴∠ECN＝∠DCN﹣∠DCE＝120°﹣30°＝90°，
设CN＝CM＝3a，DM＝2a，DE＝CD＝5a，
∴CECD＝5，
∴EN2a，
∵点D在AB上，
∴AC≤CD＜AC，
∴2≤5a＜4，
∴a，
∴EN．
35．（2024 东营）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝3．
（1）问题发现
如图1，将△CAB绕点C按逆时针方向旋转90°得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE的数量关系是 BE＝3AD ，AD与BE的位置关系是 AD⊥BE ；
（2）类比探究
将△CAB绕点C按逆时针方向旋转任意角度得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE的数量关系，位置关系与（1）中结论是否一致？若AD交CE于点N，请结合图2说明理由；
（3）迁移应用
如图3，将△CAB绕点C旋转一定角度得到△CDE，当点D落到AB边上时，连接BE，求线段BE的长．
【思路点拔】（1）由旋转的性质可得AC＝DC＝1，BC＝CE＝3，∠ECB＝∠ACD＝90°，由等腰直角三角形的性质可得AD，BE＝3，∠CAD＝∠ADC＝45°，∠CBE＝∠CEB＝45°，可证AD⊥BE；
（2）通过证明△BCE∽△ACD，可得，∠CDA＝∠CEB，可证BE＝3AD，AD⊥BE；
（3）由勾股定理可求AB的长，通过证明△ACN∽△ABC，可求AN的长，由等腰三角形的性质可求AD的长，即可求解．
【解答】解：（1）如图1，延长DA交BE于H，
∵将△CAB绕点C按逆时针方向旋转90°得到△CDE，
∴AC＝DC＝1，BC＝CE＝3，∠ECB＝∠ACD＝90°，
∴AD，BE＝3，∠CAD＝∠ADC＝45°，∠CBE＝∠CEB＝45°，
∴BE＝3AD，∠CAD＝∠EAH＝45°，
∴∠EHA＝90°，
∴AD⊥BE，
故答案为：BE＝3AD，AD⊥BE；
（2）线段AD与BE的数量关系，位置关系与（1）中结论一致，理由如下：
如图2，延长DA交BE于H，
∵将△CAB绕点C按逆时针方向旋转任意角度得到△CDE，
∴AC＝DC＝1，BC＝CE＝3，∠ECB＝∠ACD，
∴，
∴△BCE∽△ACD，
∴，∠CDA＝∠CEB，
∴BE＝3AD，
∵∠CEB+∠ENH＝∠CDA+∠CND＝90°，
∴∠EHD＝90°，
∴AD⊥BE；
（3）如图3，过点C作CN⊥AB于N，
∵∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝3，
∴AB，
∵CN⊥AB，
∴∠ANC＝90°＝∠ACB，
又∵∠A＝∠A，
∴△ACN∽△ABC，
∴，
∴AN 1，
∴AN，
∵AC＝DC，CN⊥AB，
∴AD＝2AN，
由（2）可知：BE＝3AD．
36．（2024 济宁）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（3，4），C（1，4）．
（1）将△ABC向下平移2个单位长度得△A1B1C1．画出平移后的图形，并直接写出点B1的坐标；
（2）将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°得△A2B1C2．画出旋转后的图形，并求点C1运动到点C2所经过的路径长．
【思路点拔】（1）根据平移的性质作图，即可得出答案．
（2）根据旋转的性质作图可得△A2B1C2；利用弧长公式计算即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
由图可得，点B1的坐标为（3，2）．
（2）如图，△A2B1C2即为所求．
点C1运动到点C2所经过的路径长为π．
37．（2024 泰安）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，点D，E分别在AB，CB上，DB＝EB，连结AE，CD，取AE中点F，连结BF．
（1）求证：CD＝2BF，CD⊥BF；
（2）将△DBE绕点B顺时针旋转到图2的位置．
①请直接写出BF与CD的位置关系： BF⊥CD ；
②求证：CD＝2BF．
【思路点拔】（1）证明△ABE≌△CBD（SAS）得出∠FAB＝∠BCD，再根据直角三角形斜边上得中线等于斜边的一半得出，再利用等角转化即可求证；
（2）①这一问主要是猜想，还需要利用第二问的思路去证明，先证△AGB≌△BDC得到∠ABG＝∠BCD＝∠BAN，再利用8字型得到∠ABC＝∠ANC＝90°，即可得证；②利用倍长中线证△AGF≌△EBF（SAS），再证△AGB≌△BDC（SAS），即可得证．
【解答】（1）证明：在△ABE和△CBD中，
∵AB＝BC，∠ABE＝∠CBD，BE＝BD，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD，∠FAB＝∠BCD．
∵F是Rt△ABE斜边AE的中点，
∴AE＝2BF，
∴CD＝2BF，
∵，
∴∠FAB＝∠FBA．
∴∠FBA＝∠BCD，
∵∠FBA+∠FBC＝90°，
∴∠FBC+∠BCD＝90°．
∴BF⊥CD；
（2）①BF⊥CD；
理由如下：延长BF到点G，使FG＝BF，连结AG．延长BE到M，使BE＝BM，连接AM并延长交CD于点N．
证△AGB≌△BDC（具体证法过程跟②一样）．
∴∠ABG＝∠BCD，
∵F是AE中点，B是EM中点，
∴BF是△ABM中位线，
∴BF∥AN，
∴∠ABG＝∠BAN＝∠BCD，
∴∠ABC＝∠ANC＝90°，
∴AN⊥CD，
∵BF∥AN，
∴BF⊥CD．
故答案为：BF⊥CD；
②证明：延长BF到点G，使FG＝BF，连结AG．
∵AF＝EF，FG＝BF，∠AFG＝∠EFB，
∴△AGF≌△EBF（SAS），
∴∠FAG＝∠FEB，AG＝BE．
∴AG∥BE．
∴∠GAB+∠ABE＝180°，
∵∠ABC＝∠EBD＝90°，
∴∠ABE+∠DBC＝180°，
∴∠GAB＝∠DBC．
∵BE＝BD，
∴AG＝BD．
在△AGB和△BDC中，
∵AG＝BD，∠GAB＝∠DBC，AB＝CB，
∴△AGB≌△BDC（SAS），
∴CD＝BG．
∵BG＝2BF，
∴CD＝2BF，
38．（2024 烟台）在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为直线BC上任意一点，连接AD．将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°得线段ED，连接BE．
【尝试发现】
（1）如图1，当点D在线段BC上时，线段BE与CD的数量关系为 ；
【类比探究】
（2）当点D在线段BC的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段BE与CD的数量关系并证明；
【联系拓广】
（3）若AC＝BC＝1，CD＝2，请直接写出sin∠ECD的值．
【思路点拔】（1）过点E作EM⊥CB延长线于点M，利用一线三垂直全等模型证明△ACD≌△DME，再证明BM＝EM即可；
（2）同（1）中方法证明△ACD≌△DME，再证明BM＝EM即可；
（3）过点E作EM⊥CB，求出EM，CE即可．
【解答】解：（1）如图，过点E作EM⊥CB延长线于点M，
由旋转得AD＝DE，∠ADE＝90°，
∴∠ADC+∠EDM＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠DME，∠ADC+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠EDM，
∴△ACD≌△DME（AAS），
∴CD＝EM，AC＝DM，
∵AC＝BC，
∴BM＝DM﹣BD＝AC﹣BD＝BC﹣BD＝CD，
∴BM＝EM，
∵EM⊥CB，
∴，
故答案为：；
（2）补全图形如图，，理由如下：
过点E作EM⊥BC于点M，
由旋转得AD＝DE，∠ADE＝90°，
∴∠ADC+∠EDM＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠DME，∠ADC+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠EDM，
∴△ACD≌△DME（AAS），
∴CD＝EM，AC＝DM，
∵AC＝BC，
∴DM＝BC，
∴DM﹣CM＝BC﹣CM，
∴CD＝BM，
∴EM＝BM，
∵EM⊥CB，
∴；
（3）如图，当点D在CB延长线上时，过点E作EM⊥CB延长线于点M，
由（2）得DM＝AC＝1，EM＝CD＝2，
∴CM＝CD+DM＝3，
∴，
∴；
当点D在BC延长线上时，过点E作EM⊥CB于点M，
同理可得：△ACD≌△DME，
∴DM＝AC＝1，ME＝CD＝2，
∴CM＝2﹣1＝1，
∴CE，
∴sin∠ECD，
综上，sin∠ECD或．
39．（2024 烟台）根据收集的素材，探索完成任务．
探究太阳能热水器的安装
素材一 太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装．
素材二 某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时，14°≤α≤29°；夏至日时，43°≤α≤76°． sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25 sin29°≈0.48，cos29°≈0.87，tan29°≈0.55 sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°＝0.94 sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01
素材三 如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼AB共11层，乙楼CD共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米．AE为某时刻的太阳光线．
问题解决
任务一 确定使用数据 要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择 冬至 日（填冬至或夏至）时，α为 29° （填14°，29°，43°，76°中的一个）进行计算．
任务二 探究安装范围 利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器．
【思路点拔】任务一：根据题意直接求解即可；
任务二：过E作EF⊥AB于F，利用正切定义求得．
【解答】解：任务一：根据题意，要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，只需α为冬至日时的最小角度，即α＝29°，
故答案为：冬至，29°；
任务二：过E作EF⊥AB于F，则∠AFE＝90°，EF＝54米，BF＝DE，
在Rt△AFE中，，
∴AF＝EF tan14°≈54×0.25＝13.5（米），
∵AB＝11×3.3＝36.3（米），
∴DE＝BF＝AB﹣AF＝36.3﹣13.5＝22.8（米），
∴22.8÷3.3≈7（层），
答：乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能热水器．
40．（2024 威海）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角．测量报告如下表（尚不完整）．
课题 测量某护堤石坝与地平面的倾斜角
成员 组长：××× 组员：×××，×××，×××
测量工具 竹竿，米尺
测量示意图 说明：AC是一根笔直的竹竿．点D是竹竿上一点，线段DE的长度是点D到地面的距离．∠α是要测量的倾斜角
测量数据
…… ……
（1）设AB＝a，BC＝b，AC＝c，CE＝d，DE＝e，CD＝f，BE＝g，AD＝h，请根据表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏．
（2）根据（1）中选择的数据，写出求∠α 的一种三角函数值的推导过程．
（3）假设sinα≈0.86，cosα≈0.52，tanα≈1.66，根据（2）中的推导结果，利用计算器求出∠α的度数．你选择的按键顺序为 ① ．
【思路点拔】（1）根据题意选择需要的数据即可；
（2）过点A作AM⊥CB于点M，可得△CDE∽ΔCAM，得到，即得，得到，再根据正弦的定义即可求解；
（3）根据（2）的结果即可求解．
【解答】解：（1）需要的数据为：AB＝a，AC＝c，DE＝e，CD＝f；
（2）过点A作AM⊥CB于点M，则∠AMB＝90°，
∵DE⊥CB，
∴DE∥AM，
∴△CDE∽△CAM，
∴，即，
∴，
∴；
（3）∵，
∴按键顺序为2ndF，sin，0， ，8，6，＝，
故答案为：①．
41．（2024 济南）城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便．某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表：
综合实践活动记录表
活动内容 测量轻轨高架站的相关距离
测量工具 测倾器，红外测距仪等
过程资料 轻轨高架站示意图 相关数据及说明：图中点A，B，C，D，E，F在同一平面内，房顶AB，吊顶CF和地面DE所在的直线都平行，点F在与地面垂直的中轴线AE上，∠BCD＝98°，∠CDE＝97°，AE＝8.5m，CD＝6.7m．
成果梳理 …
请根据记录表提供的信息完成下列问题：
（1）求点C到地面DE的距离；
（2）求顶部线段BC的长．
（结果精确到0.01m，参考数据：sin15°≈0.259，cos15°≈0.966，tan15°≈0.268，sin83°≈0.993，cos83°≈0.122，tan83°≈8.144）
【思路点拔】（1）如图，过点C作CN⊥ED，交ED的延长线于点N，垂足为N，由∠CDE＝97°，得到∠CDN＝83°，根据三角函数的定义得到结论；
（2）如图，过点B作BP⊥CF，垂足为P，根据平行线的性质得到∠FCD＝∠CDN＝83°，求得∠BCP＝∠BCD﹣∠FCD＝15°，根据平行线间的距离处处相等，得到EF＝CN＝6.65，求得BP＝AF＝AE﹣EF＝8.5﹣6.65＝1.85，根据三角函数的定义得到结论．
【解答】解：（1）如图，过点C作CN⊥ED，交ED的延长线于点N，垂足为N，
∵∠CDE＝97°，
∴∠CDN＝83°，
在Rt△CDN中，，CD＝6.7m，
∴CN＝CDsin83°＝6.7×0.993≈6.65（m），
答：点C到地面DE的距离为6.65m；
（2）如图，过点B作BP⊥CF，垂足为P，
∵CF∥DE，
∴∠FCD＝∠CDN＝83°，
∵∠BCD＝98°，
∴∠BCP＝∠BCD﹣∠FCD＝15°，
∵平行线间的距离处处相等，
∴EF＝CN＝6.65m，
∵AE＝8.5m，
∴BP＝AF＝AE﹣EF＝8.5﹣6.65＝1.85，
在Rt△BCP中，
∴（m），
答：顶部线段BC的长为7.14m．
42．（2024 青岛）“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题．
方案名称 滑梯安全改造
测量工具 测角仪、皮尺等
方案设计 如图，将滑梯顶端BC拓宽为BE，使CE＝1m，并将原来的滑梯CF改为EG．（图中所有点均在同一平面内，点B，C，E在同一直线上，点A，D，F，G在同一直线上）
测量数据 【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度CD＝1.8m； 【步骤二】在点F处用测角仪测得∠CFD＝42°； 【步骤三】在点G处用测角仪测得∠EGD＝32°.
解决问题 调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求FG的长）
（参考数据：sin32°，cos32°，tan32°，sin42°，cos42°，tan42°）
【思路点拔】过点E作EH⊥AG于H，根据正切的定义分别求出DF、HG，进而求出FG．
【解答】解：如图，过点E作EH⊥AG于H，
则四边形CDHE为矩形，
∴EH＝CD＝1.8m，DH＝CE＝1m，
在Rt△CDF中，∠CFD＝42°，CD＝1.8m，
则DF2（m），
∴HF＝DF﹣DH＝2﹣1＝1（m），
在Rt△EHG中，∠EGH＝32°，EH＝1.8m，
则HG2.88（m），
∴FG＝HG﹣HF＝1.88（m），
答：调整后的滑梯会多占约为1.88m的一段地面．中小学教育资源及组卷应用平台
2024年山东中考试题汇编—图形的变换
一．选择题（共20小题）
1．（2024 淄博）如图所示，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点M，N分别在边BC，AD上．连接MN，将四边形CMND沿MN翻折，点C，D分别落在点A，E处．则tan∠AMN的值是（ ）
A．2 B． C． D．
2．（2024 滨州）数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”“黄金螺旋线”“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024 威海）定义新运算：
①在平面直角坐标系中，{a，b}表示动点从原点出发，沿着x轴正方向（a≥0）或负方向（a＜0）平移|a|个单位长度，再沿着y轴正方向（b≥0）或负方向（b＜0）平移|b|个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着x轴负方向平移2个单位长度，再沿着y轴正方向平移1个单位长度，记作（﹣2，1）．
②加法运算法则：{a，b}+{c，d}＝{a+c，b+d}，其中a，b，c，d为实数．
若{3，5}+{m，n}＝{﹣1，2}，则下列结论正确的是（ ）
A．m＝2，n＝7 B．m＝﹣4，n＝﹣3 C．m＝4，n＝3 D．m＝﹣4，n＝3
4．（2024 德州）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024 淄博）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024 青岛）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024 潍坊）下列著名曲线中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024 泰安）下面图形中，中心对称图形的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2024 山东）用一个平面截正方体，可以得到以下截面图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024 日照）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔AB的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面119m的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为22°，再将无人机沿水平方向飞行74m到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为45°（点M，N，A，B在同一平面内），则潮汐塔AB的高度为（ ）
（结果精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）
A．41m B．42m C．48m D．51m
11．（2024 淄博）如图，在综合与实践活动课上，小强先测得教学楼在水平地面上的影长BC为35m．又在点C处测得该楼的顶端A的仰角是29°．则用科学计算器计算教学楼高度的按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2024 德州）如图所示几何体的左视图为（ ）
A． B．
C． D．
13．（2024 日照）如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体A放置到小正方体B的正上方，则它的三视图变化情况是（ ）
A．主视图会发生改变
B．左视图会发生改变
C．俯视图会发生改变
D．三种视图都会发生改变
14．（2024 济南）黑陶是继彩陶之后中国新石器时代制陶工艺的又一个高峰，被誉为“土与火的艺术，力与美的结晶”．如图是山东博物馆收藏的蛋壳黑陶高柄杯．关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同
15．（2024 潍坊）某厂家生产的海上浮漂的形状是中间穿孔的球体，如图1所示．该浮漂的俯视图是图2，那么它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
16．（2024 东营）某几何体的俯视图如图所示，下列几何体（箭头所示为正面）的俯视图与其相同的是（ ）
A． B．
C． D．
17．（2024 山东）下列几何体中，主视图是如图的是（ ）
A． B． C． D．
18．（2024 威海）下列几何体都是由四个大小相同的小正方体搭成的．其中主视图、左视图和俯视图完全相同的是（ ）
A． B． C． D．
19．（2024 烟台）如图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（ ）
A．① B．② C．③ D．④
20．（2024 滨州）如图，一个三棱柱无论怎么摆放，其主视图不可能是（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共12小题）
21．（2024 济南）如图，在矩形纸片ABCD中，，AD＝2，E为边AD的中点，点F在边CD上，连接EF，将△DEF沿EF翻折，点D的对应点为D′，连接BD′．若BD′＝2，则DF＝ ．
22．（2024 威海）将一张矩形纸片（四边形ABCD）按如图所示的方式对折，使点C落在AB上的点C′处，折痕为MN，点D落在点D′处，C′D′交AD于点E．若BM＝3，BC′＝4，AC′＝3，则DN＝ ．
23．（2024 烟台）如图，在 ABCD中，∠C＝120°，AB＝8，BC＝10，E为边CD的中点，F为边AD上的一动点，将△DEF沿EF翻折得△D′EF，连接AD'，BD'，则△ABD′面积的最小值为 ．
24．（2024 滨州）如图，四边形AOBC四个顶点的坐标分别是A（﹣1，3），O（0，0），B（3，﹣1），C（5，4），在该平面内找一点P，使它到四个顶点的距离之和PA+PO+PB+PC最小，则P点坐标为 ．
25．（2024 淄博）如图，已知A，B两点的坐标分别为A（﹣3，1），B（﹣1，3），将线段AB平移得到线段CD．若点A的对应点是C（1，2），则点B的对应点D的坐标是 ．
26．（2024 东营）如图，将△DEF沿FE方向平移3cm得到△ABC，若△DEF的周长为24cm，则四边形ABFD的周长为 cm．
27．（2024 潍坊）如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点A的坐标为（0，4），点B，C均在x轴上．将△ABC绕顶点A逆时针旋转30°得到△AB′C′，则点C′的坐标为 ．
28．（2024 滨州）一副三角板如图1摆放，把三角板AOB绕公共顶点O顺时针旋转至图2，即AB∥OD时，∠1的大小为 °．
29．（2024 滨州）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上．添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是 ．（写出一种情况即可）
30．（2024 泰安）如图，AB是⊙O的直径，AH是⊙O的切线，点C为⊙O上任意一点，点D为的中点，连结BD交AC于点E，延长BD与AH相交于点F．若DF＝1，，则AE的长为 ．
31．（2024 济宁）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线．
（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F．
（2）以点A为圆心，BE长为半径画弧，交AC于点G．
（3）以点G为圆心，EF长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点H．
（4）画射线AH．
（5）以点B为圆心，BC长为半径画弧，交射线AH于点M．
（6）连接MC，MB．MB分别交AC，AD于点N，P．
根据以上信息，下面五个结论中正确的是 .（只填序号）
①BD＝CD；②∠ABM＝15°③∠APN＝∠ANP；④；⑤MC2＝MN MB．
32．（2024 泰安）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度．他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机．如图，无人机在河上方距水面高60米的点P处测得瞭望台正对岸A处的俯角为50°，测得瞭望台顶端C处的俯角为63.6°，已知瞭望台BC高12米（图中点A，B，C，P在同一平面内）．那么大汶河此河段的宽AB为 米．（参考数据：sin40°，sin63.6°，tan50°，tan63.6°≈2）
三．解答题（共10小题）
33．（2024 潍坊）如图，在矩形ABCD中，AB＞2AD，点E，F分别在边AB，CD上．将△ADF沿AF折叠，点D的对应点G恰好落在对角线AC上；将△CBE沿CE折叠，点B的对应点H恰好也落在对角线AC上．连接GE，FH．
求证：
（1）△AEH≌△CFG；
（2）四边形EGFH为平行四边形．
34．（2024 德州）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D是AB上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段DC顺时针旋转120°得到线DE．
（1）如图1，当∠ACD＝15°时，求∠BDE的度数；
（2）如图2，连接BE，当0°＜∠ACD＜90°时，∠ABE的大小是否发生变化？如果不变，求∠ABE的度数；如果变化，请说明理由；
（3）如图3，点M在CD上，且CM：MD＝3：2，以点C为中心，将线CM逆时针转120°得到线段CN，连接EN，若AC＝4，求线段EN的取值范围．
35．（2024 东营）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝3．
（1）问题发现
如图1，将△CAB绕点C按逆时针方向旋转90°得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE的数量关系是 ，AD与BE的位置关系是 ；
（2）类比探究
将△CAB绕点C按逆时针方向旋转任意角度得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE的数量关系，位置关系与（1）中结论是否一致？若AD交CE于点N，请结合图2说明理由；
（3）迁移应用
如图3，将△CAB绕点C旋转一定角度得到△CDE，当点D落到AB边上时，连接BE，求线段BE的长．
36．（2024 济宁）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（3，4），C（1，4）．
（1）将△ABC向下平移2个单位长度得△A1B1C1．画出平移后的图形，并直接写出点B1的坐标；
（2）将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°得△A2B1C2．画出旋转后的图形，并求点C1运动到点C2所经过的路径长．
37．（2024 泰安）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，点D，E分别在AB，CB上，DB＝EB，连结AE，CD，取AE中点F，连结BF．
（1）求证：CD＝2BF，CD⊥BF；
（2）将△DBE绕点B顺时针旋转到图2的位置．
①请直接写出BF与CD的位置关系： ；
②求证：CD＝2BF．
38．（2024 烟台）在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为直线BC上任意一点，连接AD．将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°得线段ED，连接BE．
【尝试发现】
（1）如图1，当点D在线段BC上时，线段BE与CD的数量关系为 ；
【类比探究】
（2）当点D在线段BC的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段BE与CD的数量关系并证明；
【联系拓广】
（3）若AC＝BC＝1，CD＝2，请直接写出sin∠ECD的值．
39．（2024 烟台）根据收集的素材，探索完成任务．
探究太阳能热水器的安装
素材一 太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装．
素材二 某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时，14°≤α≤29°；夏至日时，43°≤α≤76°． sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25 sin29°≈0.48，cos29°≈0.87，tan29°≈0.55 sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°＝0.94 sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01
素材三 如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼AB共11层，乙楼CD共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米．AE为某时刻的太阳光线．
问题解决
任务一 确定使用数据 要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择 日（填冬至或夏至）时，α为 （填14°，29°，43°，76°中的一个）进行计算．
任务二 探究安装范围 利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器．
40．（2024 威海）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角．测量报告如下表（尚不完整）．
课题 测量某护堤石坝与地平面的倾斜角
成员 组长：××× 组员：×××，×××，×××
测量工具 竹竿，米尺
测量示意图 说明：AC是一根笔直的竹竿．点D是竹竿上一点，线段DE的长度是点D到地面的距离．∠α是要测量的倾斜角
测量数据
…… ……
（1）设AB＝a，BC＝b，AC＝c，CE＝d，DE＝e，CD＝f，BE＝g，AD＝h，请根据表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏．
（2）根据（1）中选择的数据，写出求∠α 的一种三角函数值的推导过程．
（3）假设sinα≈0.86，cosα≈0.52，tanα≈1.66，根据（2）中的推导结果，利用计算器求出∠α的度数．你选择的按键顺序为 ．
41．（2024 济南）城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便．某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表：
综合实践活动记录表
活动内容 测量轻轨高架站的相关距离
测量工具 测倾器，红外测距仪等
过程资料 轻轨高架站示意图 相关数据及说明：图中点A，B，C，D，E，F在同一平面内，房顶AB，吊顶CF和地面DE所在的直线都平行，点F在与地面垂直的中轴线AE上，∠BCD＝98°，∠CDE＝97°，AE＝8.5m，CD＝6.7m．
成果梳理 …
请根据记录表提供的信息完成下列问题：
（1）求点C到地面DE的距离；
（2）求顶部线段BC的长．
（结果精确到0.01m，参考数据：sin15°≈0.259，cos15°≈0.966，tan15°≈0.268，sin83°≈0.993，cos83°≈0.122，tan83°≈8.144）
42．（2024 青岛）“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题．
方案名称 滑梯安全改造
测量工具 测角仪、皮尺等
方案设计 如图，将滑梯顶端BC拓宽为BE，使CE＝1m，并将原来的滑梯CF改为EG．（图中所有点均在同一平面内，点B，C，E在同一直线上，点A，D，F，G在同一直线上）
测量数据 【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度CD＝1.8m； 【步骤二】在点F处用测角仪测得∠CFD＝42°； 【步骤三】在点G处用测角仪测得∠EGD＝32°.
解决问题 调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求FG的长）
（参考数据：sin32°，cos32°，tan32°，sin42°，cos42°，tan42°）
