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2024年中考山东试题汇编—函数
一.选择题(共13小题)
1.(2024 济南)如图1,△ABC是等边三角形,点D在边AB上,BD=2,动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发,沿折线BC﹣CA匀速运动,到达点A后停止,连接DP.设点P的运动时间为t(s),DP2为y.当动点P沿BC匀速运动到点C时,y与t的函数图象如图2所示.有以下四个结论:①AB=3;②当t=5时,y=1;③当4≤t≤6时,1≤y≤3;④动点P沿BC﹣CA匀速运动时,两个时刻t1,t2(t1<t2)分别对应y1和y2,若t1+t2=6,则y1>y2.其中正确结论的序号是( )
A.①②③ B.①② C.③④ D.①②④
2.(2024 烟台)如图,水平放置的矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,菱形EFGH的顶点E,G在同一水平线上,点G与AB的中点重合,EF=2cm,∠E=60°,现将菱形EFGH以1cm/s的速度沿BC方向匀速运动,当点E运动到CD上时停止.在这个运动过程中,菱形EFGH与矩形ABCD重叠部分的面积S(cm2)与运动时间t(s)之间的函数关系图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
3.(2024 淄博)某日,甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼.两人都从A地匀速出发,甲健步走向B地.途中偶遇一位朋友,驻足交流10min后,继续以原速步行前进;乙因故比甲晚出发30min,跑步到达B地后立刻以原速返回,在返回途中与甲第二次相遇.如图表示甲、乙两人之间的距离y(m)与甲出发的时间x(min)之间的函数关系.
那么以下结论:
①甲、乙两人第一次相遇时,乙的锻炼用时为20min;
②甲出发86min时,甲、乙两人之间的距离达到最大值3600m;
③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后100min;
④A,B两地之间的距离是11200m.
其中正确的结论有( )
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
4.(2024 威海)同一条公路连接A,B,C三地,B地在A,C两地之间.甲、乙两车分别从A地、B地同时出发前往C地.甲车速度始终保持不变,乙车中途休息一段时间,继续行驶.如图表示甲、乙两车之间的距离y(km)与时间x(h)的函数关系.下列结论正确的是( )
A.甲车行驶h与乙车相遇
B.A,C两地相距220km
C.甲车的速度是70km/h
D.乙车中途休息36分钟
5.(2024 德州)如图,点A,C在反比例函的图象上,点B,D在反比例函数的图象上,AB∥CD∥y轴,若AB=3,CD=2,AB与CD的距离为5,则a﹣b的值为( )
A.﹣2 B.1 C.5 D.6
6.(2024 德州)已知P(x1,y1),Q(x2,y2)是某函数图象上的两点,当1<x2<x1<2时,y2﹣y1<0.该函数的解析式可能是( )
A.y=﹣2x B.
C.y=x2﹣x﹣1 D.y=﹣x2﹣2x+1
7.(2024 淄博)如图所示,正方形ABCD与AEFG(其中边BC,EF分别在x,y轴的正半轴上)的公共顶点A在反比例函数y的图象上,直线DG与x,y轴分别相交于点M,N.若这两个正方形的面积之和是,且MD=4GN.则k的值是( )
A.5 B.1 C.3 D.2
8.(2024 济宁)已知点A(﹣2,y1),B(﹣1,y2),C(3,y3)在反比例函数y(k<0)的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是( )
A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3 C.y3<y1<y2 D.y3<y2<y1
9.(2024 滨州)点M(x1,y1)和点N(x2,y2)在反比例函数y为常数)的图象上,若x1<0<x2,则y1,y2,0的大小关系为( )
A.y1<y2<0 B.y1>y2>0 C.y1<0<y2 D.y1>0>y2
10.(2024 青岛)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,对称轴是直线x=﹣1,则过点M(c,2a﹣b)和点N(b2﹣4ac,a﹣b+c)的直线一定不经过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
11.(2024 日照)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分如图所示,该函数图象经过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2.对于下列结论:①abc<0;②a+c=b;③多项式ax2+bx+c可因式分解为(x+1) (x﹣5);④当m>﹣9a时,关于x的方程ax2+bx+c=m无实数根.其中正确的个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
12.(2024 东营)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A.abc<0
B.a﹣b=0
C.3a﹣c=0
D.am2+bm≤a﹣b(m为任意实数)
13.(2024 泰安)如图所示是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象,该函数图象的对称轴是直线x=1,图象与y轴交点的纵坐标是2.则下列结论:①2a+b=0;②方程ax2+bx+c=0一定有一个根在﹣2和﹣1之间;③方程ax2+bx+c0一定有两个不相等的实数根;④b﹣a<2.其中,正确结论的个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二.多选题(共1小题)
(多选)14.(2024 潍坊)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1,且抛物线与x轴的一个交点坐标是(4,0).下列结论正确的有( )
A.a﹣b+c>0
B.该抛物线与x轴的另一个交点坐标是(﹣3,0)
C.若点(﹣1,y1)和(2,y2)在该抛物线上,则y1<y2
D.对任意实数n,不等式an2+bn≤a+b总成立
三.填空题(共14小题)
15.(2024 潍坊)请写出同时满足以下两个条件的一个函数: .
①y随着x的增大而减小;②函数图象与y轴正半轴相交.
16.(2024 滨州)若函数的解析式在实数范围内有意义,则自变量x的取值范围是 .
17.(2024 山东)任取一个正整数,若是奇数,就将该数乘3再加上1;若是偶数,就将该数除以2.反复进行上述两种运算,经过有限次运算后,必进入循环圈1→4→2→1,这就是“冰雹猜想”.在平面直角坐标系xOy中,将点(x,y)中的x,y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标,其中x,y均为正整数.例如,点(6,3)经过第1次运算得到点(3,10),经过第2次运算得到点(10,5),以此类推.则点(1,4)经过2024次运算后得到点 .
18.(2024 日照)已知一次函数y1=ax(a≠0)和y2x+1,当x≤1时,函数y2的图象在函数y1的图象上方,则a的取值范围为 .
19.(2024 济南)某公司生产了A,B两款新能源电动汽车.如图,l1,l2分别表示A款,B款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量y(kW h)与汽车行驶路程x(km)的关系.当两款新能源电动汽车的行驶路程都是300km时,A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多 kW h.
20.(2024 东营)在弹性限度内,弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数.一根弹簧不挂物体时长12.5cm,当所挂物体的质量为2kg时,弹簧长13.5cm,当所排物体的质量为5kg时,弹簧的长度为 cm.
21.(2024 东营)如图,在平面直角坐标系中,已知直线l的表达式为y=x,点A1的坐标为(,0 ),以O为圆心,OA1为半径画弧,交直线l于点B1,过点B1作直线l的垂线交x轴于点A2;以O为圆心,OA2为半径画弧,交直线l于点B2,过点B2作直线l的垂线交x轴于点A3;以O为圆心,OA3为半径画弧,交直线l于点B3,过点B3作直线l的垂线交x轴于点A4;…按照这样的规律进行下去,点A2024的横坐标是 .
22.(2024 日照)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(4,0),是矩形OABC的顶点,点M,N分别为边AB,OC上的点,将矩形OABC沿直线MN折叠,使点B的对应点B'在边OA的中点处,点C的对应点C′在反比例函数y(k≠0)的图象上,则k= .
23.(2024 威海)如图,在平面直角坐标系中,直线y1=ax+b(a≠0)与双曲线y2(k≠0)交于点A(﹣1,m),B(2,﹣1).则满足y1≤y2的x的取值范围 .
24.(2024 淄博)如图,在平面直角坐标系中,作直线x=i(i=1,2,3,…)与x轴相交于点Ai,与抛物线相交于点Bi,连接AiBi+1,BiAi+1相交于点 i,得△AiBi i和△Ai+1Bi+1 i,若将其面积之比记为ai,则a2024= .
25.(2024 济宁)将抛物线y=x2﹣6x+12向下平移k个单位长度.若平移后得到的抛物线与x轴有公共点,则k的取值范围是 .
26.(2024 泰安)如图,小明的父亲想用长为60米的栅栏,再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园.已知房屋外墙长40米,则可围成的菜园的最大面积是 平方米.
27.(2024 烟台)已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表:
x ﹣4 ﹣3 ﹣1 1 5
y 0 5 9 5 ﹣27
下列结论:
①abc>0;
②关于x的一元二次方程ax2+bx+c=9有两个相等的实数根;
③当﹣4<x<1时,y的取值范围为0<y<5;
④若点(m,y1),(﹣m﹣2,y2)均在二次函数图象上,则y1=y2;
⑤满足ax2+(b+1)x+c<2的x的取值范围是x<﹣2或x>3.
其中正确结论的序号为 .
28.(2024 滨州)将抛物线y=﹣x2先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,则平移后抛物线的顶点坐标为 .
四.解答题(共20小题)
29.(2024 德州)某校开设棋类社团,购买了五子棋和象棋.五子棋比象棋的单价少8元,用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等.
(1)两种棋的单价分别是多少?
(2)学校准备再次购买五子棋和象棋共30副,根据学生报名情况,购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍.问购买两种棋各多少副时费用最低?最低费用是多少?
30.(2024 淄博)如图,一次函数y=k1x+2的图象与反比例函数y的图象相交于A(m,4),B两点,与x,y轴分别相交于点C,D.且tan∠ACO=2.
(1)分别求这两个函数的表达式;
(2)以点D为圆心,线段DB的长为半径作弧与x轴正半轴相交于点E,连接AE,BE.求△ABE的面积;
(3)根据函数的图象直接写出关于x的不等式k1x+2的解集.
31.(2024 泰安)直线y1=kx+b(k≠0)与反比例函数的图象相交于点A(﹣2,m),B(n,﹣1),与y轴交于点C.
(1)求直线y1的表达式;
(2)若y1>y2,请直接写出满足条件的x的取值范围;
(3)过C点作x轴的平行线交反比例函数的图象于点D,求△ACD的面积.
32.(2024 东营)如图,一次函数y=mx+n(m≠0)的图象与反比例函数y(k≠0)的图象交于点A(﹣3,a),B(1,3),且一次函数与x轴,y轴分别交于点C,D.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式;
(2)根据图象直接写出不等式mx+n的解集;
(3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P,使得S△OCP=4S△OBD,求点P的坐标.
33.(2024 济南)已知反比例函数的图象与正比例函数y=3x(x≥0)的图象交于点A(2,a),点B是线段OA上(不与点A重合)的一点.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)如图1,过点B作y轴的垂线l,l与的图象交于点D,当线段BD=3时,求点B的坐标;
(3)如图2,将点A绕点B顺时针旋转90°得到点E,当点E恰好落在的图象上时,求点E的坐标.
34.(2024 青岛)如图,点A1,A2,A3,…,An,An+1为反比例函数y(k>0)图象上的点,其横坐标依次为1,2,3,…,n,n+1.过点A1,A2,A3,…,An作x轴的垂线,垂足分别为点H1,H2,H3,…,Hn;过点A2作A2B1⊥A1H1于点B1,过点A3作A3B2⊥A2H2于点B2,…,过点An+1作An+1Bn⊥AnHn于点Bn.
记△A1B1A2的面积为S1,△A2B2A3的面积为S2,…,△AnBnAn+1的面积为Sn.
(1)当k=2时,点B1的坐标为 ,
S1+S2= ,
S1+S2+S3= ,
S1+S2+S3+ +Sn= (用含n的代数式表示);
(2)当k=3时,S1+S2+S3+ +Sn= (用含n的代数式表示).
35.(2024 山东)列表法、表达式法、图象法是三种表示函数的方法,它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系.下表是函数y=2x+b与y部分自变量与函数值的对应关系:
x a 1
2x+b a 1
7
(1)求a、b的值,并补全表格;
(2)结合表格,当y=2x+b的图象在y的图象上方时,直接写出x的取值范围.
36.(2024 潍坊)如图,正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是.点在直线上,过点P作y轴的平行线,交的图象于点Q.
(1)求这个反比例函数的表达式;
(2)求△OPQ的面积.
37.(2024 烟台)如图,正比例函数y=x与反比例函数y的图象交于点A(,a).将正比例函数图象向下平移n(n>0)个单位后,与反比例函数图象在第一、三象限交于点B,C,与x轴,y轴交于点D,E,且满足BE:CE=3:2,过点B作BF⊥x轴,垂足为点F,G为x轴上一点,直线BC与BG关于直线BF成轴对称,连接CG.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)求n的值及△BCG的面积.
38.(2024 德州)已知抛物线y=x2﹣4mx+2m+1,m为实数.
(1)如果该抛物线经过点(4,3),求此抛物线的顶点坐标.
(2)如果当2m﹣3≤x≤2m+1时,y的最大值为4,求m的值.
(3)点O(0,0),点A(1,0),如果该抛物线与线OA(不含端点)恰有一个交点,求m的取值范围.
39.(2024 淄博)如图,抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于A(x1,0),B(x2,0)两点(点A在点B的左侧),其中x1,x2是方程x2﹣2x﹣3=0的两个根,抛物线与y轴相交于点C.
(1)求该抛物线对应的函数表达式;
(2)已知直线l:y=3x+9与x,y轴分别相交于点D,E.
①设直线BC与l相交于点F,问在第三象限内的抛物线上是否存在点P,使得∠PBF=∠DFB?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;
②过抛物线上一点M作直线BC的平行线.与抛物线相交于另一点N.设直线MB,NC相交于点Q.连接QD,QE.求线段QD+QE的最小值.
40.(2024 日照)已知二次函数y=﹣x2+(2a+4)x﹣a2﹣4a(a为常数).
(1)求证:不论a为何值,该二次函数图象与x轴总有两个公共点;
(2)当a+1≤x≤2a+5(a≥﹣1)时,该二次函数的最大值与最小值之差为9,求此时函数的解析式;
(3)若二次函数图象对称轴为直线x=1,该函数图象与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C.点C关于对称轴的对称点为D,点M为CD的中点,过点M的直线l(直线l不过C,D两点)与二次函数图象交于E,F两点,直线CE与直线DF相交于点P.
①求证:点P在一条定直线上;
②若S△COPS△ABP,请直接写出满足条件的直线l的解析式,不必说明理由.
41.(2024 青岛)5月中旬,樱桃相继成熟,果农们迎来了繁忙的采摘销售季.为了解樱桃的收益情况,从第1天销售开始,小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析:
A樱桃园:
第x天的单价、销售量与x的关系如表:
单价(元/盒) 销售量(盒)
第1天 50 20
第2天 48 30
第3天 46 40
第4天 44 50
… … …
第x天 10x+10
第x天的单价与x近似地满足一次函数关系,已知每天的固定成本为745元.
B樱桃园:
第x天的利润y2(元)与x的关系可以近似地用二次函数y2=ax2+bx+25刻画,其图象如图:
(1)A樱桃园第x天的单价是 元/盒(用含x的代数式表示);
(2)求A樱桃园第x天的利润y1(元)与x的函数关系式;(利润=单价×销售量﹣固定成本)
(3)①y2与x的函数关系式是 ;
②求第几天两处樱桃园的利润之和(即y1+y2)最大,最大是多少元?
(4)这15天中,共有 天B樱桃园的利润y2比A樱桃园的利润y1大.
42.(2024 济南)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C1:y=x2+bx+c经过点A(0,2),B(2,2),顶点为D;抛物线C2:y=x2﹣2mx+m2﹣m+2(m≠1),顶点为Q.
(1)求抛物线C1的表达式及顶点D的坐标;
(2)如图1,连接AD,点E是抛物线C1对称轴右侧图象上一点,点F是抛物线C2上一点,若四边形ADFE是面积为12的平行四边形,求m的值;
(3)如图2,连接BD,DQ,点M是抛物线C1对称轴左侧图象上的动点(不与点A重合),过点M作MN∥DQ交x轴于点N,连接BN,DN,求△BDN面积的最小值.
43.(2024 潍坊)2024年6月,某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗,计划在商场的屋顶和外墙建造隔热层,其建造成本P(万元)与隔热层厚度x(cm)满足函数表达式:P=10x.预计该商场每年的能源消耗费用T(万元)与隔热层厚度x(cm)满足函数表达式:,其中0≤x≤9.设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为y(万元).
(1)若y=148万元,求该商场建造的隔热层厚度;
(2)已知该商场未来8年的相关规划费用为t(万元),且t=y+x2,当172≤t≤192时,求隔热层厚度x(cm)的取值范围.
44.(2024 东营)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(2,0)两点,与y轴交于点C,点D是抛物线上的一个动点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)当点D在直线BC下方的抛物线上时,过点D作y轴的平行线交BC于点E,设点D的横坐标为t,DE的长为l,请写出l关于t的函数表达式,并写出自变量t的取值范围;
(3)连接AD,交BC于点F,求的最大值.
45.(2024 济宁)某商场以每件80元的价格购进一种商品,在一段时间内,销售量y(单位:件)与销售单价x(单位:元/件)之间是一次函数关系,其部分图象如图所示.
(1)求这段时间内y与x之间的函数解析式;
(2)在这段时间内,若销售单价不低于100元,且商场还要完成不少于220件的销售任务,当销售单价为多少时,商场获得利润最大?最大利润是多少?
46.(2024 烟台)每年5月的第三个星期日为全国助残日,今年的主题是“科技助残,共享美好生活”.康宁公司新研发了一批便携式轮椅,计划在该月销售.根据市场调查,每辆轮椅盈利200元时,每天可售出60辆;单价每降低10元,每天可多售出4辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售,但每辆轮椅的利润不低于180元.设每辆轮椅降价x元,每天的销售利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式;每辆轮椅降价多少元时,每天的销售利润最大?最大利润为多少元?
(2)全国助残日当天,公司共获得销售利润12160元,请问这天售出了多少辆轮椅?
47.(2024 滨州)春节期间,全国各影院上映多部影片,某影院每天运营成本为2000元,该影院每天售出的电影票数量y(单位:张)与售价x(单位:元/张)之间满足一次函数关系(30≤x≤80,且x是整数),部分数据如下表所示:
电影票售价x(元/张) 40 50
售出电影票数量y(张) 164 124
(1)请求出y与x之间的函数关系式;
(2)设该影院每天的利润(利润=票房收入﹣运营成本)为w(单位:元),求w与x之间的函数关系式;
(3)该影院将电影票售价x定为多少时,每天获利最大?最大利润是多少?
48.(2024 烟台)如图,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,OC=OA,AB=4,对称轴为直线l1:x=﹣1.将抛物线y1绕点O旋转180°后得到新抛物线y2,抛物线y2与y轴交于点D,顶点为E,对称轴为直线l2.
(1)分别求抛物线y1和y2的表达式;
(2)如图1,点F的坐标为(﹣6,0),动点M在直线l1上,过点M作MN∥x轴与直线l2交于点N,连接FM,DN,求FM+MN+DN的最小值;
(3)如图2,点H的坐标为(0,﹣2),动点P在抛物线y2上,试探究是否存在点P,使∠PEH=2∠DHE?若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.中小学教育资源及组卷应用平台
2024年中考山东试题汇编—函数
一.选择题(共13小题)
1.(2024 济南)如图1,△ABC是等边三角形,点D在边AB上,BD=2,动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发,沿折线BC﹣CA匀速运动,到达点A后停止,连接DP.设点P的运动时间为t(s),DP2为y.当动点P沿BC匀速运动到点C时,y与t的函数图象如图2所示.有以下四个结论:①AB=3;②当t=5时,y=1;③当4≤t≤6时,1≤y≤3;④动点P沿BC﹣CA匀速运动时,两个时刻t1,t2(t1<t2)分别对应y1和y2,若t1+t2=6,则y1>y2.其中正确结论的序号是( )
A.①②③ B.①② C.③④ D.①②④
【思路点拔】依据题意,当P到C时,DP2=y=7,可得DC2=7,再作DH⊥BC于H,进而求出BHBD=1,CH=2,故可判断①;找出t=5时,P的位置,进而可以判断②;再由当4≤t≤6时,此时P从如图的位置运动到A,紧扣特殊位置进行分析可得,y≤3,故可判断③;又由t1+t2=6,t1<t2,可得t2=6﹣t1,t1<3,t2>3,再结合当0≤t≤3时,y=(t﹣1)2+3;当3≤t≤6时,y=(t﹣5.5)2,从而作差y1﹣y2=(t1﹣1)2+3﹣(t1﹣0.5)23﹣t1>0,故可判断④.
【解答】解:由题意,当P到C时,DP2=y=7,
∴DC2=7.
作DH⊥BC于H,如图1所示,
∵∠B=60°,BD=2,
∴BHBD=1,DH.
∴CH2.
∴BC=BH+CH=1+2=3.
∴AB=BC=3,故①正确.
∴此时t=AB÷1=3(秒).
∴当t=5时,P在AC上,且PC=2.
如图2,AD=AP=1,
又∠A=60°,
∴△ADP是等边三角形.
∴DP=AD=AP=1.
∴y=DP2=1,故②正确.
当4≤t≤6时,如图3,
∴PC=1,此时P从如图的位置运动到A.
∴AHAD.
∴DH,此时P运动到H时y=DH2取最小值为.
又HP=AC﹣AH﹣PC=31,
∴DP.
∴此时y=DP2取最大值为3.
∴当4≤t≤6时,y≤3,故③错误.
∵t1+t2=6,t1<t2,
∴t1+t2<2t2,2t1<t1+t2,t2=6﹣t1.
∴t1<3,t2>3.
又由题意,可得,当0≤t≤3时,y=(t﹣1)2+3;当3≤t≤6时,y=(t﹣5.5)2,
∴y1=(t1﹣1)2+3,y2=(t2﹣5.5)2(t1﹣0.5)2.
∴y1﹣y2=(t1﹣1)2+3﹣(t1﹣0.5)2
=3﹣t1>0.
∴y1>y2,故④正确.
故选:D.
2.(2024 烟台)如图,水平放置的矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,菱形EFGH的顶点E,G在同一水平线上,点G与AB的中点重合,EF=2cm,∠E=60°,现将菱形EFGH以1cm/s的速度沿BC方向匀速运动,当点E运动到CD上时停止.在这个运动过程中,菱形EFGH与矩形ABCD重叠部分的面积S(cm2)与运动时间t(s)之间的函数关系图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
【思路点拔】先求得菱形的面积为cm2,进而分三种情形讨论,重合部分为三角形,重合部分为五边形,重合部分为菱形,分别求得重叠部分的面积与运动时间的函数关系式,结合选项,即可求解.
【解答】解:如图所示,设EG,HF交于点O,
∵菱形EFGH,∠E=60°,
∴HG=GF,∠HGF=∠E=60°,
∴△HFG是等边三角形,
∵cm,∠E=60°,
∴∠OEF=30°,
∴cm,
∴(cm2),
当0≤t≤3时,重合部分为△MNG,如图所示,
依题意,△MNG为等边三角形,
运动时间为t,则(cm),
∴(cm2);
当3<t≤6时,如图所示,
依题意,EM=EG﹣t=6﹣t(cm),则(cm),
∴(cm2),
∴S=S菱形形EFGH﹣S△EKJ(cm2);
∵EG=6cm<BC,
∴当6<t≤8时,cm2;
当8<t≤11时,同理可得,(cm2);
当11<t≤14时,同理可得,(cm2);
综上所述,当0≤t≤3时,函数图象为开口向上的一段抛物线,当3<t≤6时,函数图象为开口向下的一段抛物线,当6<t≤8时,函数图象为一条线段,当8<t≤11时,函数图象为开口向下的一段抛物线,当11<t≤14时,函数图象为开口向上的一段抛物线,
故选:D.
3.(2024 淄博)某日,甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼.两人都从A地匀速出发,甲健步走向B地.途中偶遇一位朋友,驻足交流10min后,继续以原速步行前进;乙因故比甲晚出发30min,跑步到达B地后立刻以原速返回,在返回途中与甲第二次相遇.如图表示甲、乙两人之间的距离y(m)与甲出发的时间x(min)之间的函数关系.
那么以下结论:
①甲、乙两人第一次相遇时,乙的锻炼用时为20min;
②甲出发86min时,甲、乙两人之间的距离达到最大值3600m;
③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后100min;
④A,B两地之间的距离是11200m.
其中正确的结论有( )
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
【思路点拔】①由乙比甲晚出发30min及当x=50时y第一次为0,可得出乙出发20min时两人第一次相遇,进而可得出结论①正确;
②观察函数图象,可得出当x=86时,y取得最大值,最大值为3600,进而可得出结论②正确;
③设甲的速度为x m/min,乙的速度为y m/min,利用路程=速度×时间,可列出关于x,y的二元一次方程组,解之可得出x,y的之,将其代入86中,可得出甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后98min,进而可得出结论③错误;
④利用路程=速度×时间,即可求出A,B两地之间的距离是11200m.
【解答】解:①∵乙比甲晚出发30min,且当x=50时,y=0,
∴乙出发50﹣30=20(min)时,两人第一次相遇,
即甲、乙两人第一次相遇时,乙的锻炼用时为20min,结论①正确;
②观察函数图象,可知:当x=86时,y取得最大值,最大值为3600,
∴甲出发86min时,甲、乙两人之间的距离达到最大值3600m,结论②正确;
③设甲的速度为x m/min,乙的速度为y m/min,
根据题意得:,
解得:,
∴868698,
∴甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后98min,结论③错误;
④∵200×(86﹣30)=11200(m),
∴A,B两地之间的距离是11200m,结论④正确.
综上所述,正确的结论有①②④.
故选:B.
4.(2024 威海)同一条公路连接A,B,C三地,B地在A,C两地之间.甲、乙两车分别从A地、B地同时出发前往C地.甲车速度始终保持不变,乙车中途休息一段时间,继续行驶.如图表示甲、乙两车之间的距离y(km)与时间x(h)的函数关系.下列结论正确的是( )
A.甲车行驶h与乙车相遇
B.A,C两地相距220km
C.甲车的速度是70km/h
D.乙车中途休息36分钟
【思路点拔】根据函数图象推导出E点的意义是两车相遇,F点意义是乙车休息后再出发,据此判断D;乙车休息后两者同时到达C地,则甲车的速度比乙车的速度慢,据此推导甲,乙两车速度与AC的距离,从而判断B,C;设x小时两辆车相遇,依题意得:60x=2×70+20,解答即可判断A.
【解答】解:根据函数图象可得AB两地之间的距离为40﹣20=20(km),
两车行驶了4小时,同时到达C地,如图所示,在1﹣2小时,两车同向运动,在第2小时,即点D时,两者距离发生改变,此时乙车休息,E点的意义是两车相遇,F点意义是乙车休息后再出发,
∴乙车休息了1小时,故D不正确,不符合题意;
设甲车的速度为a km/h,乙车的速度为b km/h,
根据题意,乙车休息后两者同时到达C地,则甲车的速度比乙车的速度慢,a<b,
∵2b+20﹣2a=40,即b﹣a=10,
在DE﹣EF时,乙车不动,则甲车的速度是60(km/h),
∴乙车速度为60+10=70km/h,故C不正确,不符合题意;
∴AC的距离为4×60=240(千米),故B不正确,不符合题意;
设x小时两辆车相遇,依题意得:60x=2×70+20,
解得:x,即小时时,两车相遇,故A正确,符合题意;
故选:A.
5.(2024 德州)如图,点A,C在反比例函的图象上,点B,D在反比例函数的图象上,AB∥CD∥y轴,若AB=3,CD=2,AB与CD的距离为5,则a﹣b的值为( )
A.﹣2 B.1 C.5 D.6
【思路点拔】依据题意,利用反比例函数k的几何意义,结合相关线段的长度来求a﹣b的值.
【解答】解:如图,设C(m,),则D(m,),OE=﹣m,
∴2.
∴b﹣a=2m,
∴a﹣b=2OE,
同理:a﹣b=3OF,
∴2OE=3OF.
又∵OE+OF=5,
∴OE=3,OF=2,
∴a﹣b=6.
故选:D.
6.(2024 德州)已知P(x1,y1),Q(x2,y2)是某函数图象上的两点,当1<x2<x1<2时,y2﹣y1<0.该函数的解析式可能是( )
A.y=﹣2x B.
C.y=x2﹣x﹣1 D.y=﹣x2﹣2x+1
【思路点拔】由已知条件可得到,当1<x<2时,函数y随x的增大而增大,据此分析个选项即可作出选择.
【解答】解:∵1<x2<x1<2时,y2﹣y1<0,
∴函数y随x的增大而增大,
A.y=﹣2x中,y随x的增大而减小,故本选项不符合题意;
B.y中,在第一象限y随x的增大而减小,故本选项不符合题意;
C.y=x2﹣x﹣1中,其图象开口向上,对称轴为:直线x,在对称轴的右侧,y随x的增大而增大,故本选项符合题意;
D.y=﹣x2﹣2x+1中,其图象开口向下,对称轴为:直线x=﹣1,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小,故本选项不符合题意.
故选:C.
7.(2024 淄博)如图所示,正方形ABCD与AEFG(其中边BC,EF分别在x,y轴的正半轴上)的公共顶点A在反比例函数y的图象上,直线DG与x,y轴分别相交于点M,N.若这两个正方形的面积之和是,且MD=4GN.则k的值是( )
A.5 B.1 C.3 D.2
【思路点拔】设AE=EF=FG=a,AB=BC=AD=b,利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质得到a,b的关系式,再利用a2+b2求得a,b值,则点A坐标可求,最后利用待定系数法解答即可得出结论.
【解答】解:设AE=EF=FG=a,AB=BC=AD=b,
由题意得:a2+b2.
∵正方形ABCD与AEFG(其中边BC,EF分别在x,y轴的正半轴上)的公共顶点A在反比例函数y的图象上,
∴FG∥ED∥OM,∠NFG=∠DCM=90°,
∴∠NGF=∠DMC,
∴△NFG∽△DCM,
∴,
∵MD=4GN,
∴,
∴NFb.
∵FG∥ED,
∴△NFG∽△NED,
∴,
∴,
∴b2=4a2,
∴,
∵a>0,
∴a.
∴b.
∴A(,),
∴k3.
故选:C.
8.(2024 济宁)已知点A(﹣2,y1),B(﹣1,y2),C(3,y3)在反比例函数y(k<0)的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是( )
A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3 C.y3<y1<y2 D.y3<y2<y1
【思路点拔】根据反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数性质解答即可.
【解答】解:在反比例函数y中k<0,反比例函数图象分布在第二、四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大,
∵C(3,y3)在第四象限,
∴y3<0,
∵﹣2<﹣1,
∴0<y1<y2,
∴y3<y1<y2,
故选:C.
9.(2024 滨州)点M(x1,y1)和点N(x2,y2)在反比例函数y为常数)的图象上,若x1<0<x2,则y1,y2,0的大小关系为( )
A.y1<y2<0 B.y1>y2>0 C.y1<0<y2 D.y1>0>y2
【思路点拔】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可.
【解答】解:反比例函数y中,(k﹣1)2+2>0,反比例函数图象分布在第一、三象限,
∵x1<0<x2,
∴点M在第三象限的图象上,点N在第一象限的图象上,
∴y1<0<y2,
故选:C.
10.(2024 青岛)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,对称轴是直线x=﹣1,则过点M(c,2a﹣b)和点N(b2﹣4ac,a﹣b+c)的直线一定不经过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【思路点拔】根据二次函数 y=ax2+bx+c 图象结合已知条件判断各式即可.
【解答】解:∵函数图象开口向上,与y轴交于正半轴,与x轴没有交点
∴a>0,c>0,b2﹣4ac<0,
∵对称轴为x,
∴b=2a>0,
∴2a﹣b=0,
∴M(c,2a﹣b)在x轴正半轴上,
当x=﹣1时,a﹣b+c>0,
则N(b2﹣4ac,a﹣b+c)在第二象限,
∴过点M(c,2a﹣b)和点N(b2﹣4ac,a﹣b+c)的直线一定不经过第三象限.
故选:C.
11.(2024 日照)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分如图所示,该函数图象经过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2.对于下列结论:①abc<0;②a+c=b;③多项式ax2+bx+c可因式分解为(x+1) (x﹣5);④当m>﹣9a时,关于x的方程ax2+bx+c=m无实数根.其中正确的个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【思路点拔】根据图像信息一一判断即可.
【解答】解:由图像可知:a<0,b>0,c>0,
∴abc<0,故①正确,
∵x=﹣1时,y=0,
∴a﹣b+c=0,
∴a+c=b,故②正确,
∵函数图象经过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,
∴抛物线与x轴的另一个交点为(5,0),
∴多项式ax2+bx+c可因式分解为a(x+1) (x﹣5),故③错误,
∵抛物线的解析式为y=a(x+1)(x﹣5)=a(x2﹣4x﹣5),
∴抛物线的顶点坐标为(2,﹣9a),
观察图象可知当m>﹣9a时,关于x的方程ax2+bx+c=m无实数根,故④正确.
故选:C.
12.(2024 东营)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A.abc<0
B.a﹣b=0
C.3a﹣c=0
D.am2+bm≤a﹣b(m为任意实数)
【思路点拔】根据所给二次函数图象得出a,b,c的正负,再将点(﹣3,0)和(1,0)代入函数解析式,得出关于a,b,c的两个等式,进而可得出a与b及a与c之间的关系,最后根据抛物线的对称轴为直线x=﹣1即可解决问题.
【解答】解:由函数图象可知,
a<0,b<0,c>0,
所以abc>0.
故A选项不符合题意.
因为抛物线经过点(﹣3,0)和(1,0),
所以抛物线的对称轴为直线x=﹣1,
则,
所以2a﹣b=0.
故B选项不符合题意.
将b=2a代入a+b+c=0得,
a+2a+c=0,
所以3a+c=0.
故C选项不符合题意.
因为抛物线与x轴的交点坐标为(﹣3,0)和(1,0),
所以抛物线的对称轴为直线x.
又因为抛物线开口向下,
所以当x=﹣1时,函数取得最大值a﹣b+c,
所以对于抛物线上的任意一点(横坐标为m),总有am2+bm+c≤a﹣b+c,
即am2+bm≤a﹣b.
故D选项符合题意.
故选:D.
13.(2024 泰安)如图所示是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象,该函数图象的对称轴是直线x=1,图象与y轴交点的纵坐标是2.则下列结论:①2a+b=0;②方程ax2+bx+c=0一定有一个根在﹣2和﹣1之间;③方程ax2+bx+c0一定有两个不相等的实数根;④b﹣a<2.其中,正确结论的个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【思路点拔】根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质判断即可.
【解答】解:∵抛物线的对称轴为直线x=1,
∴1,
∴b=﹣2a,
∴2a+b=0,故①正确;
∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点在2,3之间,
∴与x轴的另一个交点在﹣1,0之间,
∴方程ax2+bx+c=0一定有一个根在﹣1和0之间,故②错误;
∵抛物线y=ax2+bx+c与直线y有两个交点,
∴方程ax2+bx+c0一定有两个不相等的实数根,故③正确;
∵抛物线与x轴的另一个交点在﹣1,0之间,
∴a﹣b+c<0,
∵图象与y轴交点的纵坐标是2,
∴c=2,
∴a﹣b+2<0,
∴b﹣a>2.故④错误.
故选:B.
二.多选题(共1小题)
(多选)14.(2024 潍坊)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1,且抛物线与x轴的一个交点坐标是(4,0).下列结论正确的有( )
A.a﹣b+c>0
B.该抛物线与x轴的另一个交点坐标是(﹣3,0)
C.若点(﹣1,y1)和(2,y2)在该抛物线上,则y1<y2
D.对任意实数n,不等式an2+bn≤a+b总成立
【思路点拔】根据二次函数的图象和性质进行解题即可.
【解答】解:将x=﹣1代入,可得y=a﹣b+c,由图象可知,此时图象在x轴上方,故a﹣b+c>0,故选项A正确;
对称轴是直线x=1,
∴
故该抛物线与x轴的另一个交点坐标是(﹣2,0),故选项B错误;
∵x=1时,函数有最大值,(2,y2)距离对称轴更近,故y1<y2,故选项C正确;
∵x=1时,函数有最大值,故an2+bn+c≤a+b+c,即不等式an2+bn≤a+b总成立,故选项D正确;
故选ACD.
三.填空题(共14小题)
15.(2024 潍坊)请写出同时满足以下两个条件的一个函数: y=﹣x+2(答案不唯一) .
①y随着x的增大而减小;②函数图象与y轴正半轴相交.
【思路点拔】一次函数y=kx+b(k≠0)中的y随着x的增大而减小可得k<0,再根据函数图象与y轴正半轴相交可得b>0,据此即可求解.
【解答】解:∵y随着x的增大而减小,
∴一次函数的比例系数k<0,
又∵函数图象与y轴正半轴相交,
∴b>0,
∴同时满足以下两个条件的一次函数可以是y=﹣x+2,
故答案为:y=﹣x+2(答案不唯一).
16.(2024 滨州)若函数的解析式在实数范围内有意义,则自变量x的取值范围是 x≠1 .
【思路点拔】根据反比例函数分母不为0求解即可.
【解答】解:∵的解析式在实数范围内有意义,
∴x﹣1≠0,
∴x≠1,
故答案为:x≠1.
17.(2024 山东)任取一个正整数,若是奇数,就将该数乘3再加上1;若是偶数,就将该数除以2.反复进行上述两种运算,经过有限次运算后,必进入循环圈1→4→2→1,这就是“冰雹猜想”.在平面直角坐标系xOy中,将点(x,y)中的x,y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标,其中x,y均为正整数.例如,点(6,3)经过第1次运算得到点(3,10),经过第2次运算得到点(10,5),以此类推.则点(1,4)经过2024次运算后得到点 (2,1) .
【思路点拔】根据新定义依次计算出各点的坐标,然后找出规律,最后应用规律求解即可.
【解答】解:点(1,4)经过1次运算后得到点为(1×3+1,4÷2),即为(4,2),
经过2次运算后得到点为(4÷2,2÷1),即为(2,1),
经过3次运算后得到点为(2÷2,1×3+1),即为(1,4),
……,
发现规律:点(1,4)经过3次运算后还是(1,4),
∵2024÷3=674 2,
∴点(1,4)经过2024次运算后得到点(2,1),
故答案为:(2,1).
18.(2024 日照)已知一次函数y1=ax(a≠0)和y2x+1,当x≤1时,函数y2的图象在函数y1的图象上方,则a的取值范围为 a .
【思路点拔】依据题意,由当x≤1时,函数y2的图象在函数y1的图象上方,从而当x≤1时,总有x+1>ax,即(a)x<1,进而分类讨论即可判断得解.
【解答】解:由题意,∵当x≤1时,函数y2的图象在函数y1的图象上方,
∴当x≤1时,总有x+1>ax.
∴(a)x<1.
①当a,且a≠0时,
∴a>0.
∴(a)x>﹣1.
∴x,与x≤1矛盾,故此时不成立.
②当a时,
∴(a)x=0<1,符合题意.
③当a时,
∴a0.
∴x.
又∵x≤1,
∴1.
∴a.
综上,a.
故答案为:a.
19.(2024 济南)某公司生产了A,B两款新能源电动汽车.如图,l1,l2分别表示A款,B款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量y(kW h)与汽车行驶路程x(km)的关系.当两款新能源电动汽车的行驶路程都是300km时,A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多 12 kW h.
【思路点拔】根据“电动汽车每千米的耗电量=剩余电量的减少量÷行驶路程”分别计算A、B两款新能源电动汽车每千米的耗电量,由此写出图象l1,l2的函数关系式,将x=300分别代入,求出对应函数值并计算二者之差即可.
【解答】解:A款新能源电动汽车每千米的耗电量为(80﹣48)÷200=0.16(kW h),B款新能源电动汽车每千米的耗电量为(80﹣40)÷200=0.2(kW h),
∴l1图象的函数关系式为y1=80﹣0.16x,l2图象的函数关系式为y2=80﹣0.2x,
当x=300时,y1=80﹣0.16×300=32,y2=80﹣0.2×300=20,
32﹣20=12(kW h),
∴当两款新能源电动汽车的行驶路程都是300km时,A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多12kW h.
故答案为:12.
20.(2024 东营)在弹性限度内,弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数.一根弹簧不挂物体时长12.5cm,当所挂物体的质量为2kg时,弹簧长13.5cm,当所排物体的质量为5kg时,弹簧的长度为 15 cm.
【思路点拔】根据题意可以求得y与x的函数关系式,从而可以求得当x=5时对应的y值,本题得以解决.
【解答】解:设y与x的函数关系式为y=kx+12.5,
∵x=2时,y=13.5,
∴13.5=2k+12.5,
得k,
∴yx+12.5,
当x=5时,y5+12.5=15,
故答案为:15.
21.(2024 东营)如图,在平面直角坐标系中,已知直线l的表达式为y=x,点A1的坐标为(,0 ),以O为圆心,OA1为半径画弧,交直线l于点B1,过点B1作直线l的垂线交x轴于点A2;以O为圆心,OA2为半径画弧,交直线l于点B2,过点B2作直线l的垂线交x轴于点A3;以O为圆心,OA3为半径画弧,交直线l于点B3,过点B3作直线l的垂线交x轴于点A4;…按照这样的规律进行下去,点A2024的横坐标是 21012 .
【思路点拔】根据题意,依次求出OAn(n为正整数)的长度,发现规律即可解决问题.
【解答】解:因为直线l的表达式为y=x,
所以直线l平分第一象限,
即直线l与x轴正半轴的夹角为45°.
因为点A1的坐标为(),
所以OA1.
由作图过程可知,
OB1=OA1.
又因为B1A2⊥l,
所以△OB1A2是等腰直角三角形,
所以,
同理可得,
OA3,
OA4=4,
…,
所以(n为正整数),
当n=2024时,
,
所以点A2024的横坐标为21012.
故答案为:21012.
22.(2024 日照)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(4,0),是矩形OABC的顶点,点M,N分别为边AB,OC上的点,将矩形OABC沿直线MN折叠,使点B的对应点B'在边OA的中点处,点C的对应点C′在反比例函数y(k≠0)的图象上,则k= .
【思路点拔】设B'C'交y轴于点E,MN交BB'于点F,过点C'作C'D⊥x轴于D,根据折叠性质得:CN=C'N,BM=B'M,B'C'=BC,设BM=B'M=t,则AM=AB﹣BM,在△AB'M中,由勾股定理求出,则AM,证明∴△B'C'D∽△MB'A相似,利用相似三角形的性质得C'D,B'D,则OD,由此得点C',据此即可得出k的值.
【解答】解:设B'C'交y轴于点E,MN交BB'于点F,过点C'作C'D⊥x轴于D,C'H⊥y轴于点H,如图所示:
则四边形ODC'H为矩形,
∴OD=C'H,
根据折叠性质得:CN=C'N,BM=B'M,B'C'=BC,∠MB'C'N=∠ABCN=90°,
∵点A(4,0),C是矩形OABC的顶点,
∴BC=OA=B'C'=4,OC=AB,∠MAB'=90°,
设BM=B'M=t,则AM=AB﹣BM,
∵点B'是OA的中点,
∴OB'=AB'=2,
在△AB'M中,由勾股定理得:AM2+AB'2=B'M2,
即,
解得:,
∴BM=B'M,AM,
∵∠MB'C=90°,∠B'AM=90°,
∴∠DB'C'+∠AB'M=90°,∠AMB'+∠AB'M=90°,
∴∠DB'C'=∠AMB',
又∵∠B'DC'=∠B'AM=90°,
∴△B'C'D∽△MB'A,
∴C'D:AB'=B'D:AM=B'C':MB',
即:,
∴C'D,B'D,
∴OD=B'D﹣OB',
∴点C'的坐标为,
∵点C'在反比例函数的图象上,
∴.
故答案为:.
23.(2024 威海)如图,在平面直角坐标系中,直线y1=ax+b(a≠0)与双曲线y2(k≠0)交于点A(﹣1,m),B(2,﹣1).则满足y1≤y2的x的取值范围 ﹣1≤x<0或x≥2 .
【思路点拔】根据两个函数的图象及两个交点坐标的横坐标直接写出不等式的解集即可.
【解答】解:由两个函数图象及交点坐标的横坐标可知:
当y1≤y2时,x的取值范围为:﹣1≤x<0或x≥2.
故答案为:﹣1≤x<0或x≥2.
24.(2024 淄博)如图,在平面直角坐标系中,作直线x=i(i=1,2,3,…)与x轴相交于点Ai,与抛物线相交于点Bi,连接AiBi+1,BiAi+1相交于点 i,得△AiBi i和△Ai+1Bi+1 i,若将其面积之比记为ai,则a2024= .
【思路点拔】解:①由A1(1,0)得B1(1,),由A2(2,0)得B2(2,1),先求出直线A1B2和直线A2B1的解析式,再求出C1坐标,最后求出ai.同理求出a2,找出规律,再计算即可.
【解答】解:①由A1(1,0)得B1(1,),
由A2(2,0)得B2(2,1),
设直线A1B2的解析式为y=kx+b,
代入由A1(1,0),B2(2,1)得:
,
∴k=1,b=﹣1,
∴直线A1B2的解析式为y=x﹣1,
同理直线A2B1的解析式为yx,
联立得x﹣1x,
∴x,
∴C1(,),
∴ai()÷[1×(2)].
②由A3(3,0)得B3(3,),
同①方法得直线A2B3的解析式为yx,
直线A3B2的解析式为y=﹣x+3,
联立得xx+3,
∴x,
∴C1(,),
∴a21×()÷[()],
,
∴a2024.
故答案为:.
25.(2024 济宁)将抛物线y=x2﹣6x+12向下平移k个单位长度.若平移后得到的抛物线与x轴有公共点,则k的取值范围是 k≥3 .
【思路点拔】根据解析式的平移规律可得平移后得到的抛物线为y=x2﹣6x+12﹣k,抛物线与x轴有公共点,可知Δ=b2﹣4ac≥0,由此得到关于k的不等式,解不等式即可.
【解答】解:将抛物线y=x2﹣6x+12向下平移k个单位长度得y=x2﹣6x+12﹣k,
∵平移后得到的抛物线与x轴有公共点,
∴Δ=b2﹣4ac≥0,
∴(﹣6)2﹣4×1×(12﹣k)≥0,
解得k≥3,
故答案为:k≥3.
26.(2024 泰安)如图,小明的父亲想用长为60米的栅栏,再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园.已知房屋外墙长40米,则可围成的菜园的最大面积是 450 平方米.
【思路点拔】依据题意,设垂直于墙的边长为x米,则平行于墙的边长为(60﹣2x)米,又墙长为40米,从而可得0<60﹣2x≤40,故10≤x<30,又菜园的面积=x(60﹣2x)=﹣2x2+60x=﹣2(x﹣15)2+450,进而结合二次函数的性质即可判断得解.
【解答】解:由题意,设垂直于墙的边长为x米,则平行于墙的边长为(60﹣2x)米,
又墙长为40米,
∴0<60﹣2x≤40.
∴10≤x<30.
又菜园的面积=x(60﹣2x)=﹣2x2+60x=﹣2(x﹣15)2+450,
∴当x=15时,可围成的菜园的最大面积是450,
即垂直于墙的边长为15米时,可围成的菜园的最大面积是450平方米.
故答案为:450.
27.(2024 烟台)已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表:
x ﹣4 ﹣3 ﹣1 1 5
y 0 5 9 5 ﹣27
下列结论:
①abc>0;
②关于x的一元二次方程ax2+bx+c=9有两个相等的实数根;
③当﹣4<x<1时,y的取值范围为0<y<5;
④若点(m,y1),(﹣m﹣2,y2)均在二次函数图象上,则y1=y2;
⑤满足ax2+(b+1)x+c<2的x的取值范围是x<﹣2或x>3.
其中正确结论的序号为 ①②④ .
【思路点拔】利用待定系数法求出a、b、c的值即可判断①;利用根的判别式即可判断②;利用二次函数的性质可判断③;利用对称性可判断④;画出函数图形可判断⑤.
【解答】解:把(﹣4,0),(﹣1,9),(1,5)代入y=ax2+bx+c得:
,
解得
∴abc>0,故①正确;
∵a=﹣1,b=﹣2,c=8,
∴y=﹣x2﹣2x+8,
当y=9时,﹣x2﹣2x+8=9,
∴x2+2x+1=0,
∵Δ=22﹣4×1×1=0,
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=9有两个相等的实数根,故②正确;
∵抛物线的对称轴为直线,
∴抛物线的顶点坐标为(﹣1,9),
又∵a<0,
∴当x<﹣1时,y随x的增大而增大;当x>﹣1时,y随x的增大而减小;当x=﹣1时,函数取最大值9,
∵x=﹣3与x=1时函数值相等,等于5,
∴当﹣4<x<1时,y的取值范围为0<y≤9,故③错误;
∵,
∴点(m,y1),(﹣m﹣2,y2)关于对称轴x=﹣1对称,
∴y1=y2,故④正确;
由ax2+(b+1)x+c<2 得ax2+bx+c<﹣x+2,即﹣x2﹣2x+8<﹣x+2,画函数 y=﹣x2﹣2x+8和y=﹣x+2图象如下:
由,
解得,
∴A(2,0),B(﹣3,5),
由图形可得,当x<﹣3或x>2时,﹣x2﹣2x+8<﹣x+2,即ax2+(b+1)x+c<2,故⑤错误;
综上,正确的结论为①②④,
故答案为:①②④.
28.(2024 滨州)将抛物线y=﹣x2先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,则平移后抛物线的顶点坐标为 (1,2) .
【思路点拔】利用平移规律可求得平移后的抛物线的解析式,可求得其顶点坐标.
【解答】解:将抛物线y=﹣x2先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,后抛物线解析式为y=﹣(x﹣1)2+2,
∴顶点坐标为(1,2),
故答案为:(1,2).
四.解答题(共20小题)
29.(2024 德州)某校开设棋类社团,购买了五子棋和象棋.五子棋比象棋的单价少8元,用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等.
(1)两种棋的单价分别是多少?
(2)学校准备再次购买五子棋和象棋共30副,根据学生报名情况,购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍.问购买两种棋各多少副时费用最低?最低费用是多少?
【思路点拔】(1)根据用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等,可以列出相应的分式方程,然后求解即可;
(2)根据题意和(1)中的结果可以得到费用关于五子棋副数的函数关系,再根据购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍,可以得到购买五子棋数量的取值范围,最后根据一次函数的性质,即可得到费用的最小值.
【解答】解:(1)设象棋的单价为x元,则五子棋的单价为(x﹣8)元,
由题意可得:,
解得x=48,
经检验,x=48是原分式方程的根,
∴x﹣8=40,
答:象棋的单价为48元,五子棋的单价为40元;
(2)设购买五子棋a副,则购买象棋(30﹣a)副,总费用为w元,
由题意可得:w=40a+48(30﹣a)=﹣8a+1440,
∴w随a的增大而减小,
∵购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍,
∴a≤3(30﹣a),
解得a≤22.5,
∴当a=22时,w取得最小值,此时w=1264,30﹣a=8,
答:当购买五子棋22副,象棋8副时费用最低,最低费用为1264元.
30.(2024 淄博)如图,一次函数y=k1x+2的图象与反比例函数y的图象相交于A(m,4),B两点,与x,y轴分别相交于点C,D.且tan∠ACO=2.
(1)分别求这两个函数的表达式;
(2)以点D为圆心,线段DB的长为半径作弧与x轴正半轴相交于点E,连接AE,BE.求△ABE的面积;
(3)根据函数的图象直接写出关于x的不等式k1x+2的解集.
【思路点拔】(1)由y=k1x+2得D(0,2),由tan∠ACO=2,C(﹣1,0),故一次函数解析式为y=2x+2.过A作AM⊥x轴,由tan∠ACO2,得A(1,4),故反比例函数解析式为y.
(2)过A作AN∥y轴,联立y=2x+2和y得x2+x﹣2=0,得B(﹣2,﹣2).E(4,0),求出直线BE解析式为yx,得N(1,﹣1),故△ABE面积(4+1)(4+2)=15.
(3)看图得:当﹣2<x<0或x>1时,k1x+2,即2x+2.
【解答】解:(1)由y=k1x+2得D(0,2),
∵tan∠ACO=2,
∴2,
∴C(﹣1,0),
代入y=k1x+2得k1=2,
∴一次函数解析式为y=2x+2.
过A作AM⊥x轴,如图1.
∴tan∠ACO2,
∵AM=4,
∴CM=2,
∴OM=1,
∴A(1,4),
代入y得k2=4,
∴反比例函数解析式为y.
(2)如图2:过A作AN∥y轴,交BE于N.
联立y=2x+2和y得x2+x﹣2=0,
∴x=﹣2或1,
∴B(﹣2,﹣2).
∴BD2,
∴DE=DB=2,
∴OE4,
∴E(4,0),
设直线BE解析式为y=mx+n,
∴,
∴m,n,
∴直线BE解析式为yx,
∴N(1,﹣1),
∴△ABE面积(4+1)(4+2)=15.
(3)看图得:当﹣2<x<0或x>1时,k1x+2,即2x+2.
31.(2024 泰安)直线y1=kx+b(k≠0)与反比例函数的图象相交于点A(﹣2,m),B(n,﹣1),与y轴交于点C.
(1)求直线y1的表达式;
(2)若y1>y2,请直接写出满足条件的x的取值范围;
(3)过C点作x轴的平行线交反比例函数的图象于点D,求△ACD的面积.
【思路点拔】(1)分别将点A(﹣2,m)、点B(n,﹣1)代入 中,求出m、n的值,再分别代入 y1=kx+b中,即可得出答案;
(2)数形结合即可得出答案;
(3)把y=3代入中,求出点D的坐标,再根据三角形的面积公式即可求出答案.
【解答】解:(1)分别将点A(﹣2,m)、点B(n,﹣1)代入 中,
即﹣2m=﹣8,﹣n=﹣8,
解得:m=4,n=8,
∴A点坐标为(﹣2,4),B点坐标为(8,﹣1),
把A点坐标(﹣2,4),B点坐标(8,﹣1)分别代入 y1=kx+b,
即
∴一次函数表达式为 .
(2)由图象可知,
当y1>y2时,x<﹣2或0<x<8.
(3)把y=3时代入中,
得 ,
∴D点坐标为 ,
,
∴.
32.(2024 东营)如图,一次函数y=mx+n(m≠0)的图象与反比例函数y(k≠0)的图象交于点A(﹣3,a),B(1,3),且一次函数与x轴,y轴分别交于点C,D.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式;
(2)根据图象直接写出不等式mx+n的解集;
(3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P,使得S△OCP=4S△OBD,求点P的坐标.
【思路点拔】(1)待定系数法求出两个函数解析式即可;
(2)根据函数图象及交点坐标直接写出不等式的解集即可;
(3)根据一次函数解析式先求出点C、D坐标,再设点P大坐标为(m,)利用三角形面积公式计算出m值即可得到点P的坐标.
【解答】解:(1)∵一次函数y=mx+n(m≠0)的图象与反比例函数y的图象交于点A(﹣3,a),B(1,3),
∴k=1×3=﹣3×a,
∴k=3,a=﹣1,
∴反比例函数解析式为y,
一次函数y=mx+n图象过A(﹣3,﹣1),B(1,3),
,解得,
一次函数解析式为y=x+2;
(2)由图象可知,不等式mx+n的解集为:﹣3<x<0或x>1.
(3)在一次函数y=x+2中,当x=0时,y=2;当y=0时,x=﹣2,
∴C(﹣2,0),D(0,2)
∴S△OBD1,
∴S△OCP=4S△OBD=4,
设点P大坐标为(m,),
∴4,
解得m,
∴点P(,﹣4).
33.(2024 济南)已知反比例函数的图象与正比例函数y=3x(x≥0)的图象交于点A(2,a),点B是线段OA上(不与点A重合)的一点.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)如图1,过点B作y轴的垂线l,l与的图象交于点D,当线段BD=3时,求点B的坐标;
(3)如图2,将点A绕点B顺时针旋转90°得到点E,当点E恰好落在的图象上时,求点E的坐标.
【思路点拔】(1)待定系数法求出反比例函数解析式即可;
(2)设点B(m,3m),那么点D(m+3,3m),利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可;
(3)过点B作FH∥y轴,过点E作EH⊥FH于点H,过点A作AF⊥FH于点F,∠EHB=∠BFA=90°,可得△EHB≌△BFA(AAS),则设点B(n,3n),EH=BF=6﹣3n,BH=AF=2﹣n,得到点E(6﹣2n,4n﹣2),根据反比例函数图象上点的坐标特征求出n值,继而得到点E坐标.
【解答】解:(1)将A(2,a)代入y=3x得a=3×2=6,
∴A(2,6),
将A(2.6)代入 得 ,解得k=12,
∴反比例函数表达式为 ;
(2)设点B(m,3m),那么点D(m+3,3m),
由 可得xy=12,所以3m(m+3)=12,
解得 m1=1,m2=﹣4 (舍去),
∴B(1,3);
(3)如图2,过点B作FH∥y轴,过点E作EH⊥FH于点H,
过点A作AF⊥FH于点F,∠EHB=∠BFA=90°,
∴∠HEB+∠EBH=90°,
∵点A绕点B顺时针旋转 90°,
∴∠ABE=90°,BE=BA,
∴∠EBH+∠ABF=90°
∴∠BEH=∠ABF,
∴△EHB≌△BFA(AAS),
设点B(n,3n),EH=BF=6﹣3n,BH=AF=2﹣n,
∴点E(6﹣2n,4n﹣2),
∵点E在反比例函数图象上,
∴(4n﹣2)(6﹣2n)=12,
解得 ,n2=2(舍去).
∴点E(3,4).
34.(2024 青岛)如图,点A1,A2,A3,…,An,An+1为反比例函数y(k>0)图象上的点,其横坐标依次为1,2,3,…,n,n+1.过点A1,A2,A3,…,An作x轴的垂线,垂足分别为点H1,H2,H3,…,Hn;过点A2作A2B1⊥A1H1于点B1,过点A3作A3B2⊥A2H2于点B2,…,过点An+1作An+1Bn⊥AnHn于点Bn.
记△A1B1A2的面积为S1,△A2B2A3的面积为S2,…,△AnBnAn+1的面积为Sn.
(1)当k=2时,点B1的坐标为 (1,1) ,
S1+S2= ,
S1+S2+S3= ,
S1+S2+S3+ +Sn= (用含n的代数式表示);
(2)当k=3时,S1+S2+S3+ +Sn= (用含n的代数式表示).
【思路点拔】(1)当k=2时,可得到反比例函数解析式,从而求得图象上各点坐标,能用坐标表示各个三角形的面积,利用各三角形面积相加时,能消去相邻两数的方法,从而得到结果;
(2)k=3时,得到函数解析式,类比第(1)题的方法,得到结果.
【解答】解:(1)当k=2时,y,
当x=1时,y=2;当x=2时,y=1,
∴A1(1,2),A2(2,1),
∴B1H1=1,
∴B1=(1,1),
同理:
,,
∴,
,
,
……
,
∴;
,
……
S1+S2+S3+ +Sn;
故答案为:(1,1),,,;
(2)当k=3时,y,
∴,
∴S1+S2+S3+……+Sn.
故答案为:.
35.(2024 山东)列表法、表达式法、图象法是三种表示函数的方法,它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系.下表是函数y=2x+b与y部分自变量与函数值的对应关系:
x a 1
2x+b a 1 7
﹣2 7
(1)求a、b的值,并补全表格;
(2)结合表格,当y=2x+b的图象在y的图象上方时,直接写出x的取值范围.
【思路点拔】(1)根据表格信息建立方程组求解a,b的值,再求解k的值,再补全表格即可;
(2)由表格信息可得两个函数的交点坐标,再结合函数图象可得答案.
【解答】解:(1)当时,2x+b=a,即﹣7+b=a,
当x=a时,2x+b=1,即2a+b=1,
∴,
解得:,
∴一次函数为y=2x+5,
当x=1时,y=7,
∵当x=1时,,即k=7,
∴反比例函数为:,
当时,,
当y=1时,x=a=﹣2,
当x=﹣2时,,
补全表格如下:
x ﹣2 1
2x+b ﹣2 1 7
﹣2 7
故答案为:7;﹣2;;
(2)由表格信息可得:两个函数的交点坐标分别为,(1,7),
∴当y=2x+b的图象在的图象上方时,x的取值范围为或x>1;
36.(2024 潍坊)如图,正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是.点在直线上,过点P作y轴的平行线,交的图象于点Q.
(1)求这个反比例函数的表达式;
(2)求△OPQ的面积.
【思路点拔】(1)利用正比例函数求出点A的坐标,再代入反比例函数的表达式即可求解;
(2)分别求出P、Q的坐标,得到PQ的长度,再根据坐标与图形以及三角形的面积公式计算即可求解;
【解答】解:(1)把代入得,,
∴m=﹣3,
∴,
把代入得,,
∴,
∴反比例函数的表达式为;
(2)把代入得,,
∴,
∵PQ∥y轴,
∴点Q的横坐标为,
把代入得,,
∴,
∴,
∴.
37.(2024 烟台)如图,正比例函数y=x与反比例函数y的图象交于点A(,a).将正比例函数图象向下平移n(n>0)个单位后,与反比例函数图象在第一、三象限交于点B,C,与x轴,y轴交于点D,E,且满足BE:CE=3:2,过点B作BF⊥x轴,垂足为点F,G为x轴上一点,直线BC与BG关于直线BF成轴对称,连接CG.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)求n的值及△BCG的面积.
【思路点拔】(1)待定系数法求出反比例函数解析式即可;
(2)作BG⊥y轴,CH⊥y轴,正比例函数向下平移n个单位后得到直线BC的解析式为y=x﹣n.证明△GBE∽△HCE后利用相似比得到点B(3a,),则C(﹣2a,),根据一次函数图象上点的坐标特征列出方程组求出a、n,得到E(0,﹣1),D(1,0),B(3,2),G(5,0),C(﹣2,﹣3),依据S△BCG=S△BDG+S△CDG计算即可.
【解答】解:(1)∵点A(,a)在直线y=x的图象上,
∴A(,),
∵点A(,)在反比例函数y的图象上,
∴k=6,
∴反比例函数解析式为y;
(2)正比例函数向下平移n个单位后得到直线BC的解析式为y=x﹣n(n>0).
如图,作BQ⊥y轴,CH⊥y轴,
∴BQ∥CH,
∴△QBE∽△HCE,
∵BE:CE=3:2,
∴,
设点B(3m,),则C(﹣2m,),
∵点B、C在直线y=x﹣n的图象上,
,
解得,
∴直线BC解析式为y=x﹣1,
∵直线BC与BG关于直线BF成轴对称,
∴E(0,﹣1),D(1,0),B(3,2),G(5,0),C(﹣2,﹣3),
∴GD=4,
∴S△BCG=S△BDG+S△CDG10.
38.(2024 德州)已知抛物线y=x2﹣4mx+2m+1,m为实数.
(1)如果该抛物线经过点(4,3),求此抛物线的顶点坐标.
(2)如果当2m﹣3≤x≤2m+1时,y的最大值为4,求m的值.
(3)点O(0,0),点A(1,0),如果该抛物线与线OA(不含端点)恰有一个交点,求m的取值范围.
【思路点拔】(1)依据题意,利用待定系数法求得m的值,即可求得解析式,然后把解析式核查顶点式,即可求得顶点坐标;
(2)依据题意,求得抛物线的对称轴为直线x=2m,根据题意当x=2m﹣3时,y=4,代入解析式求解即可;
(3)依据题意,抛物线y=x2﹣4mx+2m+1与线段OA恰有一个交点,从而或,进而计算可以得解.
【解答】解:(1)∵抛物线y=x2﹣4mx+2m+1经过点(4,3),
∴16﹣16m+2m+1=3,
解得m=1,
∴y=x2﹣4x+3,
∵y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,
∴此抛物线的顶点坐标为(2,﹣1);
(2)∵y=x2﹣4mx+2m+1=(x﹣2m)2﹣4m2+2m+1;
∴抛物线开口向上,对称轴为直线x=2m,
∵当2m﹣3≤x≤2m+1时,y的最大值为4,
∴当x=2m﹣3时,y=4,
∴(2m﹣3﹣2m)2﹣4m2+2m+1=4,
整理得:2m2﹣m﹣3=0,
∴m或m=﹣1,
故m的值为或﹣1;
(3)∵抛物线y=x2﹣4mx+2m+1与线段OA恰有一个交点,
∴或.
∴m>1或m.
39.(2024 淄博)如图,抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于A(x1,0),B(x2,0)两点(点A在点B的左侧),其中x1,x2是方程x2﹣2x﹣3=0的两个根,抛物线与y轴相交于点C.
(1)求该抛物线对应的函数表达式;
(2)已知直线l:y=3x+9与x,y轴分别相交于点D,E.
①设直线BC与l相交于点F,问在第三象限内的抛物线上是否存在点P,使得∠PBF=∠DFB?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;
②过抛物线上一点M作直线BC的平行线.与抛物线相交于另一点N.设直线MB,NC相交于点Q.连接QD,QE.求线段QD+QE的最小值.
【思路点拔】(1)求出点A、B的坐标,再用待定系数法即可求得函数解析式;
(2)①求出角的关键信息,再用三角函数即可求解;
②运用轴对称求两条线段和最短即将军饮马模型在函数中运用即可得解.
【解答】解:(1)∵x1,x2是x2﹣2x﹣3=0的两个根,
∴x1=﹣1,x2=3,
∴A(﹣1,0),B(3,0),
∵抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于A、B两点,
∴,
解得,
∴抛物线函数表达式为y=﹣x2+2x+3;
(2)①存在,理由如下:
∵直线y=3x+9与x、y轴分别交于点D、E,
∴x=0时,y=9,
y=0时,3x+9=0,x=﹣3,
∴点D(﹣3,0)、E(0,9),
∴OD=3,OE=9,
∴tan∠OED,
由抛物线可知:当x=0时,y=3,
∴C(0,3),
∴OB=OC=3,
∴∠OBC=∠OCB=45°,
∴∠FCE=∠OCB=45°,
∵∠DFB是△CEF的外角,
∴∠DFB=∠FCE+∠FEC=45°+∠FEC,
∵∠DFB=∠PBF=∠CBO+∠PBQ=45°+∠PBQ,
∴∠PBQ=∠FEC,
∴tan∠PBQ,
设P(m,﹣m2+2m+3),则BQ=3﹣m,PQ=m2﹣2m﹣3,
∴,
∴m=3(舍去)或,
∴P(,);
②∵过抛物线上一点M作直线BC的平行线,与抛物线相交于另一点N,
设M(x1,y1),N(x2,y2),设直线MN的解析式 为:y=﹣x+n,
设直线BM的解析式为y=k1x+m,
将B(3,0)代入得3k1+m=0,
解得:m=﹣3k1,
∴直线BM的解析式为y=k1x﹣3k1,
设直线CN的解析式为y=k2x+m1,
将C(0,3)代入得m1=3,
∴直线CN的解析式为y=k2x+3;
联立方程组,得x2﹣3x+n﹣3=0,
∴x1+x2=3,
将M(x1,y1)代入y=k1x﹣3k1,y=﹣x2+2x+3 得:
,
∴(k1﹣2)x﹣3(k1+1)=0,
∴(x1﹣3)[x1+(k1+1)]=0,
解得:k1=﹣1﹣x1,
将N(x2,y2)代入y=k2x+3,y=﹣x2+2x+3 得:
,
∴( k2﹣2)x2=0,
∴x2(x2+k2﹣2)=0,
解得:k2=2﹣x2,
联立方程组,
得出xQ,
∴点Q在直线x上运动,
在y=3x+9中,令x=0,则y=9,即E(0,9),
如图,作点E关于直线x的对称点E',连接DE'交直线x于Q',连接EQ',则E'(3,9),
由轴对称性质可得EQ'=EQ',
∴QD+QE的最小值=DQ'+EQ'=DQ'+E'Q'=DE',
由两点之间线段最短可得:线段QD+QE的最小值为DE',
∵DE',
∴线段QD+QE的最小值为.
40.(2024 日照)已知二次函数y=﹣x2+(2a+4)x﹣a2﹣4a(a为常数).
(1)求证:不论a为何值,该二次函数图象与x轴总有两个公共点;
(2)当a+1≤x≤2a+5(a≥﹣1)时,该二次函数的最大值与最小值之差为9,求此时函数的解析式;
(3)若二次函数图象对称轴为直线x=1,该函数图象与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C.点C关于对称轴的对称点为D,点M为CD的中点,过点M的直线l(直线l不过C,D两点)与二次函数图象交于E,F两点,直线CE与直线DF相交于点P.
①求证:点P在一条定直线上;
②若S△COPS△ABP,请直接写出满足条件的直线l的解析式,不必说明理由.
【思路点拔】(1)当y=0时,解得方程的两个根,从而得出结论;
(2)可判定得出根据抛物线的顶点取最大值,当x=2a+5取得最小值,进一步得出结果;
(3)作FG⊥CD于G,作FH⊥对称轴x=1于点H,作PQ⊥CD于Q,作PV⊥FH于V,作DW⊥FH于W,设E(m,﹣m2+2x+3),F(n,﹣n2+2n+3),根据tan∠FMG=tan∠MFH得出,从而得出mn=m+n﹣2,设P(x,y),根据同理可得,,得出,,从而得出x,y把mn=m+n﹣2代入y=5,从而得出点P在一条定直线上y=5上;
②可求得S△ABP,根据S△COPS△ABP求得xP=±4,当xP=4时,可求得F(﹣1,0),进而求得直线l的解析式为:y,同样方法求得当x=﹣4时直线l的解析式.
【解答】(1)证明:当y=0时,
﹣x2+(2a+4)x﹣a2﹣4a=0,
∴(x﹣a)(x﹣a﹣4)=0,
∴x1=a,x2=a+4,
∴不论a为何值,该二次函数图象与x轴总有两个公共点;
(2)解:∵y=﹣(x﹣a﹣2)2+4,
∴抛物线的顶点是(a+2,4),
∵a≥﹣1,
∴(2a+5)﹣(a+2)=a+3≥2,
∴a+1<a+2<2a+5,
∴y最大=4,y最小=﹣(a+3)2+4,
∵当a+1≤x≤2a+5(a≥﹣1)时,该二次函数的最大值与最小值之差为9,
∴4+(a+3)2﹣4=9,
∴a=﹣6(舍去)或a=0,
∴y=﹣x2+4x;
(3)①证明:如图,
作FG⊥CD于G,作FH⊥对称轴x=1于点H,作PQ⊥CD于Q,作PV⊥FH于V,作DW⊥FH于W,
∵对称轴x=a+2=1,
∴a=﹣1,
∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+2x+3,D(2,3),M(1,3),
设E(m,﹣m2+2x+3),F(n,﹣n2+2n+3),
∵CD∥FH,
∴∠FMG=∠MFH,
∴tan∠FMG=tan∠MFH,
∴,
∴,
化简得,
(m﹣n)(mn﹣m﹣n+2)=0,
∵m﹣n≠0,
∴mn﹣m﹣n+2=0,
∴mn=m+n﹣2,
设P(x,y),
同理可得,
,
∴,,
∴x,y
把mn=m+n﹣2代入y=5,
∴点P在一条定直线上y=5上;
②解:由﹣x2+2x+3=0得,
x1=﹣1,x2=3,
∴A(﹣1,0),B(3,0),
∴AB=4,
∵yP=5,
∴S△ABP,
∵S△COPS△ABP,
∴,
∴6,
∴xP+±4,
当xP=4时,
,
又mn﹣m﹣n+2=0,
∴或(舍去),
当n=﹣1时,﹣n2+2n+3=﹣1﹣2+3=0,
∴F(﹣1,0),
∵M(1,3),
∴直线l的解析式为:y,
当x=﹣4时,
,
∴或(舍去),
∴,
∴F(),
∴直线l的解析式为:yx,
综上所述:当S△COPS△ABP时,直线l的解析式为:y或yx.
41.(2024 青岛)5月中旬,樱桃相继成熟,果农们迎来了繁忙的采摘销售季.为了解樱桃的收益情况,从第1天销售开始,小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析:
A樱桃园:
第x天的单价、销售量与x的关系如表:
单价(元/盒) 销售量(盒)
第1天 50 20
第2天 48 30
第3天 46 40
第4天 44 50
… … …
第x天 10x+10
第x天的单价与x近似地满足一次函数关系,已知每天的固定成本为745元.
B樱桃园:
第x天的利润y2(元)与x的关系可以近似地用二次函数y2=ax2+bx+25刻画,其图象如图:
(1)A樱桃园第x天的单价是 (﹣2x+52) 元/盒(用含x的代数式表示);
(2)求A樱桃园第x天的利润y1(元)与x的函数关系式;(利润=单价×销售量﹣固定成本)
(3)①y2与x的函数关系式是 y2=﹣30x2+500x+25 ;
②求第几天两处樱桃园的利润之和(即y1+y2)最大,最大是多少元?
(4)这15天中,共有 4 天B樱桃园的利润y2比A樱桃园的利润y1大.
【思路点拔】根据表格和图象找出关键信息,运用待定系数法求出一次函数和二次函数的解析式,即可解决最值问题.
【解答】解:(1)设第x天的单价m元与x满足的一次函数关系式为:m=kx+b,
由题中表格可知:当x=1时,m=50;当x=2时,m=48;
∴,解得,
∴m=﹣2x+52,
故答案为:﹣2x+52;
(2)根据题意可得:y1=(﹣2x+52)(10x+10)﹣745,
化简整理得:,
∴A樱桃园第x天的利润y1(元)与x的函数关系式为:;
(3)①由图象可知:二次函数的图象经过点(1,495)、(2,905),
∴,解得,
∴y2=﹣30x2+500x+25,
故答案为:y2=﹣30x2+500x+25;
②50x2+1000x﹣200
=﹣50(x﹣10)2+4800,
∵﹣50<0,
∴当x=10时,y1+y2有最大值4800,
∴第10天两处的樱桃园的利润之和最大,最大是4800元;
(4)由题可知:y2>y1,
∴﹣30x2+500x+25>﹣20x2+500x﹣225即﹣10x2>﹣250,
解得:﹣5<x<5,
∵x取正整数,
∴1≤x≤4,
∴这15天中共有4天B樱桃园的利润y2比A樱桃园的利润y1大,
故答案为:4.
42.(2024 济南)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C1:y=x2+bx+c经过点A(0,2),B(2,2),顶点为D;抛物线C2:y=x2﹣2mx+m2﹣m+2(m≠1),顶点为Q.
(1)求抛物线C1的表达式及顶点D的坐标;
(2)如图1,连接AD,点E是抛物线C1对称轴右侧图象上一点,点F是抛物线C2上一点,若四边形ADFE是面积为12的平行四边形,求m的值;
(3)如图2,连接BD,DQ,点M是抛物线C1对称轴左侧图象上的动点(不与点A重合),过点M作MN∥DQ交x轴于点N,连接BN,DN,求△BDN面积的最小值.
【思路点拔】(1)根据抛物线 y=x2+bx+c过点A(0,2),B(2,2)列方程组即可得到结论;
(2)如图1,连接DE,过点E作EG∥y轴,交AD延长线于点G,过点D作DH⊥EG,垂足为H,与y轴交于 H',设点E的横坐标为t.设直线AD的表达式为y=kx+b,解方程组得到直线AD的表达式为 y=﹣x+2,则E(t,t2﹣2t+2),G(t,2﹣t),求得EG=t2﹣t,求得,于是得到S△ADE=S△AGE﹣S△DGE,解方程得到E(4,10),根据平移的性质得到F(5,9);将F(5,9代入y=x2﹣2mx+m2﹣m+2(m≠1),解方程得到m1=2,m2=9;
(3)如图2,过M作MP⊥x轴,垂足为P,过点D作DK∥y轴,过点Q作QK∥x轴,与DK交于点K,设 M(h,h2﹣2h+2),h<1且h≠0,N(n,0),求得抛物线C2的顶点Q(m,2﹣m),得到DK=|1﹣(2﹣m)|=|m﹣1|,KQ=|m﹣1|,推出MP=NP,解方程得到当时,,根据三角形的面积公式即可得到结论.
【解答】解:(1)∵抛物线 y=x2+bx+c过点A(0,2),B(2,2),
得 ,
解得 ,
∴抛物线C1的表达式为y=x2﹣2x+2;
∵y=x2﹣2x+2=(x﹣1)2+1,
∴顶点D(1,1);
(2)如图1,连接DE,过点E作EG∥y轴,交AD延长线于点G,过点D作DH⊥EG,垂足为H,与y轴交于 H',
设点E的横坐标为t.
设直线AD的表达式为y=kx+b,
由题意知 ,
解得 ,
∴直线AD的表达式为 y=﹣x+2,
则E(t,t2﹣2t+2),G(t,2﹣t),
∴EG=t2﹣t,
∵ ADFE的面积为12,
∴S△ADES△四边形ADFE6,
∴S△ADE=S△AGE﹣S△DGE,
∵H′D=1,
∴EG=12,
∴t2﹣t=12,
解得t1=4,t2=﹣3 (舍),
∴E(4,10),
∵点E先向右平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到点F,
∴F(5,9),
将F(5,9)代入y=x2﹣2mx+m2﹣m+2(m≠1),
得m2﹣11m+18=0,
解得m1=2,m2=9,
(3)如图3,过M作MP⊥x轴,垂足为P,过点D作DK∥y轴,过点Q作QK∥x轴,与DK交于点K,
设 M(h,h2﹣2h+2),则N(n,0),
∵y=x2﹣2mx+m2+2﹣m=(x﹣m)2+2﹣m,
∴抛物线C2的顶点Q(m,2﹣m),
∴DK=|1﹣(2﹣m)|=|m﹣1|,KQ=|m﹣1|,
∴DK=KQ,∠DQK=45°,
∵MN∥DQ KQ∥NP,
∴∠MNP=∠DQK=45°,
∴∠NMP=45°,
∴MP=NP,
∴n﹣h=h2﹣2h+2,
∴n=h2﹣h+2=(h)2,
∴当时,,
∴点N横坐标最小值为,此时点N到直线BD距离最近,△BDN的面积最小,
最近距离即边BD上的高,高为:,
∴△BDN面积的最小值为S△BDN.
43.(2024 潍坊)2024年6月,某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗,计划在商场的屋顶和外墙建造隔热层,其建造成本P(万元)与隔热层厚度x(cm)满足函数表达式:P=10x.预计该商场每年的能源消耗费用T(万元)与隔热层厚度x(cm)满足函数表达式:,其中0≤x≤9.设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为y(万元).
(1)若y=148万元,求该商场建造的隔热层厚度;
(2)已知该商场未来8年的相关规划费用为t(万元),且t=y+x2,当172≤t≤192时,求隔热层厚度x(cm)的取值范围.
【思路点拔】(1)根据题意可以得出y=﹣x2+4x+160,再令y=148,解一元二次方程求解即可;
(2)将(1)中y=﹣x2+4x+160代入t=y+x2,可得出t与x的关系式t=4x+160,然后利用一次函数的性质,即可求出x的取值范围.
【解答】解:(1)由题意得:,
整理得y=﹣x2+4x+160,
当y=148时,则﹣x2+4x+160=148,
解得:x1=6,x2=﹣2.
∵0≤x≤9,
∴x2=﹣2不符合题意,舍去,
答:该商场建造的隔热层厚度为6cm.
(2)由(1)得y=﹣x2+4x+160,
∵t=y+x2,
∴t=﹣x2+4x+160+x2=4x+160(172≤t≤192).
∵4>0,
∴t随x的增大而增大,
当t=172时,4x+160=172,
解得x=3;
当t=192时,4x+160=192,
解得x=8;
答:x的取值范围为3≤x≤8.
44.(2024 东营)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(2,0)两点,与y轴交于点C,点D是抛物线上的一个动点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)当点D在直线BC下方的抛物线上时,过点D作y轴的平行线交BC于点E,设点D的横坐标为t,DE的长为l,请写出l关于t的函数表达式,并写出自变量t的取值范围;
(3)连接AD,交BC于点F,求的最大值.
【思路点拔】(1)将点A和点B坐标代入抛物线的解析式得出方程组,解方程组,进而得出结果;
(2)先求出直线BC的解析式,进而表示出DE的长,进一步得出结果;
(3)分四种情形:当0<t<2时,作AG∥DE,交BC于G,可得出△DEF∽△AGF,从而,进而得出(t﹣1)2,进一步得出结果.
【解答】解:(1)由题意得,
,
∴,
∴抛物线的表达式为:y=x2﹣x﹣2;
(2)设直线BC的函数表达式为:y=mx+n,
∴,
∴,
∴y=x﹣2,
∴E(t,t﹣2),
∵D(t,t2﹣t﹣2),
∴l=(t﹣2)﹣(t2﹣t﹣2)=﹣t2+2t(0<t<2);
(3)如图1,
当0<t<2时,
作AG∥DE,交BC于G,
∴△DEF∽△AGF,
∴,
把x=﹣1代入y=x﹣2得,
y=﹣3,
∴AG=3,
∴(t﹣1)2,
∵当x=1时,最大,
∵,
∴最大.
45.(2024 济宁)某商场以每件80元的价格购进一种商品,在一段时间内,销售量y(单位:件)与销售单价x(单位:元/件)之间是一次函数关系,其部分图象如图所示.
(1)求这段时间内y与x之间的函数解析式;
(2)在这段时间内,若销售单价不低于100元,且商场还要完成不少于220件的销售任务,当销售单价为多少时,商场获得利润最大?最大利润是多少?
【思路点拔】(1)依据题意,设一次函数的解析式为y=kx+b,又过(100,300),(120,200),可得方程组,计算即可得解;
(2)依据题意得,,故100≤x≤116,又商场获得的利润=(x﹣80)(﹣5x+800)=﹣5(x﹣120)2+8000,结合﹣5<0,100≤x≤116,进而可以计算得解.
【解答】解:(1)由题意,设一次函数的解析式为y=kx+b,
又过(100,300),(120,200),
∴.
∴.
∴所求函数解析式为y=﹣5x+800.
(2)由题意得,,
∴100≤x≤116.
∵商场获得的利润=(x﹣80)(﹣5x+800)
=﹣5x2+1200x﹣64000
=﹣5(x﹣120)2+8000,
又﹣5<0,100≤x≤116,
∴当x=116时,利润最大,最大值为7920.
答:当销售单价为116时,商场获得利润最大,最大利润是7920元.
46.(2024 烟台)每年5月的第三个星期日为全国助残日,今年的主题是“科技助残,共享美好生活”.康宁公司新研发了一批便携式轮椅,计划在该月销售.根据市场调查,每辆轮椅盈利200元时,每天可售出60辆;单价每降低10元,每天可多售出4辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售,但每辆轮椅的利润不低于180元.设每辆轮椅降价x元,每天的销售利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式;每辆轮椅降价多少元时,每天的销售利润最大?最大利润为多少元?
(2)全国助残日当天,公司共获得销售利润12160元,请问这天售出了多少辆轮椅?
【思路点拔】(1)根据单价每降低10元,每天可多售出4辆.可得单价每降低1元,每天可多售出0.4辆,那么单价每降低x元,每天可多售出0.4x辆.销售利润=每辆轮椅的销售利润×(原销售量+增加的销售量),把得到的函数关系式整理为顶点式,进而根据每辆轮椅的利润不低于180元得到自变量的取值范围,代入到函数关系式可得最大利润;
(2)取y=12160,代入(1)中得到的函数关系式,求得合适的x的解即可.
【解答】解:(1)y=(200﹣x)(60+4)
=﹣0.4x2+20x+12000.
=﹣0.4(x2﹣50x+625)+12250
=﹣0.4(x﹣25)2+12250.
∵200﹣x≥180,
∴x≤20.
∴当x=20时,利润最大,最大利润为:﹣0.4(20﹣25)2+12250=12240(元).
答:y与x的函数关系式为:y=﹣0.4x2+20x+12000;每辆轮椅降价20元时,每天的销售利润最大,最大利润为12240元;
(2)12160=﹣0.4(x﹣25)2+12250
0.4(x﹣25)2=12250﹣12160
0.4(x﹣25)2=90
(x﹣25)2=225.
解得:x1=40(不合题意,舍去),x2=10.
∴售出轮椅的辆数为:60+464(辆).
答:这天售出了64辆轮椅.
47.(2024 滨州)春节期间,全国各影院上映多部影片,某影院每天运营成本为2000元,该影院每天售出的电影票数量y(单位:张)与售价x(单位:元/张)之间满足一次函数关系(30≤x≤80,且x是整数),部分数据如下表所示:
电影票售价x(元/张) 40 50
售出电影票数量y(张) 164 124
(1)请求出y与x之间的函数关系式;
(2)设该影院每天的利润(利润=票房收入﹣运营成本)为w(单位:元),求w与x之间的函数关系式;
(3)该影院将电影票售价x定为多少时,每天获利最大?最大利润是多少?
【思路点拔】(1)根据题意和表格中的数据,可以计算出y与x之间的函数关系式;
(2)根据利润=票房收入﹣运营成本和(1)中的结果,可以写出w与x之间的函数关系式;
(3)将(2)中的函数解析式化为顶点式,再根据二次函数的性质和x的取值范围,可以求得该影院将电影票售价x定为多少时,每天获利最大,最大利润是多少.
【解答】解:(1)设y与x之间的函数关系式是y=kx+b,
由表格可得,,
解得,
即y与x之间的函数关系式是y=﹣4x+324(30≤x≤80,且x是整数);
(2)由题意可得,
w=x(﹣4x+324)﹣2000=﹣4x2+324x﹣2000,
即w与x之间的函数关系式是w=﹣4x2+324x﹣2000(30≤x≤80);
(3)由(2)知:w=﹣4x2+324x﹣2000=﹣4(x)2+4561,
∵30≤x≤80,且x是整数,
∴当x=40或41时,w取得最大值,此时w=4560,
答:该影院将电影票售价x定为40元或41元时,每天获利最大,最大利润是4560元.
48.(2024 烟台)如图,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,OC=OA,AB=4,对称轴为直线l1:x=﹣1.将抛物线y1绕点O旋转180°后得到新抛物线y2,抛物线y2与y轴交于点D,顶点为E,对称轴为直线l2.
(1)分别求抛物线y1和y2的表达式;
(2)如图1,点F的坐标为(﹣6,0),动点M在直线l1上,过点M作MN∥x轴与直线l2交于点N,连接FM,DN,求FM+MN+DN的最小值;
(3)如图2,点H的坐标为(0,﹣2),动点P在抛物线y2上,试探究是否存在点P,使∠PEH=2∠DHE?若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【思路点拔】(1)由待定系数法即可求解;
(2)证明四边形FF′NM平行四边形,则FM+MN+DN=F′N+ND′+MN=F′D′+22=32为最小;
(3)当点P(P′)在BE的右侧时,∠PEH=2∠DHE,则EP′和HE关对称轴l2对称,求出直线EP′的表达式为:y=2(x﹣1)﹣4,即可求解;当点P在BE的左侧时,由NH=NE,求出N(0,),即可求解.
【解答】解:(1)设点A、B的坐标分别为:(t,0)、(t+4,0),
则x=﹣1(t+t+4),
解得t=﹣3,
即点A、B的坐标分别为:(﹣3,0)、(1,0),
∵OC=OA,则点C(0,3),
则抛物线y1得表达式为:y1=a(x+3)(x﹣1)=a(x2+2x﹣3),
则﹣3a=3,则a=﹣1,
则y1=﹣x2﹣2x+3;
根据图形的对称性,y2=x2﹣2x﹣3;
(2)作点D关于l2的对称点D′(2,﹣3),将点F向右平移2个单位(MN=2),连接D′F′交直线l2于点N,过点N作NM⊥l1交于点M,连接FM,
∵F′F∥MN,FF′=MN,则四边形FF′NM平行四边形,则FM=F′N,
则FM+MN+DN=F′N+ND′+MN=F′D′+22=32为最小;
(3)由抛物线y2的表达式知,点D(0,﹣3)、点E(1,﹣4),
由点H、E的坐标得,直线HE的表达式为:y=﹣2x﹣2,
当点P(P′)在BE的右侧时,
∵∠PEH=2∠DHE,则EP′和HE关对称轴l2对称,
则直线EP′的表达式为:y=2(x﹣1)﹣4,
联立上式和抛物线y2得表达式得:2(x﹣1)﹣4=x2﹣2x﹣3,
解得:x=1(舍去)或3,
即点P′(3,0);
当点P在BE的左侧时,见如图右侧放大图,设直线PE交y轴于点N,
∵∠PEH=2∠DHE,
过点E(1,﹣4)作∠PEH的角平分线EK交HD于点K,
作HE的中垂线JK,交HD于点J,交HE于点L,过点E作EW⊥HD交于点W
则∠JHL=∠JEH=∠EHJ=α,
由点H、E的坐标得,直线HE的表达式为:y=﹣2x﹣2,
则点L(,﹣3),
直线JL的表达式为:y(x)﹣3x,
则点J(0,),则HJ=JF,
∵∠JHL=∠JEH=∠EHJ=α,∠EKJ=∠HKF,
∴△EKJ∽△HKE,
则,
设KJm,则KE=4m,
则点K(0,m),
在Rt△KEW中,KW2+WE2=KE2,
即(m+4)2+1=4m2,
解得:m,
则点K(0,),
由点K、E的坐标得,直线KE的表达式为:yx,
联立上式和抛物线的表达式得:x2﹣2x﹣3x,
解得:x,
则点P(,);
综上,点P的坐标为:(3,0)或(,).