广西玉林市2024-2025学年高二上学期11月联考 数学试题（含解析）

2024年秋季期11月高二年级联考试题
数学
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、班别、考号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应的题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．圆的圆心的坐标和半径分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．顶点在原点，准线方程为的抛物线的标准方程为
A． B． C． D．
3．双曲线的离心率为，则=（ ）
A．1 B． C． D．
4．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且OM=2MA，点N为BC中点，则（ ）
A． B．
C． D．
5．若两异面直线与的方向向量分别是，，则直线与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
6．已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为
A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
7．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A．] B． C． D． D．
8．已知直线与直线的交点为P，则点P到直线距离的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．线，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时， 的倾斜角的范围是
B．若，则
C．若，则
D．当时，到的距离为
10．如图，在长方体中，，点为线段上动点（包括端点），则下列结论正确的是（ ）
A．当点为中点时，平面
B．当点为中点时，直线与直线所成角的余弦值为
C．当点在线段上运动时，三棱锥的体积是定值
D．点到直线距离的最小值为
11．如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（ ）
A．点在曲线上
B．点在上，则
C．点在椭圆上，若，则
D．过作轴的垂线交于两点，则
三、填空题：本题共3题，每题5分，共15分。
12．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且，那么
13．已知抛物线的焦点为，点在上，且点到直线的距离为，则 .
14．已知为坐标原点，双曲线的左 右焦点分别为，点在以为圆心 为半径的圆上，且直线与圆相切，若直线与的一条渐近线交于点，且，则的离心率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．已知直线经过两条直线和的交点.
(1)若直线与直线垂直，求直线的方程；
(2)若直线与直线平行，求直线的方程及此时直线与直线的距离.
16．已知双曲线的两个焦点分别是，点是双曲线上的一点，．
(1)求双曲线的标准方程
(2)写出该双曲线的实半轴长和虚半轴长、顶点坐标、离心率、渐近线方程．
17．已知圆C的方程为：．
(1)若直线与圆C相交于A、B两点，且，求实数a的值；
(2)过点作圆C的切线，求切线方程．
18．如图，在四棱锥中，平面，，，，且直线与所成角的大小为.
(1)求的长；
(2)求点到平面的距离.
19．已知点在椭圆上，椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程；
(2)若不过点的直线交椭圆于，两点，直线，的斜率分别为，且，
①求证：直线AB经过定点；
②求面积的取值范围（为坐标原点）.
2024年秋季期11月高二年级联考试题数学参考答案
1．C【分析】根据圆一般方程与标准方程的互化即可求解。【详解】由题意知，圆的标准方程为,所以圆心坐标为，半径。故选：C
2．D【详解】顶点在原点，准线方程是，所以，故抛物线的方程为。故选：D
3．B【详解】由题意可得，即，解得。故选：B
4．B【详解】由OM=2MA，N为BC中点，结合向量加法法则，知
。答案为：。故选：B
5．B【分析】设异面直线与所成的角为，根据，即可求解。【详解】由题意，两异面直线与的方向向量分别是，，可得，，，设异面直线与所成的角为，则，
又因为，所以，即直线与的夹角为。故选：B。
6．A【详解】设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得。所以椭圆的方程为：＋＝1。故选：A
7．A【详解】曲线即为半圆：，其图象如图所示，曲线与轴的交点为，而直线为过的动直线，当直线与半圆相切时，有，解得，当直线过时，有，因为直线与半圆有两个不同的交点，故，故选：A.
8．D【详解】直线，分别过定点，，且互相垂直，所以点P的轨迹是以为直径的圆（不含点），这个圆的圆心坐标为，半径为.圆心到直线l距离为，因此圆上的点到直线l距离最大值为，最小为，取得最小值时圆上点的坐标是，因此取值范围是.故选：D
9.BCD 【详解】 对于A，当a>2时，直线的斜率，当时，的倾斜角，当时，的倾斜角，A错误；
对于B，由，得，解得a=3，B正确；
对于C，由，得（a-2）+3a=0，解得，C正确；
对于D，当a=3时，，直线，的距离为，D正确。
故选：BCD
10. ACD 【详解】在长方体中，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，设，
对于A，，，，，
，即，
而平面，因此平面，A正确；
对于B，，，B错误；
对于C，由选项A知，点到平面的距离为，而的面积，
因此三棱锥的体积是定值，C正确；
对于D，，则点到直线的距离
，当且仅当时取等号，D正确.故选：ACD
11. ACD 【详解】对选项A，因为，由定义知，故A正确；对选项B，点在上，则，
化简得，所以，，B错误；
对选项C，椭圆上的焦点坐标恰好为与，则，又，所以，故，所以，C正确；对选项D，设，则，因为，则，又，所以，化简得，故，所以，故1，所以，故D正确，故选：ACD
12．【详解】由直线的方向向量为，平面的法向量为，因为，可得直线的方向向量与平面法向量互相垂直，所以，解得.故答案为：
13．5【详解】抛物线的准线方程为，设点的坐标为，则，
因为点到直线的距离为，所以点到准线的距离为，由抛物线定义可得.故答案为：.
14. 【详解】不妨设点在第一象限，连接，则，故，，设，因为，所以为的中点，，故.，
将代入中，故，则.故答案为：.
15．(1)；
(2)，.
【详解】（1）由，解得，即直线和的交点为，由直线与直线垂直，设直线的方程为，
把点代入方程得，解得，所以直线的方程为.
（2）由直线平行于直线，设直线的方程为，
把点代入方程得，解得，所以直线的方程为，直线与直线的距离.
16．(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）解：因为双曲线的两个焦点分别是，所以双曲线的焦点在轴上，
又因为点是双曲线上的一点，且，根据双曲线的定义，可得，所以，
又由，所以，所以双曲线的方程为.
（2）解：由（1）知，双曲线的方程为，可得，所以双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，顶点坐标为，离心率为，渐近线方程为.
17．(1)或；
(2)或．
【详解】（1）圆的方程为：，则圆的圆心为，半径为2，
直线与圆相交于、两点，且，则，解得或；
（2）当切线的斜率不存在时，直线，与圆相切，切线的斜率存在时，可设切线为，即，由切线的定义可知，，解得，
故切线方程为，综上所述，切线方程为或．
18. (1)2
(2)
【详解】（1）因为平面，且，所以建立如图分别以为轴的空间直角坐标系，
则，令，则，所以，所以，因为直线与所成角的大小为，所以，即，解得（舍）或者，所以的长为2；
（2）由（1）知，令平面的法向量为，因为，所以，令，则，所以，又，所以，所以点到平面的距离为.
19. (1)
(2)①证明见解析；②
【详解】（1）由题意得，解得，所以椭圆的方程为.
（2）联立，消元整理得，
时，
设，，则，，
由，
得，
所以，
所以，化简得，即，所以或，当时过点，不合题意，舍去，所以，即，此时过定点.此时，所以，设到直线的距离为，则，，，当且仅当时，当时，所以.