2024-2025学年北京市石景山区京源学校高二上学期期中考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年北京市石景山区京源学校高二上学期期中考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 224.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-30 14:25:41 | ||
图片预览
文档简介
2024-2025学年北京市石景山区京源学校高二上学期期中考试
数学试题
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为( )
A. B. C. D.
2.已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成基底的向量是( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，且与互相垂直，则的值是
A. B. C. D.
4.已知，是两条不同直线，，，是三个不同平面，下列命题中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
5.“”是“直线和直线平行”的( )
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.圆的圆心到直线的距离为( )
A. B. C. D.
7.设直线的斜率为，且，直线的倾斜角的取值范围为( )
A. B.
C. D.
8.长方体的一个顶点上的三条棱长分别为、、，且它的个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是( )
A. B. C. D. 都不对
9.一个边长为的正方形铁片，把图中所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个容器侧面与底面的夹角正切值为( )
A. B. C. D.
10.如图，已知大小为的二面角棱上有两点，，，，若，则的长度( )
A. B. C. D.
11.已知，，是曲线上一个动点，则的最大值是( )
A. B. C. D.
12.已知在正方体中，，是正方形内的动点，，则满足条件的点构成的图形的面积等于( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
13.已知空间向量，若，则实数 ， ．
14.，分别为直线与上任意一点，则的最小值为 ．
15.已知空间三点，，，则在上的投影向量 ．
16.若一个圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则此圆锥的高为 ．
17.如图是棱长为的正方体的平面展开图，则在这个正方体中，直线与所成角的余弦值为 ．
18.如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动、设，，给出下列四个结论：
存在点，，使；
存在点，，使；
到直线和的距离相等的点有无数个：
若，则四面体体积的最大值为
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
已知三角形三顶点，，，求：
过 点且平行于 的直线方程；
边上的高所在的直线方程．
20.本小题分
已知点，，线段是圆的一条直径．
求圆的标准方程；
判断点与圆的位置关系，并说明理由；
点是圆上任意一点，求点到直线的最大距离．
21.本小题分
如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，、分别为、的中点．
求证：平面平面；
求证：平面；
求三棱锥的体积．
22.本小题分
如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，．
求证：；
求线段的长度．
23.本小题分
在四棱锥中，平面，，，，，，是的中点，在线段上，且满足．
求证：平面；
求二面角的余弦值；
在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.解：，
直线为，
整理得；
，
边的高过点，且斜率为，
，
整理得边的高所在直线方程为．
20.，，线段为圆的直径，
圆心为线段的中点，圆心坐标为，
圆的半径，
圆的标准方程为：．
，故点在圆外．
圆心到直线的距离，
圆与直线相离，
圆上任意一点到直线的距离的最大值为，
21.在三棱柱中，平面，而平面，则，
又，平面，则平面，
而平面，所以平面平面．
取中点，连接，
由为的中点，得，且，而，
且为的中点，于是，，因此四边形为平行四边形，
则，又平面，平面，
所以平面．
依题意，点到平面的距离，
在中，，，则，
所以三棱锥的体积．
22.在三棱柱中，由，，，
得，
则，因此，
所以．
三棱柱中，由，得是的中点，由，得，
，
则，
．
所以线段的长度为．
23.在四棱锥中，取的中点，连接和，由是的中点，
得，且，又，
则且，四边形为平行四边形，
于是，而平面，平面，所以平面．
由，，得，由平面，平面，
得，而，则
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
设，则
由，得，解得，即
设平面的法向量为，，
则，令，得，
设平面的法向量为，，
则，令，得，
设二面角的大小为，由图形观察得为锐角，
因此，
所以二面角的余弦值是．
假定存在点满足条件，设点，由，
得，则，又平面的法向量为，
由与平面所成角的正弦值为，得，
整理得，又，解得，此时，
所以存在点，使得与平面所成角的正弦值是，．
第1页，共1页
数学试题
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为( )
A. B. C. D.
2.已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成基底的向量是( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，且与互相垂直，则的值是
A. B. C. D.
4.已知，是两条不同直线，，，是三个不同平面，下列命题中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
5.“”是“直线和直线平行”的( )
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.圆的圆心到直线的距离为( )
A. B. C. D.
7.设直线的斜率为，且，直线的倾斜角的取值范围为( )
A. B.
C. D.
8.长方体的一个顶点上的三条棱长分别为、、，且它的个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是( )
A. B. C. D. 都不对
9.一个边长为的正方形铁片，把图中所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个容器侧面与底面的夹角正切值为( )
A. B. C. D.
10.如图，已知大小为的二面角棱上有两点，，，，若，则的长度( )
A. B. C. D.
11.已知，，是曲线上一个动点，则的最大值是( )
A. B. C. D.
12.已知在正方体中，，是正方形内的动点，，则满足条件的点构成的图形的面积等于( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
13.已知空间向量，若，则实数 ， ．
14.，分别为直线与上任意一点，则的最小值为 ．
15.已知空间三点，，，则在上的投影向量 ．
16.若一个圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则此圆锥的高为 ．
17.如图是棱长为的正方体的平面展开图，则在这个正方体中，直线与所成角的余弦值为 ．
18.如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动、设，，给出下列四个结论：
存在点，，使；
存在点，，使；
到直线和的距离相等的点有无数个：
若，则四面体体积的最大值为
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
已知三角形三顶点，，，求：
过 点且平行于 的直线方程；
边上的高所在的直线方程．
20.本小题分
已知点，，线段是圆的一条直径．
求圆的标准方程；
判断点与圆的位置关系，并说明理由；
点是圆上任意一点，求点到直线的最大距离．
21.本小题分
如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，、分别为、的中点．
求证：平面平面；
求证：平面；
求三棱锥的体积．
22.本小题分
如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，．
求证：；
求线段的长度．
23.本小题分
在四棱锥中，平面，，，，，，是的中点，在线段上，且满足．
求证：平面；
求二面角的余弦值；
在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.解：，
直线为，
整理得；
，
边的高过点，且斜率为，
，
整理得边的高所在直线方程为．
20.，，线段为圆的直径，
圆心为线段的中点，圆心坐标为，
圆的半径，
圆的标准方程为：．
，故点在圆外．
圆心到直线的距离，
圆与直线相离，
圆上任意一点到直线的距离的最大值为，
21.在三棱柱中，平面，而平面，则，
又，平面，则平面，
而平面，所以平面平面．
取中点，连接，
由为的中点，得，且，而，
且为的中点，于是，，因此四边形为平行四边形，
则，又平面，平面，
所以平面．
依题意，点到平面的距离，
在中，，，则，
所以三棱锥的体积．
22.在三棱柱中，由，，，
得，
则，因此，
所以．
三棱柱中，由，得是的中点，由，得，
，
则，
．
所以线段的长度为．
23.在四棱锥中，取的中点，连接和，由是的中点，
得，且，又，
则且，四边形为平行四边形，
于是，而平面，平面，所以平面．
由，，得，由平面，平面，
得，而，则
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
设，则
由，得，解得，即
设平面的法向量为，，
则，令，得，
设平面的法向量为，，
则，令，得，
设二面角的大小为，由图形观察得为锐角，
因此，
所以二面角的余弦值是．
假定存在点满足条件，设点，由，
得，则，又平面的法向量为，
由与平面所成角的正弦值为，得，
整理得，又，解得，此时，
所以存在点，使得与平面所成角的正弦值是，．
第1页，共1页
同课章节目录