湘教版数学八年级下册 1.2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ) 导讲练课件(共51张PPT)

(共51张PPT)
1.2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ)
第一章 直角三角形
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
直角三角形三边关系的猜想与验证
勾股定理
勾股定理的应用
勾股定理的逆定理
勾股数
知1－讲
感悟新知
知识点
直角三角形三边关系的猜想与验证
1
1. 常用证法： 验证直角三角形三边之间关系的方法很多，有测量法、几何证明法等，但最常用的是拼图法，即通过拼图构造特殊图形，并根据拼图中各部分面积之间的关系来验证 .
感悟新知
2.著名证法举例：
知1－讲
方法 图形 证明
赵爽“赵爽弦图” 因为大正方形的边长为c，所以大正方形的面积为 c2. 又因为大正方形的面积 =4× ab＋ (a－b)2=a2+b2，所以a2+b2=c2
知1－讲
感悟新知
刘徽“青
朱出入
图” 设大正方形的面积为 S， 则 S=c2. 根据“出入相补，以盈补虚”的原理，有S=a2+b2， 所以 a2+b2=c2
知1－讲
感悟新知
加菲尔德
总统拼图 设梯形的面积为 S，则
S= (a+b) (a+b)=a2+b2+ab. 又S= ab+ ab+ c2=c2+ab，所以 a2+b2=c2
毕达哥拉
斯拼图 由图①得大正方形的面积 =c2+4× ab，由图②得大正方形的面积 =a2+b2+4× ab，比较两式易得 a2+b2=c2
感悟新知
知1－讲
特别提醒
用拼图法证明直角三角形三边关系的思路：
(1) 将图形进行割补拼接形成特殊图形，注意割补拼接时图形之间没有重叠、没有空隙；
(2) 根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式；
(3) 利用等式性质验证结论成立，即拼出图形→写出表示图形面积的式子→找出等量关系→恒等变形→推导结论 .
感悟新知
知1－练
一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启发人们发现了勾股定理的一种验证方法 . 如图 1.2－1 所示，火柴盒的一个侧面 ABCD倒下后到四边形 AB′ C′ D′的位置，连接 AC， AC ′， CC ′， 设 AB=a， BC=b，AC=c. 请利用四边形 BCC′ D′的面积说明勾股定理：
a2+b2=c2.
例1
知1－练
感悟新知
证明： 易知四边形 BCC′ D′为直角梯形，
∴ S 梯形 BCC′ D′ = ( BC+C′ D′ ) · BD′ = .
易得 Rt △ ABC ≌ Rt △ AB′ C′，
∴ AC′ =AC=c，∠ BAC= ∠ B′ AC′ .
∴ ∠ CAC′ =∠ CAB′ +∠ B′ AC′ =∠ CAB′ +∠ BAC=90° .
解题秘方：紧扣“总体面积等于各部分面积之和”进行证明 .
知1－练
感悟新知
详解
Rt△ AB′C′是四边形ABCD中Rt△ABC倒下得到的，因此两个三角形的形状、大小相 同， 所以Rt△ABC≌Rt△AB′C′.
知1－练
感悟新知
整个图形面积等于不重叠、无空隙的各组成部分的面积的和 .
∴ S 梯形 BCC′ D′ =S △ ABC+S △ CAC′ +S △ D′ AC′
= ab+ c2+ ab= .
∴ = ， ∴ a2+b2=c2.
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知2－讲
知识点
勾股定理
2
1.直角三角形的性质定理： 直角三角形两直角边 a， b 的平方和，等于斜边 c 的平方 . 即 a2+b2=c2.
古人称直角三角形的直角边中较短的一边为勾，较长的一边为股，斜边为弦，因此这一性质被称为勾股定理 .
感悟新知
知2－讲
数学语言： 如图 1.2－2，在 Rt △ ABC 中，
∠ C=90°， AB=c， AC=b， BC=a，则 a2+b2=c2.
2.勾股定理的变形公式： a2=c2－ b2； b2=c2 － a2.
知2－讲
感悟新知
特别提醒
1. 勾股定理揭示的是直角三角形的三边的平方关系， 只有在直角三角形中才可以使用勾股定理 .
2. 利用勾股定理，可以在已知直角三角形任意两边的长时求出第三边的长 .
3. 运用勾股定理时，若未确定哪条边是斜边，则要分类讨论，写出所有可能，以免漏解或错解 .
感悟新知
知2－讲
3. 基本思想方法： 勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这一“形”与三边关系这一“数”结合起来，它是数形结合思想的典范 .
感悟新知
知2－练
例2
在 Rt △ ABC 中 , ∠ A，∠ B，∠ C 的对边分别为 a， b，c，∠ C=90° .
解题秘方：利用勾股定理解答 .
知1－练
感悟新知
(1)已知 a=3， b=4, 求 c；
解： ∵∠ C=90°， a=3， b=4，
∴由勾股定理，得 c2===5.
知1－练
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(2)已知 c=19， a=13，求 b（结果保留根号）.
解：∵∠ C=90°， c=19， a=13，
∴由勾股定理，得 b2===8
知1－练
感悟新知
(3)已知 a ∶ b=1 ∶ 2， c=5，求 b.
解：∵ a ∶ b=1 ∶ 2， ∴ b=2a.
又∵∠ C=90°， c=5，
∴由勾股定理，得 a2+(2a) 2=52，
解得 a= (负值舍去) . ∴ b=2 .
知2－练
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解法提醒
分清待求的是斜边还是直角边，以便合理选择是直接用勾股定理还是用勾股定理的变形公式 .
若求斜边，则直接用勾股定理；若求直角边，则用勾股定理的变形公式 .
感悟新知
知2－练
[ 中考·齐齐哈尔 ] 若直角三角形其中两条边的长分别为 3，4，则该直角三角形斜边上的高的长为 ________.
例3
解题秘方：紧扣“所给的较长边可能是直角边或斜边”进行分类解答 .
知2－练
感悟新知
解： 若直角三角形的两直角边长分别为 3，4，
则斜边长为 =5.
设直角三角形斜边上的高为 h，
则×3×4= ×5h，解得 h=2.4.
若直角三角形一条直角边长为 3，斜边长为 4，
则另一条直角边长为 = .
知2－练
感悟新知
答案：2.4 或
设直角三角形斜边上的高为 h1，
则×3× = ×4h1，解得 h1= ．
综上所述，该直角三角形斜边上的高的长为 2.4 或．
知2－练
感悟新知
特别警示
当题中没有图或没有指明哪条边长是斜边长时，需要分类讨论，此题容易忽略4是斜边长的情况 .
知2－练
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方法点拨
直接求直角三角形的边长时一般借助勾股定理求，但一定要分清楚直角边和斜边，若问题没有明确直角边和斜边，则要进行分类讨论 .
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知3－讲
知识点
勾股定理的应用
3
1.勾股定理的应用范围：
勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系 . 利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题 .
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知3－讲
2.勾股定理的应用的常见类型：
(1) 已知直角三角形的任意两边求第三边；
(2)已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系；
(3)证明包含平方(算术平方根)关系的几何问题；
(4)求解几何体表面上的最短路程问题；
(5)构造方程(或方程组)计算有关线段长度， 解决生产、生活中的实际问题 .
知3－讲
感悟新知
特别提醒
运用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
(1) 从实际问题中抽象出几何图形 .
(2) 确定要求的线段所在的直角三角形 .
(3) 找准直角边和斜边， 根据勾股定理建立等量关系并列出等式 .
(4)求得结果 .
知3－练
感悟新知
如图 1.2 － 3，在△ ABC 中，∠ C=90°， AC=2，点 D在 BC 上，∠ ADC=2 ∠ B， AD= ，则 BC 的长为 ________.
例4
解题秘方：紧扣三角形外角的性质及勾股定理解题 .
知3－练
感悟新知
答案： +1
解：∵∠ ADC=2 ∠ B，∠ ADC= ∠ B+ ∠ BAD，∴∠ B= ∠ BAD，
∴ BD=AD= .
∴在 Rt △ ACD 中， CD= =1，
∴ BC= +1.
知3－练
感悟新知
解法提醒
本题通过角的倍数关系得到边的相等关系，以及利用勾股定理求解 .
知3－练
感悟新知
[ 中考·南通 ] 如图 1.2 － 4，一艘轮船位于灯塔 P 的南偏东 60°方向，距离灯塔 P50 海里的 A 处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P的北偏东 45°方向上的 B 处，此时 B 处与灯塔 P的距离为 海里(结果保留根号) ．
例5
知3－练
感悟新知
解： 如图 1.2 － 4，过点 P 作 PC ⊥ AB 于点 C.
在 Rt △ APC 中， AP=50 海里， ∠ APC=90° －60° =30°，∴ AC= AP=25 海里，
∴ PC= =25 (海里) .
解题秘方：将实际问题通过建模转化为直角三角形问题，然后利用勾股定理求解．
知3－练
感悟新知
答案：25
在 Rt △ PCB 中，∠ BPC=90° － 45° =45°，
∴∠ B=45° = ∠ BPC，∴ BC=PC=25 3海里，
∴ PB= =25 (海里) .
知3－练
感悟新知
方法点拨
求三角形的边或高时，可通过作辅助线构造直角三角形，用勾股定理来解决问题 .
感悟新知
知4－讲
知识点
勾股定理的逆定理
4
1. 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三条边长 a， b， c 满足关系： a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形 .
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知4－讲
2. 利用边的关系判定直角三角形的步骤：
(1) “找”： 找出三角形三边中的最长边 .
(2)“算”： 计算较短两边的平方和与最长边的平方 .
(3)“判”： 若两者相等，则这个三角形是直角三角形；否则不是 .
感悟新知
知4－讲
3.勾股定理与其逆定理的关系：
定理 勾股定理 勾股定理的逆定理
区别 (1)勾股定理是以“一个三角
形是直角三角形”为条件，进
而得到这个直角三角形三边长
的关系，即 a2+b2=c2( c 为斜
边长)；
(2)勾股定理是根据直角三角
形探求边的关系，体现了由形到数的转化 (1)勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边长a， b，c 满足 a2+b2=c2”为条件，进而得到这个三角形为直角三角形；
(2)勾股定理的逆定理是由三角形的三边关系探求三角形的形状，体现了由数到形的转化
感悟新知
知4－讲
联系 勾股定理与勾股定理的逆定理的条件和结论相反，勾股定理是直角三角形的性质，而其逆定理是直角三角形的判定，勾股定理及其逆定理都与直角三角形有关
知4－讲
感悟新知
特别提醒
◆勾股定理的逆定理是判定直角三角形的一个依据，在判定时不能说“在直角三角形中”“直角边”“斜边”，因为还没有确定是直角三角形 .
◆ a2+b2=c2 只 是 一 种表现形式，满足a2=b2+c2 或b2=a2+c2 的也是直角三角形，只是这时a或b为斜边 .
感悟新知
知4－练
判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形：
(1)在△ ABC 中，∠ A=25° ，∠ C=65° ；
(2)在△ ABC 中， AC=12， AB=20， BC=16；
(3)一个三角形的三边长 a， b， c 满足 a∶ b∶ c=1∶1∶ 2 .
例6
知4－练
感悟新知
解题秘方：紧扣直角三角形的判定方法解题 .
解： (1)在△ ABC 中，
∵∠ A+ ∠ C=25° +65° =90°，
∴△ ABC 是直角三角形 .
知4－练
感悟新知
(2)在△ ABC 中，∵ AC2+BC2=122+162=202=AB2，
∴△ ABC 是直角三角形 .
(3)设 a=x，则 b=x， c= x.
∵ x2+x2= ( x ) 2，即 a2+b2=c2，
∴这个三角形是直角三角形 .
注意： 这个三角形也是
等腰三角形
知4－练
感悟新知
方法点拨
判断一个三角形是不是直角三角形的方法：
(1) 当已知条件与角度有关时，一般通过计算看 该三角形中是否有两 个角互余来判断；
(2)当已知条件与边有关时，一般通过计算 看 较 短两边的平方和是否等于最长边的平 方来判断 .
感悟新知
知5－讲
知识点
勾股数
5
1.勾股数： 满足 a2+b2=c2 的三个正整数称为勾股数 .
勾股数必须同时满足两个条件：
(1)三个数都是正整数；
(2)两个较小数的平方和等于最大数的平方 .
勾股数有无数组
感悟新知
知5－讲
2. 判别一组数是否为勾股数的一般步骤：
(1)“看”： 看是不是三个正整数；
(2)“找”： 找最大数；
(3)“算”： 计算最大数的平方与两个较小数的平方和；
(4)“判”： 若两者相等，则这三个数是一组勾股数；否则，不是一组勾股数 .
知5－讲
感悟新知
特别提醒
一组勾股数中的各数都乘相同的倍数可以得到一组新的勾股数：如3， 4， 5是勾股数，则6， 8， 10和9，12，15也是勾股数，即如果a， b， c是一组勾股数，那么na，nb， nc ( n 为正整数)也是一组勾股数 .
感悟新知
知5－练
下面四组数中是勾股数的一组是( )
A.6，7，8
B.5，8，13
C.1.5，2，2.5
D.21，28，35
例7
知5－练
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答案：D
解题秘方：紧扣勾股数必须同时满足的两个条件进行判断 .
解：A.62+72 ≠ 82，故不是勾股数； B.52+82 ≠ 132，故不是勾股数； C.1.5 和 2.5 不是正整数，故不是勾股数； D.21，28，35 是正整数，且 212+282=352，故是勾股数．故选 D.
知5－练
感悟新知
方法点拨
确定勾股数的方法：
首先看这三个数是否是正整数， 然后看较小的两个数的平方和是否等于最大数的平方，记住常见的勾股数( 3，4， 5； 5， 12， 13； 8，15， 17； 7， 24， 25 )可以提高解题速度 .
直角三角形的性质和判定(Ⅱ)
三边平方关系
勾股定理的
逆定理
实际应用
几何应用
勾股定理
拼图法
面积法
验证
条件
结论
直角三角形
互逆定理
应用