湘教版数学八年级下册 2.6 菱形 导讲练课件(共29张PPT)

(共29张PPT)
2.6 菱形
第二章 四边形
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
菱形的定义及其性质
菱形的判定
知1－讲
感悟新知
知识点
菱形的定义及其性质
1
1.定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 .
特别提醒
菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等.二者必须同时具备，缺一不可 .
感悟新知
2. 性质如下表：
知1－讲
图形 性质 数学语言
菱形的四条边都相等，对角相等 ∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AB=BC=CD=AD
∠ ABC= ∠ ADC，
∠ BAD= ∠ BCD
菱形的对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角 ∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ OA=OC，BD ⊥ AC，
∠ DAC= ∠ BAC，
∠ ACD= ∠ ACB，
∠ ABD= ∠ CBD，
∠ ADB= ∠ CDB
感悟新知
知1－讲
图形 性质 数学语言
菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴 感悟新知
3. (1) 菱形的面积 = 底 × 高 = 两条对角线长乘积的一半 .
(2)菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形.
知1－讲
知1－练
感悟新知
[ 中考·鞍山 ] 如图 2.6 － 1，在 ABCD 中， G 为 BC 边上一点， DG=DC，延长 DG 交 AB 的延长线于点 E，过点 A 作AF ∥ ED 交 CD 的延长线于点 F. 求证：四边形 AEDF 是菱形 .
例1
知1－练
感悟新知
方法点拨
菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的一种判定方法 .
知1－练
感悟新知
解题秘方：紧扣定义中的“两个条件”进行判断 .
知1－练
感悟新知
证明： ∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠ BAD= ∠ C， AD ∥ BC， AB ∥ CD.
∵ AF ∥ ED，∴四边形 AEDF 是平行四边形 .
∵ AD ∥ BC，∴∠ DGC= ∠ ADE.
∵ DG=DC，∴∠ DGC= ∠ C，∴∠ C= ∠ ADE，
∴∠ BAD= ∠ ADE，∴ AE=DE，
∴平行四边形 AEDF 是菱形 .
知1－练
感悟新知
特别提醒
在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，首先判定这个四边形是平行四边形，再证一组邻边相等 .
知1－练
感悟新知
[ 中考·长沙 ] 如图 2.6 － 2，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E 是边 AB 的中点，若 OE=6，则 BC 的长为 ________.
例2
知1－练
感悟新知
方法点拨
当题目中出现一条边的中点时，往往需要用到直角三角形斜边上的中线的性质；当题目中出现了两条边的中点时，往往需要用到三角形的中位线定理 .
知1－练
感悟新知
解：∵四边形 ABCD 是菱形，∴ OA=OC.
∵点 E 是边 AB 的中点，∴ OE 是△ ABC 的中位线，
∴ BC=2OE=2×6=12.
解题秘方：先根据菱形的性质可得 OA=OC，再根据三角形的中位线定理即可得解 .
答案： 12
知1－练
感悟新知
[ 中考·黔东南州 ] 如图 2.6－3， BD 是菱形 ABCD 的一条对角线，点 E 在 BC 的延长线上，若∠ ADB=32°，则∠ DCE的度数为 _______° .
例3
解题秘方：紧扣菱形的性质、三角形外角的性质求解 .
知1－练
感悟新知
技巧点拨
利用菱形的性质得到线段平行、两角相等，再利用平行线的性质与三角形外角的性质求得结果 .
知1－练
感悟新知
解： ∵菱形 ABCD 是轴对称图形，∠ ADB=32°，
∴∠ CDB= ∠ ADB=32°， AD ∥ BC，
∴∠ DBC= ∠ ADB=32°，
∴∠ DCE = ∠ DBC+ ∠ CDB=32° +32° =64°．
答案： 64
感悟新知
知2－讲
知识点
菱形的判定
2
1. 判定定理 1: 四边都相等的四边形是菱形 .
数学语言： 如图2.6 － 4，
在四边形 ABCD 中，
∵ AB=BC=CD=DA，
∴四边形 ABCD 是菱形 .
感悟新知
知2－讲
2. 判定定理 2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形 .
数学语言：
如图 2.6 － 4，在 ABCD 中，
∵ AC ⊥ BD，
∴ ABCD 是菱形 .
知2－讲
感悟新知
特别提醒
1. 菱形的判定定理和性质定理是互逆定理 .
2. 判定菱形的常见思路
四边形
平行四边形
可依据题目特点选取不同的方法 .
感悟新知
知2－练
[ 中考·襄阳 ] 如图 2.6－5， BD 为 ABCD 的对角线 .
例4
解题秘方： (1)按照垂直平分线的作法作图即可； (2)证明△ DEO ≌△ BFO，得到 DE=BF，根据垂直平分线的性质证四边相等即可 .
知2－练
感悟新知
技巧点拨
判定菱形的方法：
(1)若用边进行判定：
先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等，或直接证明四边形的四条边都相等；
(2)若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明对角线互相垂直，或直接证明四边形的对角线互相垂直平分.
知2－练
感悟新知
解： 如图 2.6－6，直线 EF 即为所求 .
(1)作对角线 BD 的垂直平分线，分别交 AD， BC， BD于点 E， F， O(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
知2－练
感悟新知
证明： ∵ EF 垂直平分 BD，
∴ DO=BO， BE=DE， BF=DF．
∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AD ∥ BC，
∴∠ DEO= ∠ BFO，∠ EDO= ∠ FBO，
∴△ DEO ≌△ BFO(AAS)，
∴ DE=BF，∴ BE=DE=BF=DF，
∴四边形 BEDF 是菱形．
(2)连接 BE， DF．求证：四边形 BEDF 为菱形 .
感悟新知
知2－练
如图 2.6－7，已知△ ABC， D 是 AC 的中点， DE ⊥AC 于点 D，交 AB 于点 E，过点 C 作 CF ∥ BA 交 ED 的延长线于点 F，连接 CE， AF. 求证：四边形 AECF 是菱形 .
例5
知2－练
感悟新知
解题秘方：紧扣对角线互相垂直这一条件，从判定平行四边形入手 .
知2－练
感悟新知
方法点拨
证明一个四边形是菱形的方法：
若已知要证的四边形的对角线互相垂直，则要考虑证明这个四边形是平行四边形，用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”进行证明 .
知2－练
感悟新知
证明： ∵ CF ∥ BA，∴∠ EAD= ∠ FCD，
∠ AED= ∠ CFD.
又∵ D 是 AC 的中点，∴ AD=CD，
∴△ ADE ≌△ CDF(AAS)，∴ AE=CF.
又∵ AE ∥ CF，∴四边形 AECF 是平行四边形 .
又∵ DE ⊥ AC，∴四边形 AECF 是菱形 .
菱形
轴对称性
边的关系
菱形
性质
判定
定义
对角线的关系
边的性质
对角线的性质
角的性质