2024-2025学年上海南洋模范高三上学期数学周测及答案（2024.09）（含解析）

南洋模范2024学年第一学期高三年级数学周测
2024.09
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1.定义集合运算:.已知集合,则集合有 个真子集.
2.函数的定义域为 .
3.已知实数满足,且,若关于的不等式恒成立,则实数的取值范围是 .
4.数在上可导,若,则 .
5.已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为 .
6.若曲线在原点处的切线也是曲线的切线，则 .
7.已知函数（且,若函数的值域是,则实数的取值范围是 .
8.已知函数,若函数在区间上存在极值,则实数的取值范围为 .
9.已知函数的单调减区间是，过点存在与曲线相切的3条切线，则实数的取值范围为 .
10.若函数在上的最小值为1，则正实数的值为 .
11.若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为 .
12.已知函数，若函数在有6个不同的零点，则实数的取值范围是 .
二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)
13.已知，那么下列不等式成立的是（ ）.
A. B. C. D.
14.命题："函数在区间上单调递增"是命题：""的（ ）.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C．充要条件 D.既不充分也不必要条件
15.已知定义在R上的函数满足均有,则不等式的解集为（ ）.
A. B. C. D.
16.已知函数，若对于定义域内的任意实数，总存在实数使得，则实数的取值范围为（ ）.
A. B. C. D.
三、解答题(共5道大题，共76分)
17.（本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题7分,第（2）小题7分.)
已知集合，全集.
(1)当时，求;
(2)若""是""的必要条件，求实数的取值范围。
18.(本题满分14分.本题共2小题，第（1）小题8分,第（2）小题6分.)
已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若恒成立,求实数的取值范围。
19.(本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题6分,第（2）小题8分.)
良好的用眼习惯能够从多方面保护眼睛的健康，降低近视发生的可能性，对于保护青少年的视力具有不可替代的重要作用。某班班主任为了让本班学生能够掌握良好的用眼习惯，开展了"爱眼护眼"有奖知识竞赛活动，班主任将竞赛题目分为两组，规定每名学生从两组题目中各随机抽取2道题作答。已知该班学生甲答对A组题的概率均为，答对组题的概率均为。假设学生甲每道题是否答对相互独立。
(1)求学生甲恰好答对3道题的概率；
(2)设学生甲共答对了道题,求的分布列及数学期望.
20.（本题满分16分.本题共3小题,第(1)小题4分,第（2）小题6分.第(3)小题6分)
已知椭圆左焦点为，离心率为，以坐标原点为圆心，为半径作圆使之与直线相切。
(1)求的方程;
(2)设点是椭圆上关于轴对称的两点,交于另一点,
①证明：直线经过定点；②求的内切圆半径的范围.
21.（本题满分18分.本题共3个小题,第（1）小题4分,第（2）小题6分,第(3)小题8分)已知函数,其中.
(1)证明:当时,;
(2)若时,有极小值,求实数的取值范围;
(3)对任意的恒成立,求实数的取值范围.
南洋模范2024学年第一学期高三年级数学周测
2024.09
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1.定义集合运算:.已知集合,则集合有 个真子集.
【答案】15
【解析】因为,
所以,则集合有个真子集.故答案为:15
2.函数的定义域为 .
【答案】
【解析】令,解得,故定义域为.
3.已知实数满足,且,若关于的不等式恒成立,则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】，则同号，又，则只能同正.
,变形得到.则.
当且仅当，且，则取等号.
由于恒成立，则，解得.
4.数在上可导,若,则 .
【答案】12
【解析】根据导数定义可
5.已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为 .
【答案】
【解析】设,
所以函数在上单调递减，，
即,得，所以,所以不等式的解集为.
6.若曲线在原点处的切线也是曲线的切线，则 .
【答案】
【解析】由得，
所以曲线在原点处的切线为。由得，
设切线与曲线相切的切点为。
由两曲线有公切线得，解得,则切点为.
因为切点在切线上,所以.
7.已知函数（且,若函数的值域是,则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】当时,,函数在上单调递增,在上单调递减,所以,即;若函数的值域是,则时,.当时,在上单调递增,
此时,不合题意;当时,在上单调递减,此时,即,则,所以,
显然,解得,又,所以.综上所述,实数的取值范围是.
8.已知函数,若函数在区间上存在极值,则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】由题意得：,
若函数在区间上存在极值,则在上有变号零点,
或,解得:,
9.已知函数的单调减区间是，过点存在与曲线相切的3条切线，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】设函数，可得，
根据题意，可得的解集为，
可得且，解得，即
设点是过点A的直线与曲线的切点，
则点处的切线方程为，即，
因为切线过点,可得,又因为存在三条切线,
所以方程有三个实根，设，
只需函数有3个零点，又由，令，解得或，
当时，单调递增；当时，单调递减；
当时，单调递增，所以当时，函数取得极大值，
当时，函数取得极小值，
要使得函数有3个零点，则满足，解得，
10.若函数在上的最小值为1，则正实数的值为 .
【答案】
【解析】由题可得，
因为函数在[0,2]上的最小值为1,
当时,在上,在单调递减,单调递增,
所以,解得（舍）；
当时，在上在单调递减，单调递增，
所以，解得（舍）；
当时，在［0,2]上，在单调递减，单调递增，
所以，解得。
11.若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】令，设，
则对任意的恒成立，
所以在上单调递增,从而。
①若，则当时，恒成立，符合题意.
②若,易知在上单调递增,
因为，所以，所以，即，
所以
因为,所以，所以。
因为在上单调递增,其图象是一条连续的曲线,且，所以存在唯一的，使得，当时,，所以函数在上单调递减，，不符合题意，舍去.
综上，实数的取值范围为。
12.已知函数，若函数在有6个不同的零点，则实数的取值范围是 .
【答案】或
【解析】当时,,
当时,,
画出函数图象，如图所示：
函数在有6个不同零点有以下四种可能：
①方程有两个不同的实根和且方程有两个根，
且方程有四个不同的实根，由函数的图象知，且，
令,则需，解得；
②方程有两个不同的实根和且方程有零个根，
且方程有六个不同的实根，函数的图象知，
且，由于，则需，解得；
③方程有两个不同的实根和且方程有1个根，
且方程有5个实根成立，则需，此时无解；
④方程有且只有1个根且方程有6个根,
计算得或或，不合题意；
综上所述：或.
二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)
13.已知，那么下列不等式成立的是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
14.命题："函数在区间上单调递增"是命题：""的（ ）.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C．充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】命题在内单调递增,则,
即在上恒成立,令,由于，则，则的
最小值为0，则必有，所以是的充分不必要条件，故选A。
15.已知定义在R上的函数满足均有,则不等式的解集为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设，则，其定义域为R，定义域关于原点对称，故为R上的奇函数，
不妨设，故，即，
故为上的增函数，故为R上的增函数.
又，
故即，所以，故，
故原不等式的解集为.故选：B。
16.已知函数，若对于定义域内的任意实数，总存在实数使得，则实数的取值范围为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可知，的定义域为，因为对于定义域内的任意实数,
总存在实数使得,所以函数在上没有最小值,
,
当时,当时,;当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减.
当时，取得最大值为，
值域为在内无最小值,因此.
当时,令,当时,;
当时,;所以在上单调递增,在上单调递减。
当时,取得最大值为,显然,即,
在同一坐标系内作出直线与函数的图象,如图所示
当时,有两个根,
不妨设,
当或时,;
当或时,;
所以在和上单调递减,在和上单调递增.
所以在与处都取得极小值,,不符合题意,
当时，，当且仅当时取到等号，
当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增.
当时，取得最小值为，不符合题意，综上所述，实数的取值范围为，故选D.
三、解答题(共5道大题，共76分)
17.（本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题7分,第（2）小题7分.)
已知集合，全集.
(1)当时，求;
(2)若""是""的必要条件，求实数的取值范围。
【答案】（1） （2）
【解析】（1）当时，集合，则或，
所以。
（2）若""是""的必要条件，则，因为，
则，可知，可得,解得,
所以实数的取值范围.
18.(本题满分14分.本题共2小题，第（1）小题8分,第（2）小题6分.)
已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若恒成立,求实数的取值范围。
【答案】（1） （2）
【解析】(1)因为,所以,
当时,,，故，
所以曲线在点处的切线方程为，即
（2）由（1）得，因为，所以由，得，所以当时，单调递减；当时，单调递增；所以，
因为恒成立，所以，解得，
所以实数的取值范围为.
19.(本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题6分,第（2）小题8分.)
良好的用眼习惯能够从多方面保护眼睛的健康，降低近视发生的可能性，对于保护青少年的视力具有不可替代的重要作用。某班班主任为了让本班学生能够掌握良好的用眼习惯，开展了"爱眼护眼"有奖知识竞赛活动，班主任将竞赛题目分为两组，规定每名学生从两组题目中各随机抽取2道题作答。已知该班学生甲答对A组题的概率均为，答对组题的概率均为。假设学生甲每道题是否答对相互独立。
(1)求学生甲恰好答对3道题的概率；
(2)设学生甲共答对了道题,求的分布列及数学期望.
【答案】（1） （2）见解析
【解析】(1)学生甲恰好答对3道题有以下两种情况:
第一种情况是学生甲答对A组的2道题和组的1道题,
其概率;
第二种情况是学生甲答对A组的1道题和组的2道题,
其概率.
故学生甲恰好答对3道题的概率.
（2）由题意可知的所有可能取值为,
,
，由（1）可知，则的分布列为
故.
20.（本题满分16分.本题共3小题,第(1)小题4分,第（2）小题6分.第(3)小题6分)
已知椭圆左焦点为，离心率为，以坐标原点为圆心，为半径作圆使之与直线相切。
(1)求的方程;
(2)设点是椭圆上关于轴对称的两点,交于另一点,
①证明：直线经过定点；②求的内切圆半径的范围.
【答案】（1） （2）①见解析 ②
【解析】(1)依题意,解得,所以的方程为.
（2）①因为不与轴重合，所以设的方程为，
设点，则
联立,得,
则
因为点三点共线且斜率一定存在，所以，
所以，将，代入化简可得，故，解得，满足
所以直线过定点，且为椭圆右焦点
②设所求内切圆半径为，因为，
所以
令,则,所以，
因为,对勾函数在上单调递增，所以,则。
所以内切圆半径的范围为.
21.（本题满分18分.本题共3个小题,第（1）小题4分,第（2）小题6分,第(3)小题8分)
已知函数,其中.
(1)证明:当时,;
(2)若时,有极小值,求实数的取值范围;
(3)对任意的恒成立,求实数的取值范围.
【答案】（1）见解析 （2） （3）
【解析】(1)因为,则对任意恒成立,
可知在内单调递减,则,所以当时,.
（2）因为，则,
令,则对任意恒成立,
可知在内单调递增,则,
当,即时,则对任意恒成立,
即,可知在内单调递增,无极值,不合题意;
当,即时,则在内存在唯一零点,
当时,,即；当时，，
即；可知在内单调递减,在内单调递增,
可知存在极小值,符合题意;综上所述:实数的取值范围为.
（3）令,
则,原题意等价于对任意恒成立,且,
则,解得,若,因为,则,
则,可知在内单调递增,则,即符合题意;
综上所述:实数的取值范围为.