河南省信阳市2024-2025学年高二上学期11月期中考试 数学试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 河南省信阳市2024-2025学年高二上学期11月期中考试 数学试卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 656.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-30 10:05:07 | ||
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文档简介
数 学
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.已知向量，，若，则m等于（ ）
A. B. C.2 D.4
2.已知，，，经过点C作直线l，若直线l与线段AB没有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
3.已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2.用计算器产生1～5之间的随机数，当出现随机数1时，表示设备一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：
412 451 312 533 224 344 151 254 424 142
435 414 335 132 123 233 314 232 353 442
据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（ ）
A.0.4 B.0.45 C.0.55 D.0.6
4.口袋中装有质地和大小相同的6个小球，小球上面分别标有数字1，1，2，2，3，3，从中任取两个小球，则两个小球上的数字之和大于4的概率为（ ）
A. B. C. D.
5.曲线C：的周长为（ ）
A. B. C. D.
6.某大学选拔新生进“篮球”“舞蹈”“美术”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.假设某新生通过考核选拔进入“篮球”“舞蹈”“美术”三个社团的概率依次为，m，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，则（ ）
A.， B.， C.， D.，
7.在长方体中，与平面ABCD所成的角为，与所成的角为，则下列关系一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
8.已知圆C：，P为直线l：上一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B，当四边形PACB的面积最小时，直线AB的方程为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9.连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件“第一次出现2点”，“第二次的点数小于5”，“两次点数之和为奇数”，“两次点数之和为9”，则下列说法正确的有（ ）
A.A与B不互斥且相互独立 B.A与D互斥且不相互独立
C.B与D互斥且不相互独立 D.A与C不互斥且相互独立
10.已知圆O：与圆C：相交于A，B两点，直线l：，点P为直线l上一动点，过P作圆O的切线PM，PN（M，N为切点），则下列说法正确的有（ ）
A.直线AB的方程为 B.线段AB的长为
C.直线MN过定点 D.的最小值是1
11.在三棱锥P-ABC中，平面ABC，，平面ABC内动点D的轨迹是集合.已知，且在棱AB所在直线上，，2，则（ ）
A.动点D的轨迹是圆 B.平面平面
C.三棱锥P-ABC体积的最大值为3 D.三棱锥外接球的半径不是定值
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知空间内A，B，C，D四点共面，且任意三点不共线，若P为该平面外一点，，则.
13.已知事件A与事件B相互独立，若，，则.
14.若直线与圆只有一个公共点，则.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知圆C的圆心在直线上，且与y轴相切于点.
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C与直线l：交于A，B两点，且，求m的值.
从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：
①；②.
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.
16.（本小题满分15分）
某校田径队有3名短跑运动员，根据平时的训练情况统计：甲、乙、丙3名运动员100m跑（互不影响）的成绩在13s内（称为合格）的概率分别是，，.若对这3名短跑运动员的100m跑的成绩进行一次检测.
（1）3名运动员都合格的概率与3名运动员都不合格的概率分别是多少？
（2）出现几名运动员合格的概率最大？
17.（本小题满分15分）
如图，在三棱锥P-ABC中，，，，为等边三角形，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，且.
（1）证明：平面平面PBC.
（2）若F为AC的中点，求点C的平面BEF的距离.
18.（本小题满分17分）
在梯形ABCD中，，，F为AB中点，，，，如图，以EF为轴将平面ADEF折起，使得平面平面BCEF.
（1）若M为EC的中点，证明：平面ABC；
（2）证明：平面平面BCD；
（3）若N是线段DC上一动点，平面BNE与平面ABF夹角的余弦值为，求DN的长.
19.（本小题满分17分）
在平面直角坐标系xOy中，圆O为的内切圆，其中，，.
（1）求圆O的方程及点A的坐标；
（2）在直线AO上是否存在异于点A的定点Q，使得对圆O上任意一点P，都有（为常数）？若存在，求出点Q的坐标及的值；若不存在，请说明理由.
数学参考答案
一、选择题
1.B
【解析】由，，，得.解得.
2.C
【解析】直线BC的倾斜角为，直线AC的倾斜角为，根据倾斜角定义，故选C.
3.C
【解析】由题意可知，代表事件“一年内3台设备都不需要维修”的数组有533，224，344，254，424，435，335，233，232，353，442，共11组.所以一年内这3台设备都不需要维修的概率为.
4.A
【解析】记两个标有数字1的小球分别为A，a，两个标有数字2的小球分别为B，b，两个标有数字3的小球分别为C，c.从中任取两个小球的所有可能结果有Aa，AB，Ab，AC，Ac，aB，ab，aC，ac，Bb，BC，Bc，bC，bc，Cc，共15种情况，其中满足两个小球上的数字之和大于4的有BC，Bc，bC，bc，Cc，共5种情况.所以两个小球上的数字之和大于4的概率为.
5.C
【解析】由，得，即，即或.所以曲线C表示两个同心圆，且这两个圆的半径分别为，.所以曲线C的周长为.
6.A
【解析】依题意，得，解得.
7.D
【解析】因为平面ABCD，所以.易知，则，，.因为，的大小关系不确定，所以无法确定，的大小关系，则，的大小不确定，A错误.因为，，所以.因为，均为锐角，所以也是锐角，则，即.
8.A
【解析】由，得圆C的圆心，半径.因为，所以四边形PACB的面积.所以当最小时，S也最小，此时，.故PC的方程为，即.联立，，解得，，即.所以直线AB的方程为，化简，得.
二、选择题
9.ABD
【解析】因为A与B可能同时发生，所以它们不互斥，且两者发生的概率互不影响，所以A与B不互斥且相互独立，A正确.因为当A发生时，两次点数之和不超过8，所以D不可能发生，即A与D不可能同时发生.所以A与D互斥.又因为A不发生时，D有可能发生，所以A发生与否影响D发生的概率.所以A与D不相互独立，B正确.同理可得，B与D也不相互独立.因为B与D可能同时发生（如第一次抛出5点，第二次抛出4点），所以它们不互斥，C错误.显然A与C可能同时发生，所以两者不互斥.因为A发生与否都有，所以A与C相互独立，D正确.
10.BCD
【解析】联立，两式相减，得即为直线AB的方程，A错误.联立，得或，则，B正确.设，.因为M，N为圆O的切点，所以直线PM的方程为，直线PN的方程为.设，则，所以直线MN的方程为.又因为，所以.由，得，即直线MN过定点，C正确.因为，所以当最小时，最小，且的最小值为，所以此时，D正确.
11.ABC
【解析】对于A，在平面ABC内，以点B为坐标原点，方向为x轴正方向建立如图1所示的平面直角坐标系，则，.设，则，.又，所以，即，则点D的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，A正确.
图1
对于B，由A的分析可知，为圆的直径，又点C在圆上，所以.如图2，因为平面ABC，平面ABC，所以.又，所以平面.又平面，所以平面平面，B正确.
图2
对于C，点P到平面ABC的距离确定了，AB的长度确定了，所以当点C到直线AB的距离最大时，三棱锥P-ABC的体积最大.显然点C到直线AB的距离的最大值为2，此时三棱锥P-ABC的体积，C正确.
对于D，因为平面，平面，平面两两相互垂直，所以可以将三棱锥补成直四棱柱，易知直四棱柱的外接球即三棱锥的外接球，直四棱柱的外接球直径等于.因为，，所以三棱锥外接球的半径是定值，D错误.
三、填空题
12.
【解析】由，解得.
13.0.28
【解析】因为事件A与事件B相互独立，所以事件与事件B相互独立.因为，，所以.所以.
14.
【解析】圆半径，圆心到直线的距离为.因为直线与圆只有一个公共点，所以，即，解得.所以.
四、解答题
15.
（1）设圆心坐标为，半径为r.
由圆C的圆心在直线上，得.
因为圆C与y轴相切于点，所以，，则.
所以圆C的圆心坐标为，则圆C的方程为.
（2）如果选择条件①：，而，
所以圆心C到直线l的距离.解得或.
如果选择条件②：，而，
所以圆心C到直线l的距离，则.解得或.
16.设甲、乙、丙3名运动员100m跑合格分别为事件A，B，C，显然A，B，C相互独立，且，，，，，.
设恰有k名运动员合格的概率为（，1，2，3）.
（1）3名运动员都合格的概率为
.
3名运动员都不合格的概率为
.
（2）2名运动员合格的概率为
.
1名运动员合格的概率为
.
因为，
所以出现2名运动员合格的概率最大.
17.
（1）因为为等边三角形，D，O分别是BP，BC的中点，且，所以，.
又，所以，即.
又因为，且，所以平面PBC.
又平面ABC，所以平面平面PBC.
（2）连接PO，则P.由（1）可知，平面平面PBC.
所以平面ABC.
因为F为AC的中点，所以点C到平面BEF的距离等于点A到平面BEF的距离.
在直角中，可知，
在直角中，可知，
因为EF是的中位线，
所以，
的面积.
设点A到平面BEF的距离为d，则三棱锥A-BEF的体积.
又的面积，点E到平面ABF的距离为，
所以三棱锥E-ABF的体积.
由，得.
所以点C到平面BEF的距离为.
18.
（1）由，，得，.因为M为EC的中点，F为AB中点，，所以，且.所以四边形BCMF为平行四边形.所以.
而平面ABC，平面ABC，所以平面ABC.
（2）因为平面平面BCEF，平面平面，
，所以平面BCEF.
又平面BCEF，所以.
由，，，得.
又，所以平面DEB.
又平面BCD，
所以平面平面BCD.
（3）由（2），得EF，EC，ED两两相互垂直，则可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
则.
设（），则.
设平面BNE的法向量为.
由，
令，得.
易知平面ABF的法向量为.
所以，
解得，此时，
所以，即DN的长为.
19.
（1）由，，
得直线BC的方程为.
因为圆O与线段BC相切，
所以圆O的半径，则圆O的方程为.
由与线段AC相切，
得线段AC的方程为，即.
又与线段AB也相切，
所以线段AB的方程为，即.
所以.
（2）设，，
则，.
假设在直线AO上存在异于点A的定点Q，使得对圆O上任意一点P，都有（为常数），等价于对圆O上任意点恒成立，即.
整理，得
.
因为点Q在直线AO上，所以.
因为P在圆O上，所以.
所以对任意恒成立.
所以，.
显然，所以，则.
因为，所以或.
当时，，此时Q，A重合，舍去.
当时，.
综上所述，存在满足条件的定点，
此时.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.已知向量，，若，则m等于（ ）
A. B. C.2 D.4
2.已知，，，经过点C作直线l，若直线l与线段AB没有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
3.已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2.用计算器产生1～5之间的随机数，当出现随机数1时，表示设备一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：
412 451 312 533 224 344 151 254 424 142
435 414 335 132 123 233 314 232 353 442
据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（ ）
A.0.4 B.0.45 C.0.55 D.0.6
4.口袋中装有质地和大小相同的6个小球，小球上面分别标有数字1，1，2，2，3，3，从中任取两个小球，则两个小球上的数字之和大于4的概率为（ ）
A. B. C. D.
5.曲线C：的周长为（ ）
A. B. C. D.
6.某大学选拔新生进“篮球”“舞蹈”“美术”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.假设某新生通过考核选拔进入“篮球”“舞蹈”“美术”三个社团的概率依次为，m，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，则（ ）
A.， B.， C.， D.，
7.在长方体中，与平面ABCD所成的角为，与所成的角为，则下列关系一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
8.已知圆C：，P为直线l：上一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B，当四边形PACB的面积最小时，直线AB的方程为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9.连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件“第一次出现2点”，“第二次的点数小于5”，“两次点数之和为奇数”，“两次点数之和为9”，则下列说法正确的有（ ）
A.A与B不互斥且相互独立 B.A与D互斥且不相互独立
C.B与D互斥且不相互独立 D.A与C不互斥且相互独立
10.已知圆O：与圆C：相交于A，B两点，直线l：，点P为直线l上一动点，过P作圆O的切线PM，PN（M，N为切点），则下列说法正确的有（ ）
A.直线AB的方程为 B.线段AB的长为
C.直线MN过定点 D.的最小值是1
11.在三棱锥P-ABC中，平面ABC，，平面ABC内动点D的轨迹是集合.已知，且在棱AB所在直线上，，2，则（ ）
A.动点D的轨迹是圆 B.平面平面
C.三棱锥P-ABC体积的最大值为3 D.三棱锥外接球的半径不是定值
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知空间内A，B，C，D四点共面，且任意三点不共线，若P为该平面外一点，，则.
13.已知事件A与事件B相互独立，若，，则.
14.若直线与圆只有一个公共点，则.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知圆C的圆心在直线上，且与y轴相切于点.
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C与直线l：交于A，B两点，且，求m的值.
从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：
①；②.
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.
16.（本小题满分15分）
某校田径队有3名短跑运动员，根据平时的训练情况统计：甲、乙、丙3名运动员100m跑（互不影响）的成绩在13s内（称为合格）的概率分别是，，.若对这3名短跑运动员的100m跑的成绩进行一次检测.
（1）3名运动员都合格的概率与3名运动员都不合格的概率分别是多少？
（2）出现几名运动员合格的概率最大？
17.（本小题满分15分）
如图，在三棱锥P-ABC中，，，，为等边三角形，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，且.
（1）证明：平面平面PBC.
（2）若F为AC的中点，求点C的平面BEF的距离.
18.（本小题满分17分）
在梯形ABCD中，，，F为AB中点，，，，如图，以EF为轴将平面ADEF折起，使得平面平面BCEF.
（1）若M为EC的中点，证明：平面ABC；
（2）证明：平面平面BCD；
（3）若N是线段DC上一动点，平面BNE与平面ABF夹角的余弦值为，求DN的长.
19.（本小题满分17分）
在平面直角坐标系xOy中，圆O为的内切圆，其中，，.
（1）求圆O的方程及点A的坐标；
（2）在直线AO上是否存在异于点A的定点Q，使得对圆O上任意一点P，都有（为常数）？若存在，求出点Q的坐标及的值；若不存在，请说明理由.
数学参考答案
一、选择题
1.B
【解析】由，，，得.解得.
2.C
【解析】直线BC的倾斜角为，直线AC的倾斜角为，根据倾斜角定义，故选C.
3.C
【解析】由题意可知，代表事件“一年内3台设备都不需要维修”的数组有533，224，344，254，424，435，335，233，232，353，442，共11组.所以一年内这3台设备都不需要维修的概率为.
4.A
【解析】记两个标有数字1的小球分别为A，a，两个标有数字2的小球分别为B，b，两个标有数字3的小球分别为C，c.从中任取两个小球的所有可能结果有Aa，AB，Ab，AC，Ac，aB，ab，aC，ac，Bb，BC，Bc，bC，bc，Cc，共15种情况，其中满足两个小球上的数字之和大于4的有BC，Bc，bC，bc，Cc，共5种情况.所以两个小球上的数字之和大于4的概率为.
5.C
【解析】由，得，即，即或.所以曲线C表示两个同心圆，且这两个圆的半径分别为，.所以曲线C的周长为.
6.A
【解析】依题意，得，解得.
7.D
【解析】因为平面ABCD，所以.易知，则，，.因为，的大小关系不确定，所以无法确定，的大小关系，则，的大小不确定，A错误.因为，，所以.因为，均为锐角，所以也是锐角，则，即.
8.A
【解析】由，得圆C的圆心，半径.因为，所以四边形PACB的面积.所以当最小时，S也最小，此时，.故PC的方程为，即.联立，，解得，，即.所以直线AB的方程为，化简，得.
二、选择题
9.ABD
【解析】因为A与B可能同时发生，所以它们不互斥，且两者发生的概率互不影响，所以A与B不互斥且相互独立，A正确.因为当A发生时，两次点数之和不超过8，所以D不可能发生，即A与D不可能同时发生.所以A与D互斥.又因为A不发生时，D有可能发生，所以A发生与否影响D发生的概率.所以A与D不相互独立，B正确.同理可得，B与D也不相互独立.因为B与D可能同时发生（如第一次抛出5点，第二次抛出4点），所以它们不互斥，C错误.显然A与C可能同时发生，所以两者不互斥.因为A发生与否都有，所以A与C相互独立，D正确.
10.BCD
【解析】联立，两式相减，得即为直线AB的方程，A错误.联立，得或，则，B正确.设，.因为M，N为圆O的切点，所以直线PM的方程为，直线PN的方程为.设，则，所以直线MN的方程为.又因为，所以.由，得，即直线MN过定点，C正确.因为，所以当最小时，最小，且的最小值为，所以此时，D正确.
11.ABC
【解析】对于A，在平面ABC内，以点B为坐标原点，方向为x轴正方向建立如图1所示的平面直角坐标系，则，.设，则，.又，所以，即，则点D的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，A正确.
图1
对于B，由A的分析可知，为圆的直径，又点C在圆上，所以.如图2，因为平面ABC，平面ABC，所以.又，所以平面.又平面，所以平面平面，B正确.
图2
对于C，点P到平面ABC的距离确定了，AB的长度确定了，所以当点C到直线AB的距离最大时，三棱锥P-ABC的体积最大.显然点C到直线AB的距离的最大值为2，此时三棱锥P-ABC的体积，C正确.
对于D，因为平面，平面，平面两两相互垂直，所以可以将三棱锥补成直四棱柱，易知直四棱柱的外接球即三棱锥的外接球，直四棱柱的外接球直径等于.因为，，所以三棱锥外接球的半径是定值，D错误.
三、填空题
12.
【解析】由，解得.
13.0.28
【解析】因为事件A与事件B相互独立，所以事件与事件B相互独立.因为，，所以.所以.
14.
【解析】圆半径，圆心到直线的距离为.因为直线与圆只有一个公共点，所以，即，解得.所以.
四、解答题
15.
（1）设圆心坐标为，半径为r.
由圆C的圆心在直线上，得.
因为圆C与y轴相切于点，所以，，则.
所以圆C的圆心坐标为，则圆C的方程为.
（2）如果选择条件①：，而，
所以圆心C到直线l的距离.解得或.
如果选择条件②：，而，
所以圆心C到直线l的距离，则.解得或.
16.设甲、乙、丙3名运动员100m跑合格分别为事件A，B，C，显然A，B，C相互独立，且，，，，，.
设恰有k名运动员合格的概率为（，1，2，3）.
（1）3名运动员都合格的概率为
.
3名运动员都不合格的概率为
.
（2）2名运动员合格的概率为
.
1名运动员合格的概率为
.
因为，
所以出现2名运动员合格的概率最大.
17.
（1）因为为等边三角形，D，O分别是BP，BC的中点，且，所以，.
又，所以，即.
又因为，且，所以平面PBC.
又平面ABC，所以平面平面PBC.
（2）连接PO，则P.由（1）可知，平面平面PBC.
所以平面ABC.
因为F为AC的中点，所以点C到平面BEF的距离等于点A到平面BEF的距离.
在直角中，可知，
在直角中，可知，
因为EF是的中位线，
所以，
的面积.
设点A到平面BEF的距离为d，则三棱锥A-BEF的体积.
又的面积，点E到平面ABF的距离为，
所以三棱锥E-ABF的体积.
由，得.
所以点C到平面BEF的距离为.
18.
（1）由，，得，.因为M为EC的中点，F为AB中点，，所以，且.所以四边形BCMF为平行四边形.所以.
而平面ABC，平面ABC，所以平面ABC.
（2）因为平面平面BCEF，平面平面，
，所以平面BCEF.
又平面BCEF，所以.
由，，，得.
又，所以平面DEB.
又平面BCD，
所以平面平面BCD.
（3）由（2），得EF，EC，ED两两相互垂直，则可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
则.
设（），则.
设平面BNE的法向量为.
由，
令，得.
易知平面ABF的法向量为.
所以，
解得，此时，
所以，即DN的长为.
19.
（1）由，，
得直线BC的方程为.
因为圆O与线段BC相切，
所以圆O的半径，则圆O的方程为.
由与线段AC相切，
得线段AC的方程为，即.
又与线段AB也相切，
所以线段AB的方程为，即.
所以.
（2）设，，
则，.
假设在直线AO上存在异于点A的定点Q，使得对圆O上任意一点P，都有（为常数），等价于对圆O上任意点恒成立，即.
整理，得
.
因为点Q在直线AO上，所以.
因为P在圆O上，所以.
所以对任意恒成立.
所以，.
显然，所以，则.
因为，所以或.
当时，，此时Q，A重合，舍去.
当时，.
综上所述，存在满足条件的定点，
此时.