2024-2025学年北京市东城区东直门中学高一上学期期中考试数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市东城区东直门中学高一上学期期中考试
数学试题
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，则等于( )
A. B. C. D.
3.已知命题，则命题的否定为( )
A. B. C. D.
4.下列结论正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
5.不等式在上恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
7.函数，的值域是( )
A. B. C. D.
8.函数与的图象大致是( )
A. B. C. D.
9.已知函数，则
A. 是奇函数，且在上是增函数 B. 是偶函数，且在上是增函数
C. 是奇函数，且在上是减函数 D. 是偶函数，且在上是减函数
10.“，”是“”的( )
A. 充分必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分而不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
11.小王同学在研究函数的图象时，发现有如下结论：该函数有最小值；该函数图象与坐标轴无交点；当时随的增大而增大；该函数图象关于轴对称；直线与该函数图象有两个交点，则上述结论中正确的为( )
A. B. C. D.
12.按照“碳达峰”“碳中和”的实现路径，年为碳达峰时期，年实现碳中和，到年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口．于年提出蓄电池的容量单位：，放电时间单位：与放电电流单位：之间关系的经验公式：，其中为常数，为了测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间则该蓄电池的常数大约为 参考数据：，
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
13.已知集合，若，则 ．
14.的值是 ．
15.若函数是幂函数，且满足，则的值等于 ．
16.函数的定义域为
17.若集合中有个元素，则的取值范围是 ．
18.函数的单调递增区间为 ．
19.设．
当时，的最小值是 ；
若是的最小值，则的取值范围是 ．
20.给定数集，若对于任意、，有，且，则称集合为闭集合，则下列所有正确命题的序号是 ．
集合是闭集合；
正整数集不是闭集合；
集合是闭集合；
若集合、为闭集合，则为闭集合．
三、解答题：本题共6小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.设，，，．
求，的值及，；
求．
22.已知函数的图像经过点，其中且．
求的值：
若，求实数的取值范围．
23.如图所示，某房地产开发公司计划在一楼区内建一个长方形公园，公园由长方形的休闲区阴影部分和环公园人行道组成已知长方形休闲区的面积为，人行道的宽分别为和．
设长方形休闲区的长，求长方形公园所占面积关于的函数的解析式；
要使长方形公园所占总面积最小，长方形休闲区的长和宽该如何设计
24.已知二次函数，若不等式的解集为．
求实数的值；
当时，求的值域：
当时，求的最小值．
25.已知函数．
判断的奇偶性并证明；
当时，判断的单调性并证明；
若实数满足，求的取值范围．
26.给定正整数，设集合若对任意，，，两数中至少有一个属于，则称集合具有性质．
分别判断集合与是否具有性质；
若集合具有性质，求的值；
若具有性质的集合中包含个元素，且，求集合．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.和
19.
20.
21.解：，且，
，，
即，，
，
；
由知，
又，
．
22.因为函数的图像经过点，所以，即；
，即，所以，，
所以的范围是．

23.由，得，
故
由
当且仅当即时等号成立，
故长方形休闲区的长为米，宽为米时，长方形公园所占总面积最小，

24.因为的解集为，
所以，解得，
所以的值为；
由可得，所以，
二次函数的图像开口向上，对称轴为，
当时，，
当时，，
当时，，
所以的值域为；
因为，二次函数的图像开口向上，对称轴为，
当，即时，在单调递减，
所以；
当，即时，；
当时，在单调递增，
所以，
所以的最小值．

25.函数为奇函数，理由如下：
因为函数的定义域为，
，故函数为奇函数．
函数在上为增函数，证明如下：
任取、，且，即，
则
，即，
所以，函数在上为增函数．
由可知，函数在上为增函数，
由，可得，即，解得或，
因此，满足不等式的的取值范围是．

26.集合中的，，
所以集合不具有性质，
集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，两数中至少有一个属于集合，所以集合具有性质；
若集合具有性质，记，则，
令，则，从而必有，
不妨设，则，且，
令，，则，且，且，
以下分类讨论：
当时，若，此时，满足性质；
若，舍；若，无解；
当时，则，注意且，可知无解；
经检验符合题意，
综上；
首先容易知道集合中有，有正数也有负数，
不妨设，其中，，
根据题意，
且，从而或，
当时，，
并且，，
由上可得，并且，
综上可知；
当时，同理可得，
据此，当中有包含个元素，且时，符合条件的集合有个，
分别是，，或．

第1页，共1页