【全国百强校】内蒙古元宝山区平煤高级中学高中数学人教版必修五同步学案：1.2应用举例（无答案）

1.2应用举例
学习目标：
1.能结合正余弦定理进行三角形面积的计算。
2.会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；
3.搞清利用解三角形可解决的各类应用问题的基本图形和等量关系；
4.理解应用题中的名词术语，如坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等；
5.熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化；
6.通过解三角形应用的学习，提高运用所学知识解决实际问题的能力
知识要点：
1.利用正余弦定理测量距离、高度、角度；
2.利用正余弦定理解决有关三角形的计算及一些三角恒等式的证明：
（1）三角形面积公式： = = 。
（2）射影定理：在中， ， ， 。
典型例题：
（一）测量距离：
【例1】如图，设两点在河的两岸，要测量两点间的距离。测量者在的同侧，在所在的河岸边选定一点，测量出，，，求（精确到0.1m）。
【例2】 如图，设两点在河的对岸（不可到达），设计一种测量距离的方法。
（二）测量高度：
【例3】是底部不可到达的一个建筑物，为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度的方法。
【例4】在山顶铁塔上处测得地面上一点的俯角，在塔底处测得处的俯角
，已知铁塔部分的高为27.3m，求山高（精确到1m）
【例5】一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧远处一山顶在西偏北的方向上，行驶5km后到达处，测得山顶在西偏北的方向上，仰角为，求山高（精确到1m）
（三）测量角度：
【例6】一艘海轮从出发，沿北偏东的方向航行海里后到达海岛，然后从出发，沿北偏东的方向航行54.0海里后到达海岛，如果下次航行直接从出发到达，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行的距离是多少？（角度，距离0.01海里）
（四）计算和证明：
【例7】在中，根据下列条件，求面积（精确到0.1）
（1）；
（2）；
（3）。
【例8】在某城市进行环境建设，要把一个三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形区域改造成公园，这个区域的三条边长分别为68m,88m,127m，此区域面积是多少？（精确到0.1）
【例9】在中，求证：
（1）；
（2）。
当堂检测：
1.已知△ABC的面积为，且，则∠A= 。
2.在中，的对边分别为，已知，，三角形的面积为，求的值为 。
3.已知△ABC的三边长，则△ABC的面积为 。
4.在ΔABC中,，则ΔABC的外接圆直径为 。
5.（1）在中，，求的面积。
（2）在中，，求的外接圆半径和面积。
1. 60°或120° 2. 3. 4.
5．解：（1），
，
。
（2）因为，所以的外接圆半径，
面积。
6.解：（1）cosC=cos[(A+B)]=cos(A+B)=， ∴C=120；
（2）由题设：
∴AB2=AC2+BC22AC BC osC
， 即AB=；
（3）S△ABC=。
5.三角形的面积公式：
（1）＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
（2）＝absinC＝bcsinA＝acsinB；
（3）＝＝＝；
（4）＝2R2sinAsinBsinC。（R为三角形外接圆半径）
（5）＝；
（6）＝；；
（7）＝r·；（r为三角形内切圆半径）。