2024-2025学年四川省德阳市绵竹市高三（上）第一次诊断数学试卷（含答案）

2024-2025学年四川省德阳市绵竹市高三（上）第一次诊断数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若，则复数对应的点位于第象限．
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
3.已知平面向量，满足，，则( )
A. B. C. D.
4.若方向向量为的直线与圆相切，则直线的方程可以是( )
A. B. C. D.
5.若，则为( )
A. B. C. D.
6.已知函数的值域为，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知数列的通项公式，在其相邻两项，之间插入个，得到新的数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为( )
A. B. C. D.
8.飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子骰子为均匀的正六面体正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算“到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数在一次游戏中，飞机距终点只剩步如图所示，设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为，则( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.观察下列散点图的分布规律和特点，其中两个变量存在相关关系的有( )
A. B.
C. D.
10.已知，，：，：，其中，点为平面内一点，记点到，的距离分别为，，则下列条件中能使点的轨迹为椭圆的是( )
A. B.
C. D.
11.已知函数，则( )
A. B. 当时，
C. 当时， D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知椭圆和双曲线的焦点相同，则 ______．
13.如图所示的五面体为九章算术中记载的羡除，它指的是墓道或隧道其中，四边形，，均为等腰梯形，平面平面，，，，和间的距离为，和间的距离为，则该羡除的体积为______．
14.已知正项数列满足，且，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若为中点，，，求的周长．
16.本小题分
点在抛物线上，且到抛物线的焦点的距离为．
求抛物线的方程；
过点的直线交抛物线于，两点，且，求直线的方程．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，平面平面，平面．
求证：；
若二面角的正弦值为，且，求．
18.本小题分
已知函数，．
当时，求的最小值；
若与在原点处的切线重合，且函数有且仅有三个极值点，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知集合
集合，且中的任意三个不同的元素，，都有．
当时，写出一个满足条件的恰有四个元素的集合；
对于任意给定的，求集合中的元素个数的最大值．
已知集合，，且同时满足以下条件：
，，都有其中，，；
，，使得其中求集合中的元素个数．
参考答案
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15.解：由及余弦定理，
可得，
整理得，
即，又，
所以；
由及，可得，
在中，由余弦定理，
可得，
整理得，
由余弦定理，得，
所以，
因此，
所以的周长为．
16.解：根据焦半径公式可得，所以，
又，所以，
解得或舍去，
故所求抛物线方程为．
，，
设，，，
，
所以，
，
即，
即，
，此时直线过点，舍去
所以，
即．
17.证明：过作于点，
因为平面平面，平面平面，
平面，所以面，
因为面，所以，
又因为平面，所以，
而，，面，
所以面，又面，
所以；
解：如图，过作于点，平面于点，
则二面角的平面角即为，
设，由，
有，
即，
所以，
所以，
解得．
18.解：当时，，，
令得：，
当时，，
时，，
在单调递减，单调递增，
时，．
函数，．
，，
由得：，
，
问题即：有且仅有三个变号零点，
，
当时，，在单调递减，又，
此时在有且仅有一个变号零点，不合题意；
当时，在有唯一零点在递增，递减，
此时在至多有两个变号零点，不合题意；
当时，，，，
在有两个零点：，
且时，，时，，时，，
在递减，递增，递减，
又，，，
又时，，
的增长速度大于的增长速度，
，，于是，
又，，，
令，则，
的增长速度大于的增长速度，
，，于是，
在，各有一个零点，，
此时有三个零点：，，，合题意，
，
故的取值范围是．
19.解：当时，，
又，且中的任意三个不同的元素，，都有，
满足条件的恰有四个元素的集合可以是：
或或或或或．
对于任意给定的，集合中的元素个数的最大值为，证明如下：
记集合，，
设满足条件的集合，
其中，，，，，，，，且，，
则集合中的元素个数等于，
根据条件对任意的，，都有否则，就有，不合题意，
又，，其中，，
即，，，，，，，是中的不同的元素，
，即集合中的元素个数，
取满足条件，且元素个数等于，集合中的元素的最大值等于．
以为例多取不符条件，少取不符条件：
这时，，，，
；，取，，即可，
；，则，，，，
；，
若取，，；，
则，，
证明如下：
先证明：，假设，则，，使得，与条件矛盾，假设不真，即；
再证明：，假设，则中的元素个数大于，，，，
，根据条件“，，使得”，两个不同的集合，
，使得，，
又，，，，
，与矛盾，假设不成立，；
综上所述：．
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