2024-2025学年北京市西城区第一五九中学高二上学期期中考试数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市西城区第一五九中学高二上学期期中考试
数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.圆心为，且半径为的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
3.已知两个向量，，且，则的值为( )
A. B. C. D.
4.圆的圆心和的范围分别是( )
A. B. C. D.
5.一个椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于，则该椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
6.“”是“直线：与直线：平行”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
7.正方形所在平面外一点平面若，则平面与平面所成的角的度数为( )
A. B. C. D.
8.已知空间四点，，，共面，则的值为( )
A. B. C. D.
9.已知是不重合的平面，是不重合的直线，下列命题中不正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.已知曲线的方程是，给出下列四个结论：
曲线恰好经过个整点即横纵坐标均为整数的点；
曲线有条对称轴；
曲线上任意一点到原点的距离都不小于；
曲线所围成图形的面积大于．
其中，所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.直线的倾斜角为，且，若过点，则直线的方程为 ．
12.已知正方体的棱长为，则点到平面的距离为 ．
13.已知和相交，则的取值范围是 ．
14.已知为椭圆的右焦点，为坐标原点，为上一点，若为等边三角形，则的离心率为 ．
15.如图，在棱长为的正方体中，分别是棱的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，下列四个结论：
当点是中点时，直线平面；
直线到平面的距离是；
存在点，使得；
面积的最小值是．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为．
求边上的高所在的直线方程；
求的面积．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，平面底面，，和分别是和的中点．求证：
底面；
平面平面．
18.本小题分
已知圆的圆心为坐标原点，且与直线相切．
求圆的标准方程；
若直线过点，直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程．
19.本小题分
已知椭圆：经过点，、是椭圆的左、右两个焦点，，是椭圆上的一个动点．
求椭圆的标准方程；
若点在第一象限，且，求点的横坐标的取值范围．
20.本小题分
如图，在四棱锥中，平面为棱的中点，平面与棱相交于点，且，再从下列两个条件中选择一个作为已知．
条件：；条件：．
求证：；
求点到平面的距离；
已知点在棱上，直线与平面所成角的正弦值为，求的值．
21.本小题分
已知半径为的圆的圆心在轴的正半轴上，且直线与圆相切．
求圆的标准方程．
已知为圆上任意一点，试问在轴上是否存在定点异于点，使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.或
12.
13.或
14.或
15.
16.解：直线的斜率，
则边上高所在直线斜率，
则边上的高所在的直线方程为，即．
的方程为，即．
点到直线的距离，，
则的面积．
17.因为平面底面，，
平面底面，平面，
所以底面．
，，为中点，
，则四边形平行四边形，
，所以四边形为矩形，
，．
底面，平面，．
又平面，且，
平面，平面，．
和分别是和的中点，，．
又，，平面，
平面，平面，
平面平面．

18.设圆的半径为，则，
所以的标准方程为．
设圆心到直线的距离为，则，解得：，
当直线的斜率不存在时，，此时圆心到的距离为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，
化简得：，则，解得：，
即．
综上，直线的方程为或．

19.由已知得，，
，，，
同理，
，
，，
椭圆的标准方程为．
设，且，则，，
．
由椭圆方程可得，
整理得，所以，
即点的横坐标的取值范围是．

20.解：证明：选择条件：
因为平面平面，
所以平面，
又因为平面，平面平面，
所以 ；
选择条件：解法同上；
选择条件：
因为平面，平面，
所以 ，
又因为，
所以，
因此，即两两垂直，
如图，以为原点，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，
所以，
由，得，且为棱的中点，
所以点为棱的中点．，
故 ，
设平面的一个法向量为，
则
取，则，即 ，
所以点到平面的距离 ；
选择条件：
因为平面，平面
所以，
又因为与相交，平面，
所以平面，平面，
所以，
即两两垂直，
以为原点建立空间直角坐标系及以下步骤同上；
选择条件：
设，
则 ，
所以 ，
设直线与平面所成角为，
所以
，
化简得，解得，
即．
选择条件：解法同上．

21.由题意设圆心坐标为，则圆的方程为，
因为直线与圆相切，
所以点到直线的距离，
因为，所以，
故圆的标准方程为；
假设存在定点，设，
设，则，
则，
当，即，舍去时，为定值，且定值为，
故存在定点使得为定值，的坐标为．

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