2024-2025学年上海上外云间高一上学期数学月考及答案（2024.10）（含答案）

上外云间2024学年第一学期高一年级数学月考
2024.09
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．已知集合，且，则实数的值为________．
2．集合中只含有1个元素，则实数的取值是________．
3．用列举法表示集合________．
4．已知集合，，则________．
5．对于任意实数，，，有以下命题：
①“”是“”的充要条件；
②“是无理数”是“是无理数”的充要条件；
③“”是“”的充分条件；
④“”是“”的必要条件．
其中正确命题的序号是________．
6．不等式的解集为________．
7．若关于的不等式组有且仅有两个整数解，则实数的取值范围是________．
8．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为________．
9．若不等式的解集为，则实数的取值范围________．
10．不等式的解集是，则不等式的解集为________．
11．已知非空集合满足，若存在非负实数，使得对任意，均有，则称集合具有性质．那么具有性质的集合的个数为________．
12．为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建，造总面积为的新型生鲜销售市场，市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间．每间蔬菜水果类店面的面积为．月租为万元；每间肉食水产类店面的建筑面积为，月租为0.8万元.全部店面的建造面积不低于总面积的，又不能超过总面积的，市场建成后所有店面全部租出，为保证任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间的蔬菜水果类店面月租费的，则的最大值为________．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13~14题每题4分，15~16题每题5分）．
13．已知集合，，则的非空子集个数为（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
14．设，，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
15．由于燃油的价格有升也有降，现在有两种加油方案．第一种方案：每次加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油．下列说法正确的是（ ）
A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算
C．两种方案一样 D．采用挷种方案无法确定
16．已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围
为（ ）．
A． B．
C． D．
三、解答题（本大题共有4题，满分50分）．
17．（本题满分14分）本题共有2小题，第1题满分6分，第2小题满分8分
已知集合，．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
18．（本题满分14分）本题共有2小题，第1题满分6分，第2小题满分8分
已知集合，集合，集合．
（1）若，求实数的值；
（2）若，，求实数的值．
19．（本题满分14分）本题共有2小题，第1题满分6分，第2小题满分8分．
已知，．请选择适当的方法证明．
（1）若，证明：；
（2）若，证明：与不能同时成立．
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知关于的不等式：．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）当时，求不等式的解集；
（3）命题：若二次不等式的解集为空集，
命题对任意实数都成立，若，中至少有一个真命题，求实数的取值范围．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
设非空数集，对于任意，，如果满足：①属于；②属于；③属于；④（分母不为零）也属于．定义：满足条件①②③的数集为数环（即数环对于加、减、乘运算封闭）；满足④的数环为数域（即数域对于加、减、乘、除运算封闭）．
（1）判断自然数集、整数集、有理数集、实数集是不是数环，假如该集合是数环，那么它是不是数域（无需说明理由）；
（2）若是一个数环，证明：；若是一个数减，证明：；
（3）设，证明是数域．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.②④; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．已知非空集合满足，若存在非负实数，使得对任意，均有，则称集合具有性质．那么具有性质的集合的个数为________．
【答案】
【解析】当时，；当时,；
当时,;当时，；
所以满足条件的集合个数为8个.故答案为:8。
12．为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建，造总面积为的新型生鲜销售市场，市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间．每间蔬菜水果类店面的面积为．月租为万元；每间肉食水产类店面的建筑面积为，月租为0.8万元.全部店面的建造面积不低于总面积的，又不能超过总面积的，市场建成后所有店面全部租出，为保证任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间的蔬菜水果类店面月租费的，则的最大值为________．
【答案】1
【解析】设建造疏菜水果类店面间,则建造肉食水产店面间，
由题意可知:怛成立,整理可得怛成立,、只需,又,函数在上单调递增,
所以当时,的最小值为1,故,即的最大值为1,
故答案为:1。
二、选择题
13.A 14.C 15.B 16.B
15．由于燃油的价格有升也有降，现在有两种加油方案．第一种方案：每次加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油．下列说法正确的是（ ）
A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算
C．两种方案一样 D．采用挷种方案无法确定
【答案】B
【解析】任取其中两次加油，假设第一次的油价为元/升，第二次的油价为元/升。
第一种方案的均价:
第二种方案的均价:所以无论油价如何变化，第二种都更划算.、故选:B.
16．已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围
为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解不等式得或,
解方程得,
(1)若即时,不等式的解集是,
若不等式组只有1个整数解,则,解得：，
(2)若即时,不等式的解集是,
若不等式组只有1个整数解,则,解得:,
综上,的取值范围是,故选:.
三．解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.证明略
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知关于的不等式：．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）当时，求不等式的解集；
（3）命题：若二次不等式的解集为空集，
命题对任意实数都成立，若，中至少有一个真命题，求实数的取值范围．
【答案】（1）或; （2）时,不等式的解集为,
时,不等式的解集为,时,不等式的解集为,
时，不等式的解集为; （3）
【解析】(1)时,不等式为,即,解得或,
所以不等式的解集为或;
(2)不等式可化为
当时,不等式为,解得,当时,不等式为,
若,则,不等式为,无解;
若,则,解不等式,得；
若,则,解不等式,得；
综上,时,不等式的解集为,时,不等式的解集为,
时,不等式的解集为,时，不等式的解集为;
(3)命题:若二次不等式的解集为空集，
则，解得
命题对任意实数都成立,
则,解得,
所以中至少有一个真命题时,实数的取值范围是。
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
设非空数集，对于任意，，如果满足：①属于；②属于；③属于；④（分母不为零）也属于．定义：满足条件①②③的数集为数环（即数环对于加、减、乘运算封闭）；满足④的数环为数域（即数域对于加、减、乘、除运算封闭）．
（1）判断自然数集、整数集、有理数集、实数集是不是数环，假如该集合是数环，那么它是不是数域（无需说明理由）；
（2）若是一个数环，证明：；若是一个数减，证明：；
（3）设，证明是数域．
【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析
【解析】（1）有理数集、实数集是数环也是数域；整数集是数环，不是数域；自然数集不是数环；
(2)证明:当,那么,所以;当,所以,所以.
(3)证明:设,所以，
所以
又因为,因此,因此,所以满足条件①;
又因为,因此,因此,所以满足条件②;
又因为,
因此,因此,所以满足条件③;
又因为,因此,
因此,所以满足条件④,综上所述,是数域.