2024-2025学年江西省部分学校高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年江西省部分学校高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
3.已知幂函数，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数是上的偶函数，当时，，则当时，( )
A. B. C. D.
5.已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为( )
A. B. C. D.
7.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若关于的不等式的解集为，则函数的值域为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. “”是“”的充分不必要条件
B. 若，则
C. “”为有理数是“，都为有理数”的充要条件
D. 若，，则
10.下列说法正确的是( )
A. 函数和函数是同一个函数
B. 若，则
C. 若函数的定义域是，则函数的定义域是
D. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为
11.若函数在区间上的值域为，则称为函数的“保值区间”，下列说法正确的是( )
A. 函数存在保值区间
B. 函数存在保值区间
C. 若一次函数存在保值区间，则或
D. 若函数存在保值区间，则实数的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.命题：“，”的否定是______．
13.若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为______．
14.已知函数是定义在上的奇函数，若，，不等式恒成立，且，则不等式的解集为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
求；
若，为集合，定义集合运算，求．
16.本小题分
已知函数．
若，求实数的值；
在直角坐标系中画出函数的大致图象，并根据函数图象写出函数的单调区间和值域不用写解答过程．
17.本小题分
已知函数为奇函数，其函数图象经过点．
求，的值；
证明：函数在区间上单调递增；
若命题：“，”为真命题，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知正数，满足．
求的最小值；
求的最小值．
19.本小题分
已知二次函数的最小值为，且，．
求的解析式；
若函数为偶函数，函数．
关于的方程有个不相等的实数根，求实数的取值范围；
当时，求函数在区间上的最值．
参考答案
1.
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8.
9.
10.
11.
12.，
13.
14.或
15.解：因为，
，
所以；
因为，，
由集合运算的新定义及不等式的性质，可得．
16.解：当时，若，则，解得；
当时，若，则，解得舍去或；
当时，若，则，解得舍去．
综上所述，实数的值为或．
函数的大致图象如下：
由图可知，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，值域为．
17.解：由题知的定义域为，因为函数为奇函数，
所以，即，
所以，对恒成立，所以，故，
因为函数的图象经过点，即，解得，
所以，．
证明：由知．
令，所以，，，
则
，
即，
故函数在区间上单调递增．
解：由知，当时，函数单调递增，故．
若命题为真命题，则，解得，
故实数的取值范围为．
18.解：由，得，
所以，
所以，
，
当且仅当，即时取等号，
故的最小值为；
由，得，即，
令，则，当且仅当时取等号，
由，得，故，
解得或．
又由，得，当且仅当，时取等号，
故的最小值为．
19.解：由题意可设函数，
由，，得
解得或
故函数的解析式为或．
若函数为偶函数，则．
方程，即，
可化为，即，
所以或．
由，得．
若关于的方程有个不相等的实数根，则必有．
当时，由，得或，且，，
即且，
所以实数的取值范围为．
由题知，即
当时，，所以，．
当时，，由，得．
当时，二次函数的对称轴为，此时，故；
当时，二次函数的对称轴为，此时，故；
当时，二次函数的对称轴为，
若，则，此时，即，
又，所以；
若，则，此时，即，
又，所以此时，
由上知，，．
当时，
当时，二次函数的对称轴为，此时，故；
当时，二次函数的对称轴为，此时，故；
当时，二次函数的对称轴为，此时，故．
由，，及，得，．
综上所述，当时，，；
当时，，．
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