2024-2025学年河南省九师联盟高二（上）质检数学试卷（11月份）（含答案）

2024-2025学年河南省九师联盟高二（上）质检
数学试卷（11月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.双曲线的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
3.过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是( )
A. B.
C. 或 D. 或
4.“”是“方程表示双曲线”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知，若，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知是椭圆的一个焦点，是的上顶点，的延长线交于点，若，则的离心率是( )
A. B. C. D.
8.已知圆：，过轴上的点作直线与圆交于，两点，若存在直线使得，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.平行六面体的底面是正方形，，，，，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 四边形的面积为
D. 若，则点在平面内
10.已知抛物线：的焦点为，准线为，经过的直线与交于，两点在第一象限，，为上的动点，则下列结论正确的是( )
A. 满足为直角三角形的点有且仅有个
B. 过点且与有且仅有一个公共点的直线恰有条
C. 若在直线上的射影为，则
D. 若直线的倾斜角为，则
11.关于曲线，下列说法正确的是( )
A. 曲线关于直线对称
B. 曲线围成的区域面积小于
C. 曲线上的点到轴、轴的距离之积的最大值是
D. 曲线上的点到轴、轴的距离之和的最大值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知空间向量是实数，则的最小值是______．
13.如图是正在施工建设的济新黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地锚式回转缆悬索桥，大桥主跨长约米，主塔的高约米缆悬索是以为顶点并开口向上的抛物线的一部分，则主塔顶端点到抛物线的焦点的距离为______米
14.设直线与圆：交于，两点，对于任意的实数，在轴上存在定点，使得的平分线在轴上，则的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知点，，直线方程为．
证明：无论取何值，直线必过第三象限；
若点，到直线的距离相等，求的值．
16.本小题分
已知抛物线：与圆相交于，两点，且．
求抛物线的方程；
若直线：与相交于，两点，是的焦点，求的周长．
17.本小题分
设，圆的圆心在轴的正半轴上，且过，，，中的三个点．
求圆的方程；
若圆上存在两个不同的点，使得成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知是椭圆上的一点，是的一个焦点，，为坐标原点．
求的方程；
，，，是上的四个点，与相交于点．
若，分别为与，轴的正半轴的交点，求直线的斜率；
若直线的斜率为，求面积的最大值，并求出此时直线的方程．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，若在曲线的方程中，以且代替得到曲线的方程，则称是由曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线，称为伸缩比．
若不过原点的直线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是，证明：是与平行的直线；
已知伸缩比时，曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是，且与轴有，两个交点在的左侧，过点且斜率为的直线与在轴的右侧有，两个交点．
求的取值范围；
若直线，，的斜率分别为，，，证明：为定值．
参考答案
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15.证明：由于直线的方程为，整理得，故，解得，
故直线经过点，故直线恒过第三象限；
解：当点，到直线的距离相等，故A和的中点在直线上，故中点满足直线的方程，
故，解得；
当直线的斜率与直线的斜率相等时，也满足题意，
故，直线的斜率，故．
故的值为或．
16.解：因为，根据圆与抛物线的对称性，不妨设，
因为点在圆上，
所以，
解得负值舍去，
所以的方程是．
联立，
消去并整理得，
设，，
则，
所以，
又，
所以的周长为．
17.解：若圆经过，，则圆心必在的垂直平分线上，不合题意；
根据题意得圆只能过点，，三点，
线段的垂直平分线的方程为，
线段的垂直平分线的方程为，
联立方程组，
解得，
所以圆心为，半径为，圆的方程为．
设，因为，
所以，
化简得，所以，
根据题意有，
解得；
故实数的取值范围为
18.解：由题可得，又，所以，
故的方程为；
若，分别为椭圆与，轴的正半轴的交点，则，，
则直线的方程是，即，
联立，化简得，
解得或，因为，
所以，则，即，同理可得，
所以；
因为直线的斜率为，
设直线的方程为，，，
联立，化简得，
则，即，
所以，
则
，
又点到直线的距离，
所以的面积，
等号仅当，即时成立，满足，
所以面积的最大值是，
此时直线的方程是，
即或．
19.证明：设不过原点的直线的方程是都是常数，且，不同时为，，则曲线的方程是，且，即，
因为都是常数，且，不同时为，
所以曲线是一条直线，且与直线平行．
解：伸缩比时，曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是，
所以曲线的方程是，即，
与轴的两个交点，的坐标分别是，，
因为直线过点，斜率为，所以直线的方程为，
所以，
消去并整理得，
设，，则，
由于，
故，，
因为与在轴的右侧有两个交点，
所以，且，
解得或，所以的取值范围是．
证明：由知或，所以，
，
，
所以为定值．
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