四川省德阳市德阳中学2024-2025学年高一上学期第一次（10 月）数学测试试题（含答案）

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德阳中学高2024级高一第一次数学测试题
说明：
1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将答题卡交回.
2.本试卷满分100分，120分钟完卷.
第Ⅰ卷（选择题共36分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 下列写法中正确的是（　　）
A. B.
C. D.
2. 命题“”的否定为（）
A. B.
C. D.
3. 使不等式成立的一个充分不必要条件是（）
A. B.
C. D.
4. 已知全集，，，则（）
A. B. C. D.
5. 下列结论正确的是（）
A. 若，，则 B. 若，则
C. D. 若，则
6. 设，，，则下列说法错误的是（）
A. ab的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为9 D. 的最小值为
7. 已知关于x不等式的解集为，其中，则的最小值为（）
A. 4 B. C. 2 D. 1
8. 已知不等式解集中的整数恰有个，则实数的取值范围为（）
A B. C. D.
二、选择题
9. 设A、B、I均为非空集合，且满足，则下列各式中正确的是（）
A. B.
C D.
10. 设为实数，已知关于的方程，则下列说法正确的是（）
A. 当时，方程的两个实数根之和为
B. 方程无实数根的一个必要条件是
C. 方程有两个不相等正根的一个充分条件是
D. 方程有一个正根和一个负根的充要条件是
11. 已知正数满足，则下列结论正确的是（）
A. 最大值为1 B. 的最小值为4
C. 的最小值为9 D. 的最小值为
第Ⅱ卷（非选择题共64分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题3分，共9分.将答案直接填在答题卡上）
12. 不等式的解集为________________.
13. 已知实数满足，，则的取值范围是________.
14. 若不等式对任意的恒成立，则的最小值为________.
四、解答题（本大题共5小题，共55分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.）
15. 已知，，其中.
（1）当时，求和；
（2）若，求实数a的取值范围.
16. 求下列不等式的解集：
（1）关于x的不等式的解集是，求不等式的解集.
（2）.
17. 命题：关于的方程有两相异实根，有且仅有一个根大于0且小于2.命题：实数m满足.
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若这两个命题中，有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围.
18. 已知，，，且，证明：
（1）；
（2）.
19. 已知函数.
（1）若不等式的解集为，求实数a的取值范围；
（2）解关于的不等式；
（3），使得不等式有解，求实数的取值范围.
德阳中学高2024级高一第一次数学测试题
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.
【答案】C
2.
【答案】B
3.
【答案】A
4.
【答案】B
5.
【答案】C
6.
【答案】D
7.
【答案】C
8.
【答案】BD
二、选择题
9.
【答案】ACD
10.
【答案】BD
11.
【答案】ABD
第Ⅱ卷（非选择题共64分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题3分，共9分.将答案直接填在答题卡上）
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】##
四、解答题（本大题共5小题，共55分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.）
15.
【解析】
【分析】（1）由一元一次不等式求解，结合交集与并集的运算，可得答案；
（2）由交集的结果可得集合之间的包含关系，利用分类讨论，可得答案.
【小问1详解】
由，则，所以，.
【小问2详解】
由，则，
当时，，可得，解得；
当时，，不合题意；
当时，，由，则不合题意.
综上所述，.
16.
【解析】
【分析】（1）根据不等式的解集求得的关系式，由此求得不等式的解集.
（2）将不等式化成，根据图像，得不等式的解集.
【小问1详解】
∵不等式的解集是，
∴，且的两个根为，
∴，即，
∴不等式即，
∴，解得.
∴不等式的解集为；
【小问2详解】
根据穿根法如图，可知不等式的解集为.
17.
【解析】
【分析】（1）由题意，方程的，且，即可解出的取值范围；
（2）求出命题为真时的取值范围，再分别求出两个命题为假时的取值范围，根据题意，“一真一假”联立不等式组，即可解出的取值范围.
【小问1详解】
若命题为真命题，则有，即或，
设，因为有且仅有一个根大于0且小于2，所以，
即，化简得，所以，
综上所述，的取值范围为：；
【小问2详解】
对于命题：将化为：，即：，
所以当命题为假时：或，
由（1）可知，命题为假时：或，
所以若这两个命题有且仅有一个是真命题时，有：
或，解之得：或，
所以的取值范围是：.
18.
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式可证不等式成立；
（2）利用基本不等式结合“1”的代换可证不等式成立.
【小问1详解】
因为，
当且仅当时等号成立，
故，当且仅当时等号成立，
故成立.
【小问2详解】
,
由基本不等式有，
，
，
故，
当且仅当时等号成立.
19.
【解析】
【分析】（1）利用一元二次不等式恒成立的解法求解即可；
（2）因式分解得到，根据的不同取值范围分类讨论即可；
（3）将问题转化为一元二次方程在给定区间内有解，根据的不同取值范围分类讨论即可.
小问1详解】
不等式的解集为，即恒成立，
当时，的解集不为；
当时，恒成立，则，解得，
所以实数a取值范围为.
【小问2详解】
由题意得，
当时，解得；
当时，是开口向上的抛物线，两根分别为和，
当，即时，的解为或，
当，即时，的解为，
当，即时，的解为或；
当时，是开口向下的抛物线，两根分别为和，且，
此时的解为；
综上，当时，的解集为，当时，的解集为，
当时，的解集为，当时，的解集为，
当时，的解集为.
【小问3详解】
由题意整理得，使得不等式有解，
当时，解得，故使得不等式有解，
当时，是开口向上的抛物线，只需在上即可，
因为的对称轴为，此时对称轴，
所以当，即时，，
整理得，结合可得此时；
当，即时，，结合可得此时；
当时，是开口向下的抛物线，
当时,所以当时，，使得不等式有解，
综上的取值范围为.
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