重庆市秀山高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题（含答案）

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重庆市秀山高级中学校高2026届2024年秋期10月考试
数学试题卷
考试时间：120分钟试题总分：150分
一、单选题（每题5分，共40分）
1. 过两点的直线的倾斜角是（）
A. B. C. D.
2. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
3. 如图，空间四边形中，，点在上，且满足，点为的中点，则（）
A. B.
C. D.
4. 若直线与相离，则点与圆位置关系为（）
A. 点在圆内 B. 点在圆上
C. 点在圆外 D. 无法确定
5. 已知圆，圆，则这两圆的公共弦长为（）
A. B. C. 2 D. 1
6. 已知是椭圆上的动点，过作y轴的垂线，垂足为，若动点满足，则动点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为（）
A. B. C. D.
8. 已知为坐标原点，是椭圆上位于轴上方的点，为右焦点.延长、交椭圆于、两点，，，则椭圆的离心率为（）
A. B. C. D.
二、多选题（每题6分，共18分，选对部分得部分，选错不得分）
9. 关于空间向量，以下说法正确是（）
A. 空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B. 若对空间中任意一点，有，则四点共面
C. 已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
D. 若，则是钝角
10. 若三条不同的直线能围成一个三角形，则m的取值不可能为（）
A. B. C. D. 1
11. 已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（）
A. 直线过定点 B. 若，则的面积为
C. 的最小值为 D. 的面积的最大值为2
三、填空题（每题5分，共15分）
12. 已知点，若点在线段上，则的取值范围为__________.
13. 若直线与曲线()有一个交点，则实数k的取值范围是_______.
14. 已知：，，，，，一束光线从点出发发射到上的点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点）斜率的范围为____________.
四、解答题（15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分）
15. 已知直线．
（1）若直线与直线垂直，且经过，求直线的斜截式方程；
（2）若直线与直线平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求直线的一般式方程．
16. 已知，，过A，B两点作圆，且圆心在直线l：上．
（1）求圆的标准方程；
（2）过作圆的切线，求切线所在的直线方程．
17. 已知焦点在轴上的椭圆过点，离心率为，
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率为的直线与曲线相交于点D，E，弦长，求直线的方程．
18. 如图，已知矩形所平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，，且.
（1）设点为棱的中点，求证：平面；
（2）求平面与平面的所成角的余弦值；
（3）线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由.
19. 如图，椭圆离心率为，其长轴的两个端点与短轴的一个端点构成的三角形的面积为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点的直线l交C于A、B两点，交直线于点P．若，，证明：为定值，并求出这个定值．
重庆市秀山高级中学校高2026届2024年秋期10月考试
数学试题卷
一、单选题（每题5分，共40分）
1.
【答案】D
2.
【答案】A
3.
【答案】C
4.
【答案】A
5.
【答案】C
6.
【答案】B
7.
【答案】B
8.
【答案】C
二、多选题（每题6分，共18分，选对部分得部分，选错不得分）
9.
【答案】ABC
10.
【答案】ABC
11.
【答案】ABD
三、填空题（每题5分，共15分）
12.
【答案】
13.
【答案】
14.
【答案】
四、解答题（15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分）
15.
【解析】
【分析】（1）根据垂直设，代入得到直线方程，再化成斜截式即可；
（2）设，得到面积表达式求出值即可.
【小问1详解】
由题意设直线的方程为:，
由直线经过得:，解得:，
直线的方程为:，即.
【小问2详解】
由题意设直线的方程为:，
令，则;令，则，
所以直线两坐标轴围成的三角形的面积三角形的面积，
解得:，
所以直线的一般式方程为.
16.
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可得解；
（2）分类讨论切线斜率存在与否，再利用直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径即可得解.
【小问1详解】
依题意，设圆的标准方程为，
则，解得，
所以圆的标准方程为.
【小问2详解】
由（1）知，，
若所求直线的斜率不存在，则由直线过点，得直线方程为，
此时圆心到直线的距离，满足题意；
若所求直线的斜率存在，设斜率为，
则直线方程为，即，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，解得，
所以切线方程为，即.
综上，切线方程为或.
17.
【解析】
【分析】（1）根据已知条件求得，进而求得椭圆的方程.
（2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，写出根与系数关系，根据求得直线的方程.
【小问1详解】
由题意得，解得，，
椭圆的方程为.
【小问2详解】
设直线：，，
联立并整理得，，
所以，
，
解得，符合，
直线方程为，即．
18.
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理逆定理先判定，建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系即可；
（2）利用空间向量计算面面夹角即可；
（3）假设存在，设，由空间向量计算线面夹角，解方程求参数即可.
【小问1详解】
由已知，，可知，则，
又矩形中有，且，
平面，所以平面，
又，
则平面，所以两两垂直，
故以为原点，分别为轴，轴，轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，所以.
易知平面的一个法向量等于，
所以，所以，
又平面，所以平面.
【小问2详解】
因为，
设平面的法向量为，
由，得，
取，则，
即为平面的一个法向量，
因为，
设平面的法向量为，
由，得，
取，则，
即为平面的一个法向量，
设平面与平面的所成角为，
则；
【小问3详解】
存在，当点与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为.
理由如下：
假设线段上存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值等于.
设，
则.
所以
.
所以，解得或(舍去)，
因此，线段上存在一点，当点与点重合时，
直线与平面所成角的正弦值等于.
19.
【解析】
【分析】（1）由已知得，结合椭圆参数关系求得，即可得椭圆方程；
（2）令，，，联立椭圆方程并应用韦达定理得，，再由向量数量关系的坐标表示得到关于参数k的表达式，将韦达公式代入化简即可证.
【小问1详解】
由题设，又，则，
所以椭圆C的标准方程为.
【小问2详解】
由题设，直线l斜率一定存在，令，且在椭圆C内，
联立直线与椭圆并整理得，且，
令，而，则，
由，则且，得，
同理
由，则且，得，
所以
又，，则.
所以为定值0.
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