2024-2025学年北京市海淀区清华大学附属中学高二上学期期中考试数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市海淀区清华大学附属中学高二上学期期中考试数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则集合可以是( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.设命题，，则为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数与函数的图象关于轴对称若在区间内单调递减，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.已知和是两个不同平面，，，是不同的两条直线，且 ， ，，那么下列命题正确的是( )
A. 与，都不相交 B. 与，都相交
C. 恰与，中的一条相交 D. 至少与，中的一条相交
7.设为实数，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知集合，若对于，，使得成立，则称集合是“互垂点集”给出下列四个集合：
； ；
； ．
其中是“互垂点集”的集合为
A. ， B. ， C. ， D. ，
9.如图，正方体的棱长为，为棱的中点，为底面正方形内含边界的动点，则( )
A. 三棱锥的体积大小不确定
B. 当时，
C. 直线平面
D. 直线与平面所成角的正弦值为
10.给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算，规定：为同时与，垂直的向量；，，三个向量构成右手系如图；如图，在长方体中中，，，则下列说法中错误的是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.在等差数列中，，，则数列的前项的和为 ．
12.已知非零向量，满足，则 ．
13.在中，，，点在边上，，，则 ；的面积为 ．
14.将函数图象向右平移个单位长度，得到函数图象，则 ．
15.已知矩形，，，将沿对角线进行翻折，得到三棱锥，在翻折的过程中，下列结论：
三棱锥的体积最大值为；
三棱锥的外接球体积不变；
异面直线与所成角的最大值为；
与平面所成角的余弦值最小值为．
所有正确的命题的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知的三个内角，，所对的边分别为，，，且．
求角的大小；
若，，求边及的面积．
17.如图，三棱柱中，，分别为，的中点．
求证：平面；
若点在线段上，且平面，求证：点为中点．
18.图像识别是人工智能领域的一个重要研究方向某中学人工智能兴趣小组研发了一套根据人脸照片识别性别的程序在对该程序的一轮测试中，小组同学输入了张不同的人脸照片作为测试样本，获得数据如下表单位：张：
识别结果真实性别 可以识别 无法识别
男 女
男
女
该程序对每张照片的识别都是独立的．
现从这张人脸照片中随机抽取，
若抽取一张，求识别结果正确的概率；
若抽取一张男性照片和一张女性照片，求至少有一张照片无法被成功识别含无法识别或识别错误的概率；
为处理无法识别的照片，该小组同学提出上述程序修改的三个方案：
方案一：将无法识别的照片全部判定为女性；
方案二：将无法识别的照片全部判定为男性；
方案三：将无法识别的照片随机判定为男性或女性即判定为男性或女性概率均为．
现从若干张不同人脸照片其中男性、女性照片数量之比为中随机抽取一张，分别用方案一、方案二、方案三进行识别，其识别正确的概率估计值分别记为，，，试比较，，的大小假设用频率估计概率，结论不要求证明
19.已知函数，其中，为自然对数的底数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
求的单调区间；
设且，请判断与的大小，并证明．
20.如图，在四面体中，平面，点为中点，且，，．
证明：；
求平面与平面夹角的余弦值；
在直线上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在；求的值；若不存在，请说明理由．
21.设为一个即行列的数表对任意，记第行第列元素为且若存在，，使得，则称有序数组为一个同角矩形数组．
直接分别写出下列两个数表中，同角矩形数组的个数；
：
：
若数表中没有同角矩形数组，求的最大值；
若，求出中同角矩形数组个数的最小值，并证明同角矩形数组的个数达到最小值时，的每行每列都恰有个和个．
参考答案
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16.，
由，得，解之得，
是三角形的内角，
；
由，得，
，，
又，
，，
的面积为．

17.
证明：取的中点，连接，在三棱柱中，
因为分别为的中点，则，且，为的中点，
则，且，则且，
则四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，则平面．
证明：分别取的中点，连接，
设，则，且，
则则四点共面，
因为，又平面，平面
则平面，又平面，平面，
则平面，又，
则平面平面，又平面，
则平面，又平面平面，
平面平面，则，
又为的中点，则为的中点．

18.若表示抽到男性，表示抽到女性，表示识别为男性，表示识别为女性，
由题设，，所以，，
又，，所以，，
所以抽取一张，求识别结果正确的概率；
由，，所以，，
所以抽取一张男性照片和一张女性照片，至少有一张照片无法被成功识别的概率为．
程序将男生识别正确的频率为，识别为女生的频率为，无法识别的频率为，
程序将女生识别正确的频率为，识别为男生的频率为，无法识别的频率为，
由频率估计概率得
，
，
，
所以．

19.当时，，则，，，
在点处的切线方程为．
由题意知：的定义域为；
，令，解得：，
当时，；当时，；
的单调递减区间为和；单调递增区间为．
，证明如下：
令，则定义域为，
，
令，则，
则当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，，
，在，上单调递增，
且，或，
恒成立，即，
．

20.因为，则，即，
又因为平面，平面，则，
且，平面，
可得平面，
由平面，可得．
以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
可得，
设平面的法向量为，则
令，则，可得，
设平面的法向量为，则
令，则，可得，
则，
所以平面和平面夹角的余弦值为．
设，则，
设，则，得，
即，可得，
平面的法向量为，
设直线与平面所成角为，
由题意，，
整理可得，解得或舍去，
所以存在，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时．

21.中含个同角矩形数组，分别为；
中含个同角矩形数组，分别为．
首先证明：若数表中没有同角矩形数组，则．
下面用反证法证明．
证明：假设，若是一个数表，
由题意，对任意，记第行第列元素为且．
则根据抽屉原理可知，第一行中的个元素中必然至少有个元素相同．
不妨设前列个数都为，
若数表中没有同角矩形数组，
则第行到第行，任何一行前列至多个，
否则某一行的两个“”必与第一行中的两个“”对应到一个同角矩形数组．
即任何一行前列只能是这种情况之一．
故由抽屉原理，第行到第行这行中必然有两行的前列元素相同，
从而这两行中的“”对应到一个同角矩形数组，这与数表中没有同角矩形数组矛盾．
故假设错误，．
由上分析，在数表中总能找到同角矩形数组，
当时，自然也都总能找到同角矩形数组，故．
给出下面一个数表，不含同角矩形数组．
综上所述，若数表中没有同角矩形数组，则的最大值为．
给出下面一个数表，在数表中满足每行每列有个“”和个“”，
它所含同角矩形数组的个数为
这个同角矩形数组分别为
．
规律分析：观察上面的数表，不妨取第二行入手寻找数表中数字与同角矩形之间的规律．
可以发现第二行的个“”，分别在第列中，
如果存在一个同角矩形数组，选定该数组的一边是位于第二行的“”，
则该同角矩形数组相对的另一边中的“”必然是在第列中，
而第列中共有个“”，除去第二行的个“”，剩下的个“”只能分布在其他行中，
由抽屉原理，必然有个“”分在同一行中，它们与第二行的两个“”对应到一个同角矩形数组．
将分析推广到一般，下面分析计算任意一行对应的同角矩形数组的个数．
证明任意数表的同角矩形数组的个数不小于．
证明：在数表中，
设集合为第行中“”所在列号的集合，为第行中“”所在列号的集合，
则．
记集合中元素的个数为，集合中元素的个数为，．
设第列中有个“”，个“”，则，．
对行中任取一行，设为第行，
由以上规律分析可知，
第行中“”所对应的同角矩形数组个数至少为，
第行中“”所对应的同角矩形数组个数至少为，
对行逐个计算并求和，注意到每个同角矩形数组有两行，故除以以消除重复的计算．
故可得同角矩形数组个数
其中，，
又的计算求和中每个被计算次，同理中每个被计算次
又，
所以，
当且仅当等号成立，．
将以上化简式子，代回式分析可得，
．
故任意数表的同角矩形数组的个数不小于，得证．
综上所述，同角矩形数组的个数的最小值为．
由不等式成立条件，每行中必恰有个“”，个“”
由行列可互换的对称性，则每列中也恰有个“”，个“”

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