江苏省校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中考试 数学试题（含解析）

江苏省校联盟2024 2025学年高二上学期11月期中考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知直线倾斜角为，且过，则在轴上的截距为（ ）
A． B． C．1 D．
2．已知等比数列的公比，且满足，，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．已知曲线表示圆，且点在曲线外，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知等差数列的前项和为，若，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．已知，为上一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知动圆的圆心在直线上，半径为，直线（为常数）被圆截得的弦长为定值，则该定值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
7．已知圆，是轴上一个动点，过作圆的切线，切点为A，B，直线AB与轴相交于，则的面积最小值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
8．已知无穷等比数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（ ）
A．是递增数列 B．是递减数列
C．一定有最大值 D．一定有最小值
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法正确的是（ ）
A．方程与方程表示同一条直线
B．若两直线与平行，则实数的值为1或
C．若，，则直线不经过第二象限
D．过点且在轴，轴截距相等的直线有1条
10．已知直线，及圆，A，B两点分别是，上的两个动点，为线段AB的中点，是圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．的轨迹在坐标轴上的截距相等 B．PM的最小值是
C．PM的最大值是 D．的最大值是30°
11．已知数列满足，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．中存在连续三项成等差数列
C．中存在连续三项成等比数列 D．数列的前项和
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知入射光线经过，经轴反射后与相切，则入射光线的一般方程为 ．
13．已知，圆，O为坐标原点．若圆上存在唯一的点，满足，则的取值集合为 ．
14．将所有的正整数按从小到大的顺序分组：，，，，…，其中第个集合里有个数．则第7个集合第3个数的值为 ；若2024是第个集合里的第个数，则的值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，，边AC上的高BE所在的直线方程为，边AB上中线CM所在的直线方程为．
(1)求点C坐标；
(2)求直线BC的方程．
16．已知数列是等差数列，且恒成立，它的前四项的平方和为54，且这四项中首尾两数的积比中间两数的积少2．
(1)求的通项公式．
(2)若，，求数列的前100项和．
17．已知O为坐标原点，，平面内一点，满足．设的轨迹为曲线，直线与曲线相交于M、N两点，且．
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线l过点A，求直线l的方程；
(3)若直线，都过点A，它们互相垂直且分别交曲线C于E，F，G，H四点，求四边形面积的最大值．
18．已知数列的前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式．
(2)已知，求数列的最大项，以及取得最大项时的值．
(3)已知，求数列的前项和．
19．在平面直角坐标系中，已知圆与轴的正、负半轴分别交于A，B两点，直线与圆交于M，N两点（异于A，B）．
(1)求的取值范围；
(2)设直线AM，AN的斜率分别为和，求的值；
(3)设直线过点，与圆交于G，H两点，直线AG与直线BH交于点，求证：点在定直线上．
参考答案
1．【答案】B
【详解】直线的斜率为，方程为，当时，，
所以在轴上的截距为.
故选：B
2．【答案】A
【详解】由于，，
所以，两式相除得，
解得或，
因为，所以.
故选：A
3．【答案】D
【详解】由曲线表示圆，得，解得或，
由点在曲线外，得，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
4．【答案】B
【详解】等差数列中，由，得，解得，
所以.
故选：B
5．【答案】C
【详解】由于，
所以的最小值即为与的距离的平方的最小值，
则点到直线上的最小值即为点到直线的距离，
故，所以的最小值为.
故选：C.
6．【答案】A
【详解】设动圆的圆心坐标为，
则圆心到直线的距离，
因为直线被圆截得的弦长为定值，
所以圆心到直线的距离也为定值，
则，即，此时，
所以弦长为.
故选：A
7．【答案】C
【详解】圆的圆心，半径为，圆与轴相离，设点，
依题意，点在以为直径的圆上，又点在圆上，
两圆方程相减得直线的方程：，显然，点，
因此，当且仅当时取等号，
的面积，所以当或时，面积取得最小值3.
故选：C

8．【答案】D
【详解】设等比数列的公比为，由，得，则，
对于AB，当时，，则，数列不单调，AB错误；
对于C，当时，，是递增数列，无最大值，C错误；
对于D，当时，；当时，，
若为奇数，；若为偶数，
，而，
因此当时，对任意整数，，D正确.
9．【答案】BC
【详解】对于A，直线斜率为1，直线斜率为0，它们是不同的直线，A错误；
对于B，由，得或，B正确；
对于C，直线的斜率，纵截距，该直线不经过第二象限，C正确；
对于D，直线和直线均过点，且在轴，轴上的截距相等，D错误.
故选：BC
10．【答案】AB
【详解】对于A，直线与平行，则点的轨迹是与直线都平行，
且与距离都相等的一条直线，而直线与轴分别交于点，
因此点的轨迹过点，斜率为，方程为，
的轨迹在坐标轴上的截距均为，A正确；
对于B，圆的圆心，半径，
点到直线的距离，，B正确；
对于C，的取值集合为，因此PM无最大值，C错误；
对于D，过点作圆的切线，当点为切点时，最大，此角为锐角，
，即的最大值小于，D错误.
故选：AB
11．【答案】ABD
【详解】数列中，由，得，
则数列是首项为，公比为的等比数列，因此，即，
对于A，，A正确；
对于B，，，即成等差数列，B正确；
对于C，假定连续三项成等比数列，则，
整理得，此方程无解，即中不存在连续三项成等比数列，C错误；
对于D，，则，
两式相减得，
因此，D正确.
故选：ABD
12．【答案】或
【详解】入射光线经过，经轴反射后与相切，
所以反射光线经过关于轴对称的点，且斜率存在，
故设反射光线的方程为：，化为一般式为：，
因为反射光线与相切，
所以，解得或，
所以入射光线的斜率为或，
故入射光线的方程为：或，
化为一般式为：或.
故答案为：或
13．【答案】
【详解】设点，由可得，化简可得，
即，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，去除A,O两点,
又点在圆上，所以两圆相切.
其中圆的圆心，半径为.
则两圆的圆心距为，
当两圆外切时，，则,此时切点不为A,O两点，符合题意；
当两圆内切时，，解得，此时切点不为A,O两点，符合题意；
当圆过点O时，，
解得，圆C不过点A，符合题意；
当圆过点A时，，
解得，圆C不过点O，符合题意；
所以的取值集合为.
故答案为：.
14．【答案】
【详解】由题意可得，第7个集合第3个数为；
且第个集合共有个数，
当时，，
当时，，
所以2024是第64个集合里的第8个数，
所以，则.
故答案为：；
15．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由直线：的斜率为，得直线的斜率，
直线的方程为，即，由，解得，
所以点C的坐标为.
（2）依题意，设，则边的中点在直线上，
于是，解得：，即点，
所以直线BC的方程为，即.
16．【答案】(1)；
(2)5150.
【详解】（1）设的首项为，公差为d，
依题意，，解得或，
由恒成立，得，
又，而，解得，
所以的通项公式.
（2）由（1）知，，
则，
所以.
17．【答案】(1)；
(2)或；
(3)15.
【详解】（1）设，由，得
化简得：，即，
所以曲线C的方程为.
（2）由（1）知，曲线是以为圆心，为半径的圆，
由，得点到直线的距离，
点到直线的距离为1，因此直线的方程可以是；
当的斜率存在时，设的方程为，即，
由，解得，直线：，
所以直线l的方程或.
（3）取线段的中点，当与点都不重合时，，
而，则四边形为矩形，，
当之一与点重合时，成立，因此，
而，，
则，
四边形的面积，当且仅当时取等号，
所以四边形面积的最大值15.

18．【答案】(1)；
(2)当时，取最大值；
(3).
【详解】（1）数列中，，当时，，
两式相减得，即，由，得，
因此数列是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以数列的通项公式.
（2）由（1）知，，
则，
当时，，即，当时，，即，
所以当时，取得最大值.
（3）由（1）知，，
所以.
19．【答案】(1)；
(2)5；
(3)证明见解析.
【详解】（1）圆的圆心，半径，
依题意，直线l与圆O相交，则点到直线的距离，解得，
所以的取值范围是.
（2）设，，
由消去得，，
，，
所以.
（3）依题意，直线不垂直于轴，设其方程为，设，
由消去得，显然，
，，而点，
直线方程为，直线的方程为，
由消去得，，
即，解得，
所以点在定直线上.