2024-2025学年吉林省松原市前郭县高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年吉林省松原市前郭县高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的斜率为( )
A. B. C. D.
2.已知椭圆的两个焦点分别为，，点是上一点，且，则的方程为( )
A. B. C. D.
3.已知圆与圆相交于，两点，则直线的方程为( )
A. B.
C. D.
4.如图，在四面体中，是棱上一点，且，是棱的中点，则( )
A.
B.
C.
D.
5.在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小，则点的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是上一点，且，，则的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
7.某市举办青少年机器人大赛，组委会设计了一个正方形场地边长为米如图所示，，，分别是，，的中点，在场地中设置了一个半径为米的圆，圆与直线相切于点比赛中，机器人从点出发，经过线段上一点，然后再到达圆，则机器人走过的最短路程是( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
8.已知离心率为的椭圆的短轴长为，直线过点且与椭圆交于，两点，若，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知的三个顶点是，，，则( )
A. 边的长度是
B. 直线的方程为
C. 边上的高所在直线的方程为
D. 的面积是
10.已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，准线为直线，直线与交于，两点则下列说法正确的是( )
A. 点到直线的距离是
B. 若的方程是，则的面积为
C. 若的中点到直线的距离为，则
D. 若点在直线上，则
11.已知正方体的棱长为，动点在正方形内包含边界，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则直线和所成角为
C. 若，则点的轨迹长度为
D. 若，则点到直线的距离的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线：，：，则以，的交点为圆心，且经过点的圆的方程是______．
13.已知直线：，抛物线：的准线是，点是上一点，若点到直线，的距离分别是，，则的最小值是______．
14.已知为坐标原点，，点是直线：上一点，若以为圆心，为半径的圆上存在点，使得，则线段长度的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，，的外接圆为圆．
求圆的方程；
已知直线与圆交于，两点，求的面积．
16.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，为的中点．
求证：直线平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知双曲线的离心率是，焦距为．
求的方程；
若直线：与相交于，两点，且为坐标原点，求的值．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，是等边三角形，平面平面．
求平面与平面所成二面角的正弦值；
已知，，分别是线段，，上一点，且，若是线段上的一点，且点到平面的距离为，求的值．
19.本小题分
极点与极线是法国数学家吉拉德迪沙格于年在射影几何学的奠基之作圆锥曲线论稿中正式阐述的对于椭圆，极点不是坐标原点对应的极线为已知椭圆的长轴长为，左焦点与抛物线的焦点重合，对于椭圆，极点对应的极线为，过点的直线与椭圆交于，两点，在极线上任取一点，设直线，，的斜率分别为，，均存在．
求极线的方程；
求证：；
已知过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，直线，与椭圆的另一个交点分别为，，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标．
参考答案
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15.解：设圆的方程为，
因为，，均在圆上，
则，解得，
所以圆的方程为．
由，得，
所以圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离为，
所以，
又点到直线的距离为，
所以的面积为．
16.证明：设，连接，则是的中点，
因为为的中点，所以，
又平面，平面，
所以直线平面D.
解：因为平面，，平面，
所以，，
又，故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，
所以，
所以，，，，，
所以，
设平面的法向量为，则，
令，得，所以，
而，
设直线与平面所成角为，
则，，
故直线与平面所成角的正弦值为．
17.解：由于的焦距为，离心率是，
因此，其中，所以，因此．
因此的方程为．
设，，
联立双曲线方程和直线
化简得，由于直线：与相交于，两点，
因此
所以且，根据韦达定理可得．
又因为，
因此．
所以．
因此，
将韦达定理代入上式可得，
所以，所以，满足且．
18.解：取，的中点分别为，，连接，
因为底面是正方形，所以，
因为是正三角形，为的中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又，平面，
所以，，
以点为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
由题意：，
，
设平面的一个法向量为，
则由，，可得，即，
令，则，
可得平面的一个法向量为，
易知平面的一个法向量为，
设平面与平面所成二面角为，
则，
所以，
即平面与平面所成二面角的正弦值为；
因为，，分别是线段，，上一点，
且，
所以，
所以，
设平面的一个法向量为，
则由，，可得，即，
令，则，，可得平面的一个法向量为，
设，则，
，
所以点到平面的距离，
解得舍去，即．
19.解：因为椭圆：的长轴长为，即，解得，
因为椭圆的左焦点与抛物线的焦点重合，所以，解得，
所以椭圆的方程为；
由题意可知对于椭圆，极点对应的极线的方程为，即；
证明：设，由题意知直线的斜率必然存在，
故设直线：，，，
联立方程，整理可得：，
，即，
所以，，
则
，
又，所以；
证明：当，，，中有横坐标为时，纵坐标为，则或，
直线或与椭圆相切，不符合题意，所以，，，的斜率都存在；
由得，，
又，所以，
所以是和的交点，
因为，所以，
设，则，，所以，
直线的方程为，即，
令得，
所以直线恒过点．
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