【全国百强校】内蒙古元宝山区平煤高级中学高中数学人教版必修五同步学案：2.1数列的概念与简单表示法（无答案）

2．1 数列的概念与简单表示法
学习目标：
1.理解数列的概念，了解数列的分类；
2.理解数列是自变量为正整数的一类函数，了解数列的几种表示方法（列表、图象、通项公式）；
3.能根据数列的前几项，总结项与序号的关系，写出通项公式。
4.了解数列的递推公式，能根据递推公式写出数列的前几项；
知识要点：
1．按照一定的顺序排列着的一列数称为 ，数列中的每一个数叫做这个数列的 。数列中的每一项都与它的 有关，排在第一位的数称为这个数列的 （也叫 ），排在第二位的数称为这个数列的 ，……，排在第位的数称为这个数列的 。数列的一般形式可写成： ，简记为 。
2．项数有限的数列叫做有 ，项数无限的数列叫做 。
3．从第2项起，每一项都大于它的前一项的 ( http: / / www.21cnjy.com )数列叫做 ；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做 ；各项相等的数列叫做 ；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做 。
4．数列可以看成以 （或 ）为定义域的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列 。
5.如果数列的 与 之间的关系可以用 来表示，那么这个公式叫做这个数列的 。如三角形数列的通项公式 ；正方形数列的通项公式 。
6．在数列中，，由可计算出，…，像这样给出数列的方法叫做 ，其中称为 。递推公式也是数列的一种表示方法。
7.数列的表示方法： ， ， ， 。
典型例题：
【例1】下面的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？
（1）0，1，2，3，…。 （2）82,93,105,119,129,130,132.
（3）3,3,3,3，…。 （4）100,50,20,10,5,2,1,0.5,0.2,0.1,0.05,0.02,0.01.
（5）-1,1，-1,1，…。 （6）1,1.4,1.41,1.414，…；和2,1.5,1.42,1.415，…。
【例2】写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1）； （2）。
（3）； （4）
（5） （6）
（7） （8），，，，，…
【例3】谢宾斯基三角形中，着色的三角形个数构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个
通项公式，并画出图像。
【例4】（1）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，猜测第个图中有______个点.
【例5】设数列满足：，写出这个数列的前5项。
【例6】已知数列，，()，写出这个数列的前4项，并根据规律，写出这个数列的一个通项公式。
【例7】已知数列的通项公式为，求证数列为递增数列。
当堂检测：
1．在数列，…中，的值是 。　　
2. 已知数列的通项公式为，那么是这个数列的第 项。
3．设数列，则是这个数列的第 项.
4.在数列中，，，则的值是____________.
5.已知数列的首项，且满足，则此数列的第三项是____________.
6.用火柴棒按下图的方法搭三角形,则所搭6个三角形时所用火柴棒数是 .
7. 已知数列满足下列各式时，分别写出它的前5项
①，，写出它的前5项。
②
8. 写出下面数列的一个通项公式，使它的前5项分别是下列各数：
① 1，，，，；
② ，，，，；
③ 1，，，，；
9.观察下列数列的特点，用适当数字填空，并写出一个通项公式：
① ，，9， ，25， ，49；
② 1，， ，2，， ，.
10. 已知数列的通项公式，且，求。
例6．分析：利用数列的递推公式逐项求值，并根据前4项的特点，寻找规律，猜想数列的通项公式，再给予验证。
解：，，，，猜想。
证明：假设，则，而 ( http: / / www.21cnjy.com )
例7. ，，所以数列为递增数列
例8.，， 所以当时，数列为递增数列，所以当时，数列为递减数列，而为数列的最大项。
练习
1. 2.三 3. 第七项 4. 递增 5. 6. 7.
8. 9.
10．3 解：令，则，
所以当，即时，达到最小值；当，即时，达到最大值。
11．由题意知 解得
∴，∴。
12．（1）设，得，是数列的第项；
　（2）∵，∴，
∴数列是递增数列，
∴当时，有最小值，
又，所以，∴数列是有界数列。
13． ( http: / / www.21cnjy.com )，得，消去，得
或
∴或
14．（1）由，得，，
∵的定义域，∴，∴，
∴
（2）∵，
∴，∴
∴数列为递增数列。