湘教版数学八年级下册 4.1 函数和它的表示法课件(共37张PPT)

(共37张PPT)
4.1 函数和它的表示法
第四章 一次函数
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
常量与变量
函数
函数自变量的取值范围与函数值
函数的三种表示方法
知1－讲
感悟新知
知识点
常量与变量
1
1.定义： 在讨论的问题中，取值会发生变化的量称为变量，取值固定不变的量称为常量(或常数) .
感悟新知
知1－讲
特别提醒
◆判断一个量是常量还是变量，应先看它是否在某个变化过程中，若在，则看它在这个变化过程中数值是否发生改变 .
◆指出一个变化过程中的常量时，应连同它前面的符号.
感悟新知
说明： (1) “常量”是已知数，是指在整个变化
过程中保持不变的量；但“常量”不等于“具体的数”，它可以是数值不变的字母 . 如在匀速直线运动中的速度 v 就是一个常量 .
(2)变量与常量是相对的，前提是“在一个变化过程中”，一个量在某一变化过程中是常量，而在另一个变化过程中，它可能是变量 . 如在 s=vt 中，当 s 一定时， v， t 为变量， s 为常量；当 t 一定时， s， v 为变量， t 为常量 .
知1－讲
感悟新知
2. 判断一个量是常量还是变量的方法：
看这个量在某一变化过程中的值是否发生改变(或者说是否会取不同的数值) ，若在变化过程中此量的数值不变，则此量是常量，若此量可以取不同的数值，则此量是变量 .
知1－讲
感悟新知
注意： (1)常量与变量只与在某一个变化过程中的数值是否发生改变有关，与个数没有关系 .
(2)变量、常量与字母的指数没有关系，如 y=100 － 2x2 中，x， y 是变量，而不能说 x2 是变量 .
知1－讲
知1－练
感悟新知
分别指出下列关系中的变量和常量：
(1)圆面积公式 S=π r2 ( S 表示面积， r 表示半径) ；
(2)若等腰三角形底角度数值为 x，则顶角度数值 y 与 x的关系式是 y= － 2x+180；
(3)在△ ABC 中，它的底边长 a 一定，底边上的高是 h，则三角形的面积 S= ah.
例1
知1－练
感悟新知
解： (1) r， S 是变量，π 是常量 .
(2) x， y 是变量， －2，180 是常量 .
(3) S， h 是变量， ， a 是常量 .
解题秘方：紧扣“常量与变量”的定义进行辨识 .
知1－练
感悟新知
特别警示
常量与变量是以某一变化过程中该量的值是否发生改变，即该量是否会取不同的数值作为识别标准的 . 不要误认为常量必须为具体的数，表示不变量的字母，也可以作为常量 .
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知2－讲
知识点
函数
2
1. 定义： 一般地，如果变量 y 随着变量 x 而变化，并且对于 x取的每一个值， y 都有唯一的一个值与它对应，那么称 y 是 x的函数，记作 y=f(x)，这时把 x 叫作自变量，把 y 叫作因变量 .
感悟新知
知2－讲
说明： 在函数中定义的两个变量 x， y 是有主次之分的，
变量 x 的变化是主动的，称之为自变量，而变量 y 是随 x 的变化而变化的，是被动的，称之为因变量(即自变量的函数) .
函数不是数，函数的实质
是两个变量的对应关系
知2－讲
感悟新知
特别提醒
函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，对自变量x的不同值，y的值可以相同，如：函数y=x2，当x=1和x=－1时，y的对应值都是 1.
感悟新知
知2－讲
2. 判断一个关系是否是函数关系的方法：
一看是否在一个变化过程中；二看是否存在两个变量；
三看对于变量每取一个确定的值，另一个变量是否都有唯一确定的值与其对应 . 以上三者(简称“三要素” )缺一不可 .
感悟新知
知2－练
例2
判断下列各式中 y 是否是 x 的函数，请说明理由 . (1)y=± x； (2)2x2+y2=10； (3) y=|x|.
知1－练
感悟新知
解：(1) y 不是 x 的函数，因为 x 每取一个值时， y 有两个对应值，不满足唯一确定；
解题秘方：紧扣函数的定义进行解答 .
知1－练
感悟新知
(2) y 不是 x 的函数，例如当 x=1 时， y 有两个对应值，不满足唯一确定；
(3) y 是 x 的函数，因为每一个 x 的值都有唯一的 y 值与之对应 .
知2－练
感悟新知
特别提醒
判断两个变量是否具有函数关系，只需看它是否符合定义中的“三要素”即可，但要注意两点：
(1)自变量 x 取不同的数值时，与之对应的 y 的值不一定不同，只要有唯一值与之对应即可 .
(2)不能只看是否有关系式存在，有些函数关系是没有关系式的 .
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知3－讲
知识点
函数自变量的取值范围与函数值
3
确定自变量的取值范围的方法： 其一，要使函数关系式有意义；其二，对实际问题中的函数关系，还应该使得实际问题有意义 .
注意： 自变量的取值范围可以是无限的，也可以是有限的，甚至可以是几个数或单独一个数 .
感悟新知
知3－讲
2. 函数值的定义： 对于自变量 x 取的每一个值 a，因变量 y的对应值称为函数值，记作 f ( a ) .
感悟新知
知3－讲
3. 求函数值及自变量值的方法： (1)当已知关系是函数关系时，求函数值的实质就是利用代入法求代数式的值，当自变量的值确定时，函数值是唯一确定的； (2)当函数值确定时，求相应的自变量的值，就是解方程，对应的自变量的值可以不止一个，如 y=x2 － 1 中，当 y=0 时， x=±1.
知3－讲
感悟新知
特别提醒
◆函数与函数值的区别：
函数表示的是两个变量之间的一种对应关系，而函数值是一个数值 .
◆一个函数的函数值是随着自变量的变化而变化的，故在求函数值时，一定要指明自变量为多少时的函数值 .
知3－练
感悟新知
例3
求下列函数中自变量x的取值范围.
(1) y＝3x＋7； (2) y＝ ；
(3) y＝ ； (4) y＝ .
解题秘方：紧扣“确定自变量取值范围的方法”求解 .
知3－练
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方法点拨
常见函数自变量的取值范围：
类型 取值范围
整式型 全体实数
分式型 使分母不为0的实数
偶次根式型 使根号下的式子的值大于或等于0的实数
零次型 使幂的底数不为0的实数
综合型 使各部分都有意义的实数的公共部分
知3－练
感悟新知
解：(1)函数式右边是整式，所以x的取值范围为一切实数；
(2)由x -4≥0，得x≥4 ，所以x的取值范围为x≥4 ；
(3)由得x≥－2且x ≠0 ，所以x的取值范围是
x≥－2且x ≠0；
(4)由得x = ，所以x的取值范围是x = .
分母不能为0
感悟新知
知3－练
已知函数 y=13 － 4x.
(1)当 x=3 时，对应的函数值是多少？
(2)当 x 为何值时，函数值为 2 ？
例4
知3－练
感悟新知
解题秘方：紧扣“求函数值及自变量值的方法”求解 .
解： (1)当 x=3 时， y=13 － 4×3=1.
(2)当 y=2 时，2=13 － 4x，解得 x= .
知3－练
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方法点拨
求函数值的一般步骤：
(1)明确自变量的取值；
(2)将自变量的取值代入函数关系式；
(3)按照函数关系式指明的运算顺序进行计算 .
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知4－讲
知识点
函数的三种表示方法
4
函数的三种表示方法：
表示方法 定义 优点 缺点
图象法 用图象来表示两个变量间的函数关系的方法叫做图象法 直观、形象地反映出函数关系变化的趋势
和某些性质 从自变量的值常常难以找到对应函数的准
确值
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知4－讲
列表法 列一张表，第一行表示自变量取的各个值，第二行表示
相应的函数值(即因变量的对应值)，这种表示函数关系的方法称为列表法 一目了然，对表格中已有自变量的每一个值，可直接查出与它对应的函数值 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律
公式法 用式子表示函数关
系的方法称为公式
法 . 这样的式子称
为函数的表达式 能准确地反映整个变化过程中自变量与因变量的对应关系 从函数表达式很难直观看出函数的变化规
律，而且有些函数不能用公式法表示出来
知4－讲
感悟新知
特别提醒
1. 函数的三种表示方法有时可以互相转化，在应用中，要根据三种表示方法的特点，选用适当的 表示方法，或者三种方法结合起来使用；
2. 并不是所有的函数都可以用这三种方法表示出来 . 如气温与时间的函数关系，只可用列表法和图象法表示，而无法用公式法表示 .
3. 需要注意的是不论用哪种表示方法都应使自变量的取值符合实际意义 .
感悟新知
知4－练
一水箱中有水 500 L，现在往外放水，每分钟放水 50 L，请用三种不同的方法表示水箱中剩余水量 y ( L )与放水时间t ( min )之间的函数关系 .
例5
知4－练
感悟新知
解题秘方：紧扣“剩余水量 = 原水量 - 放出水量”用三种方法表示函数关系 .
解： (1) 列表法： 表格如下 .
t ( min ) 0 1 2 3 4 … 7 8 9 10
y ( L ) 500 450 400 350 300 … 150 100 50 0
知4－练
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(2)图象法： 图象如图 4.1 － 1 所示 .
(3)公式法： 表达式为 y=500 － 50t ( 0 ≤ t ≤ 10 ) .
知4－练
感悟新知
特别提醒
本题中纵轴和横轴上的点表示的是不同意义的量，因此两轴可以取不同的单位长度.不论用哪种表示方法都要注意自变量的取值要符合实际意义 .
知4－练
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归纳总结
列表法就是把自变量 x 的一系列值和函数值 y 的对应值列成一个表格；图象法就是用图象来表示函数关系的方法；公式法就是用含自变量的式子表示函数的方法 .
函数和它的表示法
表示方法
自变量
图象法
函数
常量
变量
列表法
公式法
函数值