2024-2025学年山东省淄博市高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省淄博市高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则集合的子集个数为( )
A. B. C. D.
2.已知是虚数单位，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.在内使 的的取值范围是( )
A. B. ，
C. D.
4.设，，，则( )
A. B. C. D.
5.在等比数列中，若为一确定的常数，记数列的前项积为，则下列各数为常数的是( )
A. B. C. D.
6.在中，已知，且满足，则的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
7.若正数，满足，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.设函数，若对任意实数，恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设数列的前项和为，，，则下列说法正确的是( )
A. 是等差数列
B. ，，成等差数列，公差为
C. 当或时，取得最大值
D. 时，的最大值为
10.在锐角中，，角、、对边分别为，、，则下列式子不正确的是( )
A.
B.
C.
D. 若上有一动点，则最小值为
11.已知函数的定义域为，其导函数为，且对任意的，都有，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数存在唯一的极值点，则实数的取值范围是______．
13.已知数列满足，则 ．
14.对任意实数，以表示不超过的最大整数，称它为的整数部分，如，等．定义，称它为的小数部分，如，等．若直线与有四个不同的交点，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，设．
求函数的单调递增区间；
在中，若，，，的平分线交于点，求长．
16.本小题分
已知函数为上的偶函数，且．
求；
求在处的切线方程．
17.本小题分
已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，且，，成等差数列，．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
18.本小题分
已知函数，．
当时，研究的单调性；
若，当时，函数有极大值；当时，有极小值，求的取值范围．
19.本小题分
若函数对定义域上的每一个值，在其定义域上都存在唯一的，使成立，则称该函数在其定义域上为“依赖函数”．
判断函数在上是否为“依赖函数”，并说明理由；
若函数在定义域上为“依赖函数”，求实数的值；
当时，已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值．
参考答案
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15.解：，
令，，则，，
所以函数的单调增区间为，；
由题意得：，
因为，所以，即，所以，
在中，由余弦定理得：，
即，解得，
因为的平分线交于点，所以，
所以，
所以，解得．
16.解：因为函数为上的偶函数，所以有，
当时，，即，
，，解得，
此的，
经检验，为上的偶函数，
所以．
由得，所以，
则，则，
又，
所以在处的切线方程为，即．
17.解：由题意，设等比数列的公比为，
，，成等差数列，
，即，
，，
整理，得，
解得舍去，或，
又，
，
解得，
，．
由可得，
，
，
，
两式相减，
可得，
，
，
．
18.解：易知函数的定义域为，则，
又因为，所以当时，，
当或时，；
因此可得在上单调递减，在，上单调递增；
若，由可知在处取得极大值，在处取得极小值，
所以，，
即；
设函数，，则，
所以在上单调递增，所以，
即的取值范围为．
19.解：对于函数的定义域内取，
则，无解，
故不是“依赖函数”．
因为在上递增，故，
即，所以．
当时，取，则，此时不存在，舍去；
当时，在上单调递减，
从而，由于，故，
解得舍或，
且，所以，
由于存在实数，使得不等式能成立，
故，
从而得到，
由于，所以，
综上，实数的最大值为．
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