2024-2025学年北京市房山区北京师范大学燕化附属中学高二上学期期中考试数学试题（含答案）

2024-2025学年北京师范大学燕化附属中学高二上学期期中考试
数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.经过点且倾斜角为的直线的方程是( )
A. B.
C. D.
2.圆的圆心为 ．
A. B. C. D.
3.若，，三点共线，则( )
A. B. C. D.
4.已知直线：，：，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知直线与圆：交于，两点，且，则的值为( )
A. B. C. D.
6.圆与圆的位置关系是( )
A. 相离 B. 相交 C. 内切 D. 外切
7.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，已知，，，，则 ．
A. B. C. D.
8.在正方体中，直线是底面所在平面内的一条动直线，记直线与直线所成的角为，则的最小值是( )
A. B. C. D.
9.已知圆关于直线对称，过点作圆的两条切线和，切点分别为，则( )
A. B. C. D.
10.曲线给出下列结论：
曲线关于原点对称
曲线上任意一点到原点的距离不小于
曲线只经过个整点即横纵坐标均为整数的点．
其中，所有正确结论的序号是
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.经过点，的直线与直线垂直，则 ．
12.已知定点和点，以为斜边，则直角顶点的轨迹方程为 ．
13.由直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为 ．
14.某同学在参加通用技术实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分球心与正方体的中心重合，若其中一个截面圆的周长为，则该球的半径是 ．
15.给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：规定：
为同时与，垂直的向量；
，，三个向量构成右手系如图；
．
如图，在长方体中，，给出下列四个结论：
；
；
；
其中，正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在平面直角坐标系中，已知，线段的中点；
求过点和直线平行的直线方程；
求边的高线所在直线方程．
17.本小题分
已知圆与轴相切．
直接写出圆心的坐标及的值；
直线与圆交于两点，求．
18.本小题分
已知正方体，点、、分别为、、的中点，直线交平面于点．
证明：为中点；
求异面直线与所成角的大小．
19.本小题分
如图，在边长为的正方体中，为线段的中点．
求证：平面；
求点到平面的距离；
直线与平面所成角的正弦值．
20.本小题分
已知圆经过，两点，且圆的圆心在直线上
求圆的标准方程；
若直线与圆相交于，两点，为坐标原点，求．
21.本小题分
在如图所示的多面体中，平面，平面，，且，是的中点．
求证：；
求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；
在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角为若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
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10.
11.
12.且
13.
14.
15.
16.解：因为，
所以，，
所以过点和直线平行的直线方程为，
即；
因为，
所以边的高线的斜率为，
所以边的高线所在直线方程，
即

17.解：圆，
则圆心，因为圆与轴相切，所以半径．
由知，圆的方程为，圆心，半径为．
法一：设，
联立，得，
，
则，
所以；
法二：圆心到直线的距离，
则．
故．


18.在正方体中，因为平面平面，交平面于点，
所以平面，平面平面，平面平面，
所以，
又因为点、、分别为、、的中点，
连接，，可得，且，，且，
所以，且，
所以为的中点；
设正方体的棱长为，以为坐标原点，以，，所在的直线分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系，
则，，，，，
可得，，，
可得，，
所以，，，
所以，
设异面直线与所成角为，
可得，所以．
即异面直线与所成角为．

19.证明：在正方体中，且，
故四边形为平行四边形，则，
因为平面，平面，因此，平面．
解：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
所以，，，，
设平面的法向量为，则
取，可得，
所以，点到平面的距离为．
解：因为，
因此，直线与平面所成角的正弦值为．

20.解：因为，，
所以，线段的中点坐标为，
故圆的圆心在直线上．
联立方程组解得
故圆圆心的坐标为．
圆的半径，
则圆的标准方程为．
设，，
联立方程组整理得，
则，．
故．
21.Ⅰ证明：，是的中点．
又平面，平面，则．
，，平面，平面，
平面，
，
Ⅱ以为原点，分别以，为，轴，如图建立坐标系，
则，
设平面的一个法向量，
则，即，
取，所以，
设平面的一个法向量，
则，即
取，，，所以，
所以，
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值
Ⅲ假设在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角为，
设且，，
，
若直线与平面所成的角为，
则．
解得：，所以符合条件的点存在，为棱的中点．
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